《平均變化率與瞬時變化率》示范公開課教案【高中數(shù)學北師大】

《《平均變化率與瞬時變化率》示范公開課教案【高中數(shù)學北師大】》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用2.1平均變化率與瞬時變化率◆教學目標1.從實例分析中理解平均變化率和瞬時變化率的意義，會求簡單函數(shù)在某一區(qū)間的平均變化率和在某一點處的瞬時變化率；2.領(lǐng)會從平均變化率到瞬時變化率的逼近過程，使學生體會、理解平均變化率與瞬時變化率的聯(lián)系．◆教學重難點◆重點：函數(shù)在某一點處的瞬時變化率．難點：從平均變化率到瞬時變化率的逼近．◆教學過程一、新課導(dǎo)入問題1：某病人吃完退燒藥，他的體溫變化如圖：比較時間x從0min到20min和從20min到30min體溫的變化情況，哪段時間體溫變化較快？如何刻畫體溫變化的快慢？答案：①根據(jù)圖象可以看出在這兩段時間下降的體溫一樣多；②這兩段時間的長度不一樣，因此在20min到30min這段時間內(nèi)，體溫變化較快．我們可以用單位時間內(nèi)的變化情況來刻畫快慢；如，在0min到20min這段時間內(nèi)，單位時間體溫變化為：38.5-3920-0=-0.520=-0.025(℃/min)，在20min到30min這段時間內(nèi)，單位時間體溫變化為：38-38.530-20=-0.510=-0.05(℃/min)，單位時間里，20min到30min這段時間內(nèi)提問變化量大，這段時間內(nèi)的體溫變化就快．

1二、新知探究平均變化率：對一般的函數(shù)y=fx來說，當自變量x從x1變?yōu)閤2時，函數(shù)值從fx1變?yōu)閒x2，它在區(qū)間[x1，x2]的平均變化率=fx2-fx1x2-x1．通常我們把自變量的變化x2-x1稱作自變量x的改變量，記作Δx，函數(shù)值的變化fx2-fx1稱作函數(shù)值y的改變量，記作Δy．這樣，函數(shù)的平均變化率就可以表示為函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比，即ΔyΔx=fx2-fx1x2-x1用它來刻畫函數(shù)值在區(qū)間[x1，x2]上變化的快慢．問題2：函數(shù)平均變化率有怎樣的幾何意義？答案：函數(shù)的平均變化率的幾何意義是函數(shù)圖象上過Px1，fx1，Qx2，fx2兩點的直線的斜率(如圖)，即kPQ=ΔyΔx=fx2-fx1x2-x1．設(shè)計意圖：通過學生熟悉的生活體驗，提煉出數(shù)學模型，歸納出函數(shù)平均變化率的概念，讓學生體會“數(shù)學來源于生活”，感知如何探討問題的本質(zhì)，學會用數(shù)學語言和數(shù)學觀點分析問題.如果一塊巖石突然松動，從峭壁頂上垂直下落，請估算巖石在時刻t=5s時的速度．問題３：用數(shù)學語言表達巖石下落過程中的平均速度答案：下落的巖石是自由落體，由物理學知識可得h=12gt2，其中h是下落高度，t是時間．于是，取一小段時間由t1到t2，可得這一小段時間內(nèi)的平均速度ΔhΔt=ht2-ht1t2-t1．追問：你能計算某一時刻的速度嗎？答案：我們可以用平均速度逼近某一時刻的速度．若想求t1時刻的速度，當Δt＝t2-t1很小時，t1時刻的速度就可以用[t1，t2]內(nèi)的平均速度來表示，取t1=5，再取越來越小的Δt，觀察一下對應(yīng)的平均速度的情況，列表如下

2t2/st1/s時間t的改變量(Δt=t2-5)/s高度的改變量(Δh=12g(t22-52)/m平均速度ΔhΔt/m/s4.95-0.1-0.485148.514.995-0.01-0.4895148.954.9995-0.001-0.048995148.99514.99995-0.0001-0.00489995148.99951?????如果時間進一步縮短，那么可以想象，平均速度就更接近小球在t0=5s這個時刻的瞬時速度．從以上的計算可以看出，當時間趨t2于t0=5s時，平均速度趨于49m/s．瞬時變化率：對于一般的函數(shù)y＝fx，在自變量x從x0變到x1的過程中，若設(shè)Δx＝x1-x0，Δy＝fx1-fx0，則該函數(shù)的平均變化率為ΔyΔx=fx1-fx0x1-x0=fx0+Δx-fx0Δx，如果當Δx趨于0時，平均變化率趨于某個值，那么這個值就是fx在點x0的瞬時變化率．瞬時變化率刻畫的是函數(shù)在某一點處變化的快慢．問題4：平均變化率與瞬時變化率有什么關(guān)系？答案：區(qū)別：平均變化率刻畫函數(shù)值在區(qū)間[x1，x2]上變化的快慢，瞬時變化率刻畫函數(shù)值在x0點處變化的快慢；聯(lián)系：當Δx趨于0時，平均變化率ΔyΔx趨于一個常數(shù)，這個常數(shù)即為函數(shù)在x0處的瞬時變化率，它是一個固定值．（2）“Δx趨于0”的含義Δx趨于0的距離要多近有多近，即Δx-0可以小于給定的任意小的正數(shù)，且始終Δx≠0．三、應(yīng)用舉例例1已知函數(shù)fx=2x2+3x-5，且Δx=1時，求函數(shù)增量Δy和平均變化率ΔyΔx．解因為fx=2x2+3x-5，所以Δy＝fx1+Δx-fx1=2x1+Δx2+3x1+Δx-5-2x12+3x1-5=2Δx2+2x1Δx+3Δx=2Δx2+4x1+3Δx．

3所以當x1=4，Δx=1時，Δy=2×12+4×4+3×1=21，則ΔyΔx=211=21總結(jié)：求函數(shù)平均變化率的三個步驟：第一步，求自變量的增量Δx=x2-x1；第二步，求函數(shù)值的增量Δy=fx2-fx1；第三步，求平均變化率ΔyΔx．例2.某物體的運動路程s(單位：m)與時間t(單位：s)的關(guān)系可用函數(shù)s(t)=t2+t+1表示，求物體在t=1s時的瞬時速度．解ΔsΔt=s1+Δt-s1Δt=1+Δt2+1+Δt+1-12+1+1Δt=3+Δt，當Δt趨于0時，ΔsΔt趨于3，即物體在t=1s時的瞬時速度為3m/s．探究：若例題中的條件不變，試求物體的初速度．解求物體的初速度，即求物體在t=1s時的瞬時速度．∵ΔsΔt=s0+Δt-s0Δt=0+Δt2+0+Δt+1-1Δt=1+Δt，當Δt趨于0時，ΔsΔt趨于1，即物體在t=1s時的瞬時速度為1m/s．探究：若例題中的條件不變，試問物體在哪一時刻的瞬時速度為9m/s．解設(shè)物體在t0時的瞬時速度為9m/s．又ΔsΔt=st0+Δt-st0Δt=2t0+1+Δt，當Δt趨于0時，ΔsΔt趨于2t0+1，則2t0+1=9，所以t0=4．則物體在4s時的瞬時速度為9m/s．總結(jié)：求函數(shù)fx在點x=x0處的瞬時變化率的步驟：(1)求Δy=fx0+Δx-fx0；(2)計算ΔyΔx，并化簡，直到當Δx=0時有意義為止；(3)將Δx=0代入化簡后的即得瞬時變化率．四、課堂練習1．在求解平均變化率時，自變量的變化量Δx應(yīng)滿足()

4A.Δx>0B.Δx<0C.Δx≠0D.Δx可為任意實數(shù)2．函數(shù)fx=8x-6在區(qū)間[m，n]上的平均變化率為_________．3．一質(zhì)點運動規(guī)律是s=t2+3(s的單位為m，t的單位為s），則在t=1s時的瞬時速度估計是________m/s．參考答案：　1．答案C解析因平均變化率為ΔyΔx，故Δx≠0．　2．答案８解析因平均變化率為fn-fmn-m=8．3．答案2解析Δs=s1+Δt-s1=1+Δt2+3-12+3=2Δt+Δt2∴ΔsΔt=2Δt+Δt2Δt=2+Δt，當Δt趨于0時，ΔsΔt趨于2．五、課堂小結(jié)１.概念：平均變化率，瞬時變化率．２.平均變化率與瞬時變化率的區(qū)別與聯(lián)系：區(qū)別：平均變化率刻畫函數(shù)值在區(qū)間[x1，x2]上變化的快慢，瞬時變化率刻畫函數(shù)值在x0點處變化的快慢；聯(lián)系：當Δx趨于0時，平均變化率ΔyΔx趨于一個常數(shù)，這個常數(shù)即為函數(shù)在x0處的瞬時變化率，它是一個固定值．六、布置作業(yè)教材第52頁練習第2，3，4題．