廣東省東莞市東華高級中學(xué)2020-2021學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)Word版含解析

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2020-2021學(xué)年廣東省東莞市東華高級中學(xué)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.1．已知集合A＝{x|﹣5＜x＜1}，B＝{x|x2≤4}，則A∩B＝（　?。〢．（2，3）B．[2，3）C．[﹣2，1）D．（﹣2，1）2．已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z＝，則|z|＝（　?。〢．1B．2C．D．3．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，p：m⊥n，若p是q的必要條件，則q可能是（　?。〢．q：m⊥α，n∥β，α⊥βB．q：m⊥α，n⊥β，α∥βC．q：m?α、n⊥β，α∥βD．q：m?α，n∥β，α⊥β4．如圖上半部分為一個油桃園．每年油桃成熟時，園主都需要雇傭人工采摘，并沿兩條路徑將采摘好的油桃迅速地運(yùn)送到水果集散地C處銷售．路徑1：先集中到A處，再沿公路AC運(yùn)送；路徑2：先集中到B處，再沿公路BC運(yùn)送．園主在果園中畫定了一條界線，使得從該界線上的點(diǎn)出發(fā)，按這兩種路徑運(yùn)送油桃至C處所走路程一樣遠(yuǎn)．已知AC＝3km，BC＝4km，若這條界線是曲線E的一部分，則曲線E為（　?。〢．圓B．橢圓C．拋物線D．雙曲線5．設(shè)X為隨機(jī)變量，且，若隨機(jī)變量X的方差，則P（X＝2）＝（　?。〢．B．C．D．6．東莞市同沙生態(tài)公園水繞山環(huán)，峰巒疊嶂，是一個天生麗質(zhì)，融山水生態(tài)與人文景觀為一體的新型公園．現(xiàn)有甲乙兩位游客慕名來到同沙生態(tài)公園旅游，分別準(zhǔn)備從映翠湖、十里河塘、計(jì)生雕塑園和鷺鳥天堂4個旅游景點(diǎn)中隨機(jī)選擇其中一個景點(diǎn)游玩．記事件A：甲和乙至少一人選擇映翠湖，事件B：甲和乙選擇的景點(diǎn)不同，則條件概率P（B|A）＝（　?。?/p>

1A．B．C．D．7．已知函數(shù)y＝f（x）為R上的偶函數(shù)，且對于任意的滿足f′（x）cosx+f（x）sinx＜0，則下列不等式成立的是（　?。〢．B．C．D．8．“帷幄”是古代打仗必備的帳篷，又稱“惺帳”．如圖是的一種幄帳示意圖，帳頂采用“五脊四坡式”，四條斜脊的長度相等，一條正脊平行于底面．若各斜坡面與底面所成二面角的正切值均為，底面矩形的長與寬之比為5：3，則正脊與斜脊長度的比值為（　?。〢．B．C．D．1二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9．將曲線C1：y＝sinx上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2：y＝f（x），則下列結(jié)論正確的是（　　）A．B．為一條對稱軸C．f（x）在[0，2π]上有4個零點(diǎn)D．f（x）在上單調(diào)遞增10．如圖，在棱長為a的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為A1D1的中點(diǎn)，Q為A1B1上任意一點(diǎn)，E、F為CD上兩點(diǎn)，且EF的長為定值，則下面四個值中是定值的是（　?。?/p>

2A．點(diǎn)P到平面QEF的距離B．直線PQ與平面PEF所成的角C．三棱錐P﹣QEF的體積D．△QEF的面積11．設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列如表：ξ123…20202021Pa1a2a3…a2020a2021則下列說法正確的是（　　）A．當(dāng){an}為等差數(shù)列時，B．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式可能為C．當(dāng)數(shù)列{an}滿足時，D．當(dāng)數(shù)列{an}滿足P（ξ≤k）＝k2ak（k＝1，2，?，2021）時，（n+1）an＝（n﹣1）an﹣1（n≥2）12．2021年3月30日，小米正式開始啟用具備“超橢圓”數(shù)學(xué)之美的新logo．設(shè)計(jì)師的靈感來源于曲線C：|x|n+|y|n＝1．則下列說法正確的是（　?。〢．曲線C關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱B．當(dāng)n＝﹣2時，曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為2C．當(dāng)n＞0時，曲線C所圍成圖形的面積的最小值為πD．當(dāng)n＞0時，曲線C所圍成圖形的面積小于4三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．某校機(jī)器人興趣小組有男生3名，女生2名，現(xiàn)從中隨機(jī)選出3名參加一個機(jī)器人大賽，則選出的人員至少有一名女生的選法有　　種．14．在（2x2﹣）6的展開式中含x3的項(xiàng)系數(shù)為　?。?/p>

315．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在雙曲線E的左支上，且∠F1AF2＝120°，|AF2|＝3|AF1|，則雙曲線E的離心率為　?。?6．若存在x0∈（﹣1，2），滿足ln＞ax0﹣2a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為　?。摹⒔獯痤}：本大題共6小題，第17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．（1）求B；（2）若b＝3，求△ABC周長的最大值．18．已知首項(xiàng)為2的數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＝tn2+n（t∈R）．（1）求實(shí)數(shù)t的值及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；（2）將①bn＝，②bn＝2+an，③bn＝2?an，三個條件任選一個補(bǔ)充在題中，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．19．如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC，△ABC和△A1AC都是正三角形，D是AB的中點(diǎn)．（1）求證：BC1∥平面A1DC；（2）求二面角A1﹣DC﹣C1的余弦值．20．2020年10月，中共中央辦公廳、國務(wù)院辦公廳印發(fā)了《關(guān)于全面加強(qiáng)和改進(jìn)新時代學(xué)校體育工作的意見》，某地積極開展中小學(xué)健康促進(jìn)行動，決定在2021年體育中考中再增加一定的分?jǐn)?shù)，規(guī)定：考生須參加游泳、長跑、一分鐘跳繩三項(xiàng)測試，其中一分鐘跳繩滿分20分，某校在初三上學(xué)期開始要掌握全年級學(xué)生一分鐘跳繩情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行測試，得到如圖所示頻率分布直方圖，且規(guī)定計(jì)分規(guī)則如表：每分鐘跳繩個數(shù)[155，165）[165，175）[175，185）[185，+∞）

4得分17181920（1）現(xiàn)從樣本的100名學(xué)生中任意選取2人，求兩人得分之和不大于35分的概率；（2）根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn)，該校初三年級學(xué)生經(jīng)過一年的訓(xùn)練，正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)都有明顯進(jìn)步，整體成績差異略有變化．假設(shè)今年正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)比初三上學(xué)期開始時個數(shù)增加10個，方差為169，且該校初三年級所有學(xué)生正式測試時每分鐘的跳繩個數(shù)X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），用樣本數(shù)據(jù)的期望和方差估計(jì)總體的期望和方差（各組數(shù)據(jù)用區(qū)間的中點(diǎn)值代替）．①若在全年級所有學(xué)生中任意選取3人，記正式測試時每分鐘跳195個以上的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和期望；②判斷該校初三年級所有學(xué)生正式測試時的滿分率是否能達(dá)到85%，說明理由附：隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9974．21．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓Γ：的長軸長為4，且經(jīng)過點(diǎn)．A為左頂點(diǎn)，B為下頂點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)P在第一象限，PA交y軸于點(diǎn)C，PB交x軸于點(diǎn)D．（1）求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，求線段AP的長；（3）試問：四邊形ABDC的面積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

522．已知函數(shù)f（x）＝．（1）判斷f（x）的單調(diào)性，并比較20202021與20212020的大??；（2）若函數(shù)g（x）＝（x﹣2）2+x（2f（x）﹣1），其中，判斷g（x）的零點(diǎn)的個數(shù)，并說明理由．參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.693．

6參考答案一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.1．已知集合A＝{x|﹣5＜x＜1}，B＝{x|x2≤4}，則A∩B＝（　　）A．（2，3）B．[2，3）C．[﹣2，1）D．（﹣2，1）【分析】可求出集合B，然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．解：∵A＝{x|﹣5＜x＜1}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，∴A∩B＝[﹣2，1）．故選：C．2．已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z＝，則|z|＝（　　）A．1B．2C．D．【分析】直接利用商的模等于模的商求解．解：由z＝，得|z|＝||＝．故選：D．3．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，p：m⊥n，若p是q的必要條件，則q可能是（　?。〢．q：m⊥α，n∥β，α⊥βB．q：m⊥α，n⊥β，α∥βC．q：m?α、n⊥β，α∥βD．q：m?α，n∥β，α⊥β【分析】由題意知，若p是q的必要條件，則只需q?p即可；分別判斷四個選項(xiàng)中是否滿足q能推出p，即可得出結(jié)論．解：若p是q的必要條件，則只需q?p即可；對于選項(xiàng)A，m、n的位置關(guān)系是平行或異面，q不能推出p，所以A錯誤；對于選項(xiàng)B，結(jié)論為m∥n，則q不能推出p，所以B錯誤；對于選項(xiàng)C，若n⊥β，α∥β，則n⊥α；又m?α，所以m⊥n，即q?p，所以C正確；對于D，m、n的位置關(guān)系是平行或異面或相交，則q不能推出p，所以D錯誤．故選：C．

74．如圖上半部分為一個油桃園．每年油桃成熟時，園主都需要雇傭人工采摘，并沿兩條路徑將采摘好的油桃迅速地運(yùn)送到水果集散地C處銷售．路徑1：先集中到A處，再沿公路AC運(yùn)送；路徑2：先集中到B處，再沿公路BC運(yùn)送．園主在果園中畫定了一條界線，使得從該界線上的點(diǎn)出發(fā)，按這兩種路徑運(yùn)送油桃至C處所走路程一樣遠(yuǎn)．已知AC＝3km，BC＝4km，若這條界線是曲線E的一部分，則曲線E為（　　）A．圓B．橢圓C．拋物線D．雙曲線【分析】利用已知條件，推出曲線E滿足雙曲線的定義，得到結(jié)果．解：設(shè)曲線E上的點(diǎn)為P，由題意可知，|PA|+|AC|＝|PB|+|BC|，可得|PA|﹣|PB|＝|BC|﹣|AC|＝1，P的軌跡滿足雙曲線的定義，所以則曲線E為雙曲線．故選：D．5．設(shè)X為隨機(jī)變量，且，若隨機(jī)變量X的方差，則P（X＝2）＝（　?。〢．B．C．D．【分析】由X～B（n，），，求出n＝6，從而X～B（6，），由此能求出P（X＝2）．解：∵設(shè)X為隨機(jī)變量，且X～B（n，），隨機(jī)變量X的方差，∴＝，解得n＝6，∴X～B（6，），∴P（X＝2）＝＝．故選：D．6．東莞市同沙生態(tài)公園水繞山環(huán)，峰巒疊嶂，是一個天生麗質(zhì)，融山水生態(tài)與人文景觀為一體的新型公園．現(xiàn)有甲乙兩位游客慕名來到同沙生態(tài)公園旅游，分別準(zhǔn)備從映翠湖、十里河塘、計(jì)生雕塑園和鷺鳥天堂4個旅游景點(diǎn)中隨機(jī)選擇其中一個景點(diǎn)游玩．記事件A：甲和乙至少一人選擇映翠湖，事件B

8：甲和乙選擇的景點(diǎn)不同，則條件概率P（B|A）＝（　?。〢．B．C．D．【分析】分別求出事件A，事件B對應(yīng)的基本事件的個數(shù)，再結(jié)合條件概率公式，即可求解．解：甲和乙至少一人選擇映翠湖對應(yīng)的基本事件有4×4﹣3×3＝7個，∵甲和乙選擇的景點(diǎn)不同對應(yīng)的基本事件有個，∴P（B|A）＝．故選：C．7．已知函數(shù)y＝f（x）為R上的偶函數(shù)，且對于任意的滿足f′（x）cosx+f（x）sinx＜0，則下列不等式成立的是（　?。〢．B．C．D．【分析】令g（x）＝，依題意知g（x）為偶函數(shù)，且在區(qū)間上是減函數(shù)，再由g（0）＞g（）＞g（）＝g（﹣）＞g（）＝g（﹣），結(jié)合條件分別判斷四個選項(xiàng)即可．解：偶函數(shù)y＝f（x）對于任意的x∈[0，）滿足f′（x）cosx+f（x）sinx＜0，令g（x）＝，則g（﹣x）＝＝＝g（x），即g（x）為偶函數(shù)又g′（x）＝＜0，故g（x）在區(qū)間上是減函數(shù)，所以g（0）＞g（）＞g（）＝g（﹣）＞g（）＝g（﹣），即f（0）＝＞＝f（）＝f（﹣），故B正確；＞?，故A錯誤；＞＝?，故C錯誤；

9＝＞＝?，故D錯誤；故選：B．8．“帷幄”是古代打仗必備的帳篷，又稱“惺帳”．如圖是的一種幄帳示意圖，帳頂采用“五脊四坡式”，四條斜脊的長度相等，一條正脊平行于底面．若各斜坡面與底面所成二面角的正切值均為，底面矩形的長與寬之比為5：3，則正脊與斜脊長度的比值為（　?。〢．B．C．D．1【分析】尋找二面角的平面角，列方程確定正脊與斜脊長度的比值．解：設(shè)正脊長為a，斜脊長為b，底面矩形的長與寬分別為5t和3t，如圖過S作SO⊥上底平面于O，過O作OE⊥AE于E，作OF⊥AF于F，連接SE、SF，由題意知tan∠SEO＝tan∠SFO＝，SE2＝b2﹣（）2，SF2＝b2﹣（）2，所以＝，于是a＝2t，b＝＝，所以＝，故選：B．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9．將曲線C1：y＝sinx上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移

10個單位長度，得到曲線C2：y＝f（x），則下列結(jié)論正確的是（　?。〢．B．為一條對稱軸C．f（x）在[0，2π]上有4個零點(diǎn)D．f（x）在上單調(diào)遞增【分析】由題意利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得到f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論．解：將曲線C1：y＝sinx上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，可得y＝sin2x的圖象，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2：y＝f（x）＝sin（2x+），故A錯誤；令x＝﹣，求得f（x）＝﹣1，為最小值，故x＝﹣是f（x）的圖象的一條對稱軸，故B正確；在[0，2π]上，2x+∈[，]，f（x）又4個零點(diǎn)，故C正確；在上，2x+∈（﹣，），函數(shù)f（x）沒有單調(diào)性，故D錯誤，故選：BC．10．如圖，在棱長為a的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為A1D1的中點(diǎn)，Q為A1B1上任意一點(diǎn)，E、F為CD上兩點(diǎn)，且EF的長為定值，則下面四個值中是定值的是（　?。〢．點(diǎn)P到平面QEF的距離B．直線PQ與平面PEF所成的角C．三棱錐P﹣QEF的體積D．△QEF的面積【分析】由平面QEF也就是平面A1B1CD，可判斷A；由線面角的定義可判斷B；由棱錐的體積公式可判斷C；由三角形的面積公式可判斷D．解：對于A，∵平面QEF也就是平面A1B1CD，既然P和平面QEF都是固定的，

11∴P到平面A1B1CD的距離是定值，∴點(diǎn)P到平面QEF的距離為定值，故A正確；對于B，∵Q是動點(diǎn)，E，F(xiàn)也是動點(diǎn)，推不出定值的結(jié)論，∴直線PQ與平面PEF所成的角不是定值，故B錯誤；對于C，∵EF定長，Q到EF的距離就是Q到CD的距離也為定長，即底和高都是定值，∴△QEF的面積是定值，∵點(diǎn)P到平面QEF的距離，∴P到平面QEF的距離也是定值，∴三棱錐的高也是定值，∴三棱錐P﹣QEF的體積是定值，故C正確；對于D，∵EF定長，Q到EF的距離就是Q到CD的距離也為定長，即底和高都是定值，∴△QEF的面積是定值，故D正確．故選：ACD．11．設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列如表：ξ123…20202021Pa1a2a3…a2020a2021則下列說法正確的是（　?。〢．當(dāng){an}為等差數(shù)列時，B．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式可能為C．當(dāng)數(shù)列{an}滿足時，D．當(dāng)數(shù)列{an}滿足P（ξ≤k）＝k2ak（k＝1，2，?，2021）時，（n+1）an＝（n﹣1）an﹣1（n≥2）【分析】由等差數(shù)列的求和公式判斷選項(xiàng)A；由裂項(xiàng)相消法結(jié)合概率之和等于1判斷選項(xiàng)B；根據(jù)等比數(shù)列的求和公式結(jié)合概率之和等于1，即可判斷選項(xiàng)C；利用前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系，即可判斷選項(xiàng)D．解：對于A，因?yàn)閧an}為等差數(shù)列，所以S2021＝＝1，則有a2+a2020＝a1+a2021＝，故A正確；對于B，若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為＝（﹣），則S2021＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝1，故B正確；對于C，因?yàn)閍n＝，所以S2021＝+a2021＝1﹣+a2021＝1，則有a2021＝，故C錯誤；

12對于D，令Sk＝P（ξ≤k）＝k2ak，則ak+1＝Sk+1﹣Sk＝（k+1）2ak+1﹣k2ak，，故＝，所以＝（n≥2），即（n+1）an＝（n﹣1）an﹣1（n≥2），故D正確．故選：ABD．12．2021年3月30日，小米正式開始啟用具備“超橢圓”數(shù)學(xué)之美的新logo．設(shè)計(jì)師的靈感來源于曲線C：|x|n+|y|n＝1．則下列說法正確的是（　?。〢．曲線C關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱B．當(dāng)n＝﹣2時，曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為2C．當(dāng)n＞0時，曲線C所圍成圖形的面積的最小值為πD．當(dāng)n＞0時，曲線C所圍成圖形的面積小于4【分析】以﹣x替換x，以﹣y替換y，方程不變判斷A；利用基本不等式求最值判斷B；舉例說明C錯誤；求得曲線在第一象限圍成圖形的面積的范圍，結(jié)合由對稱性判斷D．解：對于A，在曲線C：|x|n+|y|n＝1中，以﹣x替換x，以﹣y替換y，方程不變，則曲線C關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，故A正確；對于B，當(dāng)n＝﹣2時，C：|x|n+|y|n＝1化為，由＝，當(dāng)且僅當(dāng)x4＝y(tǒng)4時等號成立，得，即曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為2，故B正確；對于C，取n＝1，曲線C：|x|+|y|＝1，曲線C所圍成圖形的面積S＝＜π，故C錯誤；對于D，當(dāng)n＞0時，取曲線C在第一象限的面積為S1，則S＝4S1，又在第一象限的曲線為xn+yn＝1，∴S1＜1×1＝1，則S＜4，故D正確．故選：ABD．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．某校機(jī)器人興趣小組有男生3名，女生2名，現(xiàn)從中隨機(jī)選出3名參加一個機(jī)器人大賽，則選出的人員至少有一名女生的選法有　9　種．

13【分析】分別按1名女生和2名男生，2名女生和1名男生兩種情況討論，并求和，即可求解．解：由題意可得，選出的人員至少有一名女生的選法共種．故答案為：9．14．在（2x2﹣）6的展開式中含x3的項(xiàng)系數(shù)為　﹣160?。痉治觥吭诙?xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于3，求出r的值，即可求得展開式中含x3的項(xiàng)系數(shù)．解：∵（2x2﹣）6的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1＝?（﹣1）r?26﹣r?x12﹣3r，令12﹣3r＝3，求得r＝3，可得展開式中含x3的項(xiàng)系數(shù)為﹣?23＝﹣160，故答案為：﹣160．15．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在雙曲線E的左支上，且∠F1AF2＝120°，|AF2|＝3|AF1|，則雙曲線E的離心率為　?。痉治觥坷秒p曲線的定義，結(jié)合余弦定理，轉(zhuǎn)化求解雙曲線的離心率即可．解：雙曲線E的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)A在雙曲線E的左支上，且∠F1AF2＝120°，|AF2|＝3|AF1|，由雙曲線的定義可知，|AF2|＝3|AF1|＝3a，所以4c2＝9a2+a2﹣2×a×3acos120°，即4c2＝13a2，解得e＝，故答案為：．16．若存在x0∈（﹣1，2），滿足ln＞ax0﹣2a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為?。ǎ。痉治觥繕?gòu)造函數(shù)，g（x）＝ax﹣2a＝a（x﹣2），根據(jù)函數(shù)的圖象，將問題轉(zhuǎn)化為求解f（x）在x＝2處切線的斜率，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可．解：設(shè)，則f（2）＝0，故函數(shù)f（x）過定點(diǎn)（2，0）

14令g（x）＝ax﹣2a＝a（x﹣2），故函數(shù)g（x）過定點(diǎn)（2，0），函數(shù)f（x）在（﹣1，2）上單調(diào)遞增，值域?yàn)椋ī仭蓿?），若g（x）＝a（x﹣2）為f（x）在x＝2處的切線，則，則切線的斜率a＝f'（2）＝，因?yàn)榇嬖趚0∈（﹣1，2），滿足ln＞ax0﹣2a，所以g（x）的斜率必須大于f（x）在x＝2處切線的斜率，故a＞．故答案為：．四、解答題：本大題共6小題，第17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．（1）求B；（2）若b＝3，求△ABC周長的最大值．【分析】（1）根據(jù)正弦定理可得出，然后代入sinC＝sinAcosB+sinBcosA即可得出，從而得出B＝；（2）根據(jù)余弦定理可得出，進(jìn)而得出b2＝a2+c2﹣ac，然后根據(jù)基本不等式即可求出a+c的最大值，進(jìn)而得出△ABC周長的最大值．解：（1）∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵0＜B＜π，∴；

15（2）∵，∴，∴b2＝a2+c2﹣ac，∴9＝（a+c）2﹣3ac，∴當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝3時，a+c取得最大值6，此時周長最大值為9．18．已知首項(xiàng)為2的數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＝tn2+n（t∈R）．（1）求實(shí)數(shù)t的值及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；（2）將①bn＝，②bn＝2+an，③bn＝2?an，三個條件任選一個補(bǔ)充在題中，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．【分析】（1）Sn＝tn2+n，令n＝1，即可求得t的值，由an＝Sn﹣Sn﹣1，即可求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）選①，利用裂項(xiàng)求和法即可得解．選②，利用分組求和法即可得解．選③，利用錯位相減法求和即可得解．解：（1）由題可知a1＝2，因?yàn)镾n＝tn2+n，令n＝1，可得a1＝S1＝t+1＝2，解得t＝1，所以Sn＝n2+n，Sn﹣1＝（n﹣1）2+（n﹣1），所以an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）＝2n，當(dāng)n＝1時，a1＝2也適合上式，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝2n．（2）若選①bn＝＝（﹣），所以Tn＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝﹣．若選②bn＝2+an＝4n+2n，所以Tn＝+n2+n＝﹣+n2+n．若選③bn＝2?an＝2n?4n，所以Tn＝2×41+4×42+6×43+…+2n?4n，4Tn＝2×42+4×43+6×44+…+2n?4n+1，兩式相減可得﹣3Tn＝2×41+2×42+2×43+…+2?4n﹣2n?4n+1

16＝2×﹣2n?4n+1＝（﹣2n）4n+1﹣，所以Tn＝（n﹣）4n+1+．19．如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC，△ABC和△A1AC都是正三角形，D是AB的中點(diǎn)．（1）求證：BC1∥平面A1DC；（2）求二面角A1﹣DC﹣C1的余弦值．【分析】（1）連接AC1，交A1C于點(diǎn)E，連接DE，利用中位線定理證明DE//BC1，由線面平行的判定定理證明即可；（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出平面A1DC和平面DCC1的法向量，由向量的夾角公式求解即可．【解答】（1）證明：如圖，連接AC1，交A1C于點(diǎn)E，連接DE，由于四邊形A1ACC1是平行四邊形，所以E是AC1的中點(diǎn)，又因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，所以DE//BC1，因?yàn)镈E?平面A1DC，BC1?平面A1DC，所以BC1//平面A1DC；（2）解：如圖，取AC的中點(diǎn)O，連接A1O，BO，根據(jù)△ABC和△A1AC都是正三角形，得A1O⊥AC，BO⊥AC，又平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以A1O⊥平面ABC，于是A1O⊥BO，

17以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)AC＝2，則，C（0，1，0），，，所以，，，設(shè)平面A1DC的法向量為，則，即，令x＝3，則，z＝1，所以，設(shè)平面DCC1的法向量，則，即，令a＝3，則，c＝﹣1，所以，設(shè)二面角A1﹣DC﹣C1的大小為θ，由圖易知θ為銳角，則，因此二面角A1﹣DC﹣C1的余弦值為．

1820．2020年10月，中共中央辦公廳、國務(wù)院辦公廳印發(fā)了《關(guān)于全面加強(qiáng)和改進(jìn)新時代學(xué)校體育工作的意見》，某地積極開展中小學(xué)健康促進(jìn)行動，決定在2021年體育中考中再增加一定的分?jǐn)?shù)，規(guī)定：考生須參加游泳、長跑、一分鐘跳繩三項(xiàng)測試，其中一分鐘跳繩滿分20分，某校在初三上學(xué)期開始要掌握全年級學(xué)生一分鐘跳繩情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行測試，得到如圖所示頻率分布直方圖，且規(guī)定計(jì)分規(guī)則如表：每分鐘跳繩個數(shù)[155，165）[165，175）[175，185）[185，+∞）得分17181920（1）現(xiàn)從樣本的100名學(xué)生中任意選取2人，求兩人得分之和不大于35分的概率；（2）根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn)，該校初三年級學(xué)生經(jīng)過一年的訓(xùn)練，正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)都有明顯進(jìn)步，整體成績差異略有變化．假設(shè)今年正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)比初三上學(xué)期開始時個數(shù)增加10個，方差為169，且該校初三年級所有學(xué)生正式測試時每分鐘的跳繩個數(shù)X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），用樣本數(shù)據(jù)的期望和方差估計(jì)總體的期望和方差（各組數(shù)據(jù)用區(qū)間的中點(diǎn)值代替）．①若在全年級所有學(xué)生中任意選取3人，記正式測試時每分鐘跳195個以上的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和期望；②判斷該校初三年級所有學(xué)生正式測試時的滿分率是否能達(dá)到85%，說明理由附：隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9974．【分析】（1）利用分類計(jì)數(shù)原理以及古典概型的概率公式求解即可；（2）①由題意得到X～N（195，132），求出全年級所有學(xué)生中任取1人，每分鐘跳繩個數(shù)在195個以上的概率，然后利用二項(xiàng)分布的概率公式，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望即可；②利用X～N（195，132），計(jì)算P（X＞182），然后比較分析即可．解：（1）設(shè)“選取的兩人得分之和不大于35分”為事件A，則事件A的基本事件總數(shù)為，由題意可得，得17分的學(xué)生人數(shù)為100×0.06＝6人，得18分的人數(shù)為100×0.12＝12人，事件A發(fā)生包含兩種可能：

19一種是兩人得分均為17分，另一種是兩人中有一人得17分，1人得18分，所以事件A的基本事件個數(shù)為，所以＝；（2）①由題意可得，，正式測試時，，σ＝，則X～N（195，132），所以P（X＞195）＝P（X＞σ）＝0.5，則在全年級所有學(xué)生中任取1人，每分鐘跳繩個數(shù)在195個以上的概率為0.5，由題意可知，ξ～B（3，），則P（ξ＝k）＝，（k＝0，1，2，3），故ξ的分布列為：ξ0123P所以ξ的數(shù)學(xué)期望為E（ξ）＝3×＝；②由X～N（195，132），則P（X＞182）＝P（X＞μ﹣σ）＝P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.8413，所以預(yù)測正式測試時每分鐘跳繩個數(shù)在182個以上的人數(shù)比例為0.8413＜0.85，由題意，每分鐘跳繩個數(shù)不少于185個才能得到滿分，所以可以預(yù)測該校初三年級所有學(xué)生正式測試時的滿分率p＜0.8413＜0.85，故該校初三年級所有學(xué)生正式測試時的滿分率不能達(dá)到85%．21．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓Γ：的長軸長為4，且經(jīng)過點(diǎn)．A為左頂點(diǎn)，B為下頂點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)P在第一象限，PA交y軸于點(diǎn)C，PB交x軸于點(diǎn)D．（1）求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，求線段AP的長；（3）試問：四邊形ABDC的面積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

20【分析】（1）利用已知建立等式關(guān)系．由此即可求解；（2）由已知向量關(guān)系求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后求出直線AP的方程，并與橢圓方程聯(lián)立求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，由此即可求解；（3）設(shè)出直線PB的方程，由此求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，聯(lián)立直線PB與橢圓的方程，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，由此求出直線PA的方程，進(jìn)而求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后求出|AD|，|BC|，由此求出四邊形ABCD的面積，進(jìn)而可以求解．解：（1）由題意得2a＝4，解得a＝2，把點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入橢圓C的方程，得，由于a＝2，解得，所以所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）因?yàn)椋瑒t得，即，又因?yàn)锳（﹣2，0），所以直線AP的方程為，由解得，所以，即線段AP的長為；（3）由題意知，直線PB的斜率存在，可設(shè)直線PB：，令y＝0，得，由得，解得x＝0（舍去）或，所以，

21于是直線AP的方程為，令x＝0得，即，所以四邊形ABDC的面積等于，即四邊形ABDC的面積為定值．22．已知函數(shù)f（x）＝．（1）判斷f（x）的單調(diào)性，并比較20202021與20212020的大??；（2）若函數(shù)g（x）＝（x﹣2）2+x（2f（x）﹣1），其中，判斷g（x）的零點(diǎn)的個數(shù)，并說明理由．參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.693．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)即可．解：（1）函數(shù)f（x）＝．f（x）的定義域是（0，+∞），故f′（x）＝，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜e，令f′（x）＜0，解得：x＞e，故f（x）在（0，e）單調(diào)遞增，在（e，+∞）單調(diào)遞減，則f（2020）＞f（2021），即＞,故2021ln2020＞2020ln2021，故ln20202021＞ln20212020，故20202021＞20212020；(2)∵,(),∴g′(x)＝ax+﹣2a﹣1＝,令g′（x）＝0，解得：x＝2或x＝，①a＝時，則g′（x）＝≥0，g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，且g（2）＝2ln2﹣2＜0，g（6）＝2ln6﹣2＞0，故g（2）g（6）＜0，故存在x0∈（2，6），使得g（x0）＝0，故g（x）在（0，+∞）上只有1個零點(diǎn)；②時，則＜2，則g（x）在（0，）遞增，在（，2）遞減，在（2，+∞）遞增，且g（2）＝2ln2﹣2＜0，g（6）＝8a+2ln6﹣6＞2ln6﹣2＞0，故g（2）g（6）＜0，故存在x1∈（2，6），使得g（x1）＝0，故g（x）在（2，+∞）上只有1個零點(diǎn)，另一方面h(a)＝,(),

22﹣＝2(﹣1)2＞0,∴h(a)在（，）上單調(diào)遞增，所以＝﹣2﹣2ln＜0則g（）＜0，故g（x）在（0，]上沒有零點(diǎn)，綜上：當(dāng)時，g（x）只有1個零點(diǎn)．