浙江省浙南名校聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高二下學(xué)期期末考試聯(lián)考數(shù)學(xué)Word版含解析

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浙江省浙南名校聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（共10題；共40分）1.設(shè)集合U={?2,?1,0,1}，A={x|x2<1,x∈U}，則?UA=（???）A.?{?2,?1,1}??????????????????????B.?{?2,0,1}??????????????????????C.?{?2,?1,0}??????????????????????D.?{?1,0,1}2.雙曲線y2?x2=1的離心率是（???）A.?22?????????????????????????????????????????B.?1?????????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????????D.?23.若實數(shù)x，y滿足約束條件{x≥0y≥xy≤2?2x，則z=x+2y的最大值是（???）A.?23???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?83???????????????????????????????????????????D.?44.某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積（單位：cm3）是（???）A.?5π6????????????????????????????????????B.?2π3????????????????????????????????????C.?π2????????????????????????????????????D.?(3+52)π5.已知函數(shù)f(x)=logax（a>0，a≠1），則y=f(|x|?1)的圖象可能是（???）

1A.?????????????????????????????????B.?C.?????????????????????????????????????D.?6.若a,b∈R，則“a+|b|>1”是“|a|+|b|≥1”的（???）A.?充分不必要條件???????????B.?必要不充分條件???????????C.?充分必要條件???????????D.?既不充分也不必要條件7.已知θ∈(π4,π2)，sin(θ+π4)=63，則tanθ=（???）A.?3?22??????????????????????????????????B.?3+22??????????????????????????????????C.?24??????????????????????????????????D.?68.已知等比數(shù)列{an}前n項和Sn滿足Sn=1?A?3n+1（A∈R），數(shù)列{bn}是遞增的，且bn=An2+Bn，則實數(shù)B的取值范圍為（???）A.?[?23,+∞)???????????????????????B.?[?1,+∞)???????????????????????C.?(?1,+∞)???????????????????????D.?(?13,+∞)9.已知平面向量a，b，c，滿足|a|=a?b=2，|a+λb|≥|a?12b|對任意實數(shù)λ恒成立，(a?c)?(b?2c)=1，則|b?c|的最大值為（???）A.?3+12???????????????????????????????B.?5+32???????????????????????????????C.?7+32???????????????????????????????D.?7+5210.已知方程x?ekx=1有兩個不同的實數(shù)根x1，x2（x1e2???????????????????B.?x1+x2>2e???????????????????C.?x1?ke+1e二、填空題（共7題；共36分）11.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1?i)z=1+2i（i是虛數(shù)單位），則|z|=________，z的虛部為________．12.已知(1+x)+(1+x)2+???+(1+x)n=a0+a1x+???+anxn，若a1+a2+???+an?1=1021?n，則n=________，a7=________．13.在△ABC中，已知角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且b2+c2?a2=bc，則A=________；若a=2，則△ABC面積的最大值為________．14.袋中裝有質(zhì)地，大小相同的5個紅球，m個白球，現(xiàn)從中任取2個球，若取出的兩球都是紅球的概率為514，則m=________；記取出的紅球個數(shù)為X，則E(X)=________．

215.已知a>0，b>0，且a+b=1，則1a+2b?3ab的最大值是________．16.已知拋物線y2=4x，過點N(2,0)的直線交拋物線于A，B兩點，|AN||BN|=2，則線段AB長為________．17.如圖，在矩形ABCD中，AB=a，BC=2a，點E為AD的中點，將△ABE沿BE翻折到△A'BE的位置，在翻折過程中，A'不在平面BCDE內(nèi)時，記二面角A'?DC?B的平面角為α，則當(dāng)α最大時，cosα的值為________．三、解答題（共5題；共74分）18.已知函數(shù)f(x)=cos2(x+π2)?cos2(x+π3)，x∈R．（1）求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若α∈[0,π]，f(α)=?34，求α的值．19.如圖，菱形ABCD與正三角形DEF所在平面互相垂直，∠BCD=60°，E，G分別是線段AB，CF的中點．（1）求證：BG//平面DEF；（2）求直線BC與平面DEG所成角的正弦值．20.設(shè)正項數(shù)列{an}的前n項之和bn=a1+a2+???+an，數(shù)列{bn}的前n項之積cn=b1b2???bn，且bn+cn=1．（1）求證：{1cn}為等差數(shù)列，并分別求{an}、{bn}的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列{an?bn+1}的前n項和為Sn，不等式Sn>1λ+λ?3對任意正整數(shù)n恒成立，求正實數(shù)λ的取值范圍．21.如圖，A，B為橢圓x24+y2=1的左右頂點，直線y=kx+m交橢圓于C，D兩點，直線AC的斜率是直線BD的斜率3倍．

3（1）若P為橢圓上異于A，B的一點，證明：直線PA和PB的斜率之積為常數(shù)；（2）證明：直線CD過定點．22.已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|x+b|（a,b∈R）．（1）若a=1，b=?1，求y=f(x)的值域；（2）若b=0，當(dāng)x∈[0,4]時，f(x)的最大值為258，求a的值；（3）當(dāng)x∈[0,4]時，記f(x)最大值為M(a,b)，求證：當(dāng)a2+b2≤12時，3≤M(a,b)≤7．

4答案解析部分一、單選題（共10題；共40分）1.設(shè)集合U={?2,?1,0,1}，A={x|x2<1,x∈U}，則?UA=（???）A.?{?2,?1,1}??????????????????????B.?{?2,0,1}??????????????????????C.?{?2,?1,0}??????????????????????D.?{?1,0,1}【答案】A【考點】補集及其運算【解析】【解答】由題意得：集合A={0}，所以?UA={?2,?1,1}.故答案為：A【分析】根據(jù)題意由補集的定義即可得出答案。2.雙曲線y2?x2=1的離心率是（???）A.?22?????????????????????????????????????????B.?1?????????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????????D.?2【答案】C【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)【解析】【解答】由雙曲線方程知：a=1，c=2，∴e=ca=2.故答案為：C【分析】根據(jù)題意由雙曲線的簡單性質(zhì)求出a與c的值，從而計算出離心率的結(jié)果。3.若實數(shù)x，y滿足約束條件{x≥0y≥xy≤2?2x，則z=x+2y的最大值是（???）A.?23???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?83???????????????????????????????????????????D.?4【答案】D【考點】簡單線性規(guī)劃【解析】【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，

5聯(lián)立{x=02x+y=2，解得A(0,2)，化目標(biāo)函數(shù)z=x+2y為y=?12x+z2，由圖可知，當(dāng)直線z=x+2y經(jīng)過點A(0,2)時，z取得最大值，且最大值為4．故答案為：D．【分析】根據(jù)題意作出可行域再由已知條件找出目標(biāo)函數(shù)，把目標(biāo)函數(shù)化為直線方程的截距由數(shù)形結(jié)合法即可得出當(dāng)直線經(jīng)過點A時，z取得最大值并由直線的方程求出點A的坐標(biāo)，然后把坐標(biāo)代入到目標(biāo)函數(shù)計算出z的值即可。4.某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積（單位：cm3）是（???）A.?5π6????????????????????????????????????B.?2π3????????????????????????????????????C.?π2????????????????????????????????????D.?(3+52)π【答案】A【考點】由三視圖求面積、體積【解析】【解答】解：根據(jù)三視圖可知該幾何體為一個圓柱挖去一個圓錐，

6∴其體積為V=π×12×1?13×π×12×12=5π6，故答案為：A．【分析】根據(jù)三視圖可知該幾何體為一個圓柱挖去一個圓錐，由圓柱以及圓錐的體積公式代入數(shù)值計算出結(jié)果即可。5.已知函數(shù)f(x)=logax（a>0，a≠1），則y=f(|x|?1)的圖象可能是（???）A.?????????????????????????????????B.?C.?????????????????????????????????????D.?【答案】B【考點】函數(shù)的圖象【解析】【解答】由題意，y=g(x)=f(|x|?1)=loga(|x|?1)，∴g(?x)=loga(|?x|?1)=g(x)，即g(x)為偶函數(shù)，排除A、D；當(dāng)x=3時，y=g(3)=loga(|3|?1)=loga2，當(dāng)x=32時，y=g(32)=loga(|32|?1)=?loga2，∴x=3、x=32對應(yīng)函數(shù)值異號，排除C；故答案為：B

7【分析】根據(jù)題意首先求出函數(shù)的定義域再由奇函數(shù)的定義f(-x)=f(x)即可判斷出該函數(shù)為偶函數(shù)，由偶函數(shù)圖象的性質(zhì)得出圖像關(guān)于y軸對稱由此排除A、D，再由特殊點法代入數(shù)值驗證即可排除選項C，由此得到答案。?6.若a,b∈R，則“a+|b|>1”是“|a|+|b|≥1”的（???）A.?充分不必要條件???????????B.?必要不充分條件???????????C.?充分必要條件???????????D.?既不充分也不必要條件【答案】A【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷，不等式的基本性質(zhì)【解析】【解答】若a+|b|>1，因為|a|≥a，所以|a|+|b|≥a+|b|>1，即|a|+|b|≥1成立；反過來，若|a|+|b|≥1，取a=?1,b=0，滿足|a|+|b|≥1，但此時a+|b|=?1，即a+|b|>1不成立.所以“a+|b|>1”是“|a|+|b|≥1”的充分不必要條件.故答案為：A.【分析】首先由絕對值不等式的性質(zhì)利用特殊值法，結(jié)合充分和必要條件的定義即可得出答案。7.已知θ∈(π4,π2)，sin(θ+π4)=63，則tanθ=（???）A.?3?22??????????????????????????????????B.?3+22??????????????????????????????????C.?24??????????????????????????????????D.?6【答案】B【考點】兩角和與差的正切公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系【解析】【解答】因為θ∈(π4,π2)，所以θ+π4∈(π2,3π4)，又因為sin(θ+π4)=63，所以cos(θ+π4)=?33，則tan(θ+π4)=?2，所以tanθ=tan[(θ+π4)?π4]，=tan(θ+π4)?tanπ41+tan(θ+π4)?tanπ4，=?2?11?2=3+22，故答案為：B【分析】首先由角的取值范圍得出θ+π4∈(π2,3π4)，然后由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式計算出tan(θ+π4)=?2，再由兩角和的正切公式代入數(shù)值計算出結(jié)果即可。8.已知等比數(shù)列{an}前n項和Sn滿足Sn=1?A?3n+1（A∈R），數(shù)列{bn}是遞增的，且bn=An2+Bn，則實數(shù)B的取值范圍為（???）A.?[?23,+∞)???????????????????????B.?[?1,+∞)???????????????????????C.?(?1,+∞)???????????????????????D.?(?13,+∞)【答案】C【考點】數(shù)列的函數(shù)特性，等比數(shù)列的性質(zhì)【解析】【解答】解：因為等比數(shù)列{an}前n項和Sn滿足Sn=1?A?3n+1（A∈R），

8所以a1=S1=1?9A，a2=S2?S1=(1?27A)?(1?9A)=?18A，a3=S3?S2=(1?81A)?(1?27A)=?54A，因為等比數(shù)列{an}中a22=a1a3，所以(?18A)2=(1?9A)(?54A)，解得A=13或A=0（舍去），所以bn=13n2+Bn，因為數(shù)列{bn}是遞增的，所以bn+1?bn=13(n+1)2+B(n+1)?13n2?Bn>0，所以B>?23n?13，因為n∈N?，所以B>?1，故答案為：C【分析】根據(jù)題意由數(shù)列的通項公式和數(shù)列前n項和公式之間的關(guān)系求出數(shù)列的通項公式，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)即可得出bn=13n2+Bn，從而得出數(shù)列的單調(diào)性，由此得出bn+1?bn=13(n+1)2+B(n+1)?13n2?Bn>0即B>?23n?13，進而得出答案。9.已知平面向量a，b，c，滿足|a|=a?b=2，|a+λb|≥|a?12b|對任意實數(shù)λ恒成立，(a?c)?(b?2c)=1，則|b?c|的最大值為（???）A.?3+12???????????????????????????????B.?5+32???????????????????????????????C.?7+32???????????????????????????????D.?7+52【答案】D【考點】兩向量的和或差的模的最值，平面向量的坐標(biāo)運算，兩點間的距離公式【解析】【解答】解：由|a+λb|?|a?12b|，得|a|2+2abλ+|b|2λ2?|a|2+a·b?14|b|2?0，即b2λ2+4λ?14b2+2≥0，因為|a+λb|≥|a?12b|對任意實數(shù)λ恒成立，所以Δ=16?4b2(?14b2+2)≤0，解得(b2?4)2≤0，所以b2?4=0即|b|=2，由|a|=a?b=2，可設(shè)a=(2,0),b=(1,3),c=(x,y)，則a?c=(2?x,?y)，b?2c=(1?2x,3?2y)，

9因為(a?c)?(b?2c)=1，所以2+2x2?5x?3y+2y2=1，即(x?54)2+(y?34)2=54，所以向量c=(x,y)對應(yīng)點的坐標(biāo)的軌跡方程是以(54,34)為圓心，52為半徑的圓，|b?c|=(1?x)2+(3?y)2，可以看成(1,3)和(x,y)兩點之間的距離，將(1,3)代入(x?54)2+(y?34)2=54，得(1,3)在圓內(nèi)，圓心(54,34)到點(1,3)的距離為(54?1)2+(34?3)2=72，所以|b?c|的最大值為7+52.故答案為：D.【分析】根據(jù)題意整理化簡原式由此得到|b|=2，再由已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)公式整理得出a?c=(2?x,?y)，b?2c=(1?2x,3?2y)，由一直聽結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)公式整理得到向量c=(x,y)對應(yīng)點的坐標(biāo)的軌跡方程是以(54,34)為圓心，52為半徑的圓，然后由向量模的公式以及兩點間的距離公式整理得出答案即可。10.已知方程x?ekx=1有兩個不同的實數(shù)根x1，x2（x1e2???????????????????B.?x1+x2>2e???????????????????C.?x1?ke+1e【答案】D【考點】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【解析】【解答】由題意，k=?lnx2x，即y=k與f(x)=?lnx2x在(0,+∞)上有兩個交點且橫坐標(biāo)分別為x1，x2（x1e時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；∴f(x)的極小值也是最小值為f(e)=?12e，而f(1)=0，limx→0+f(x)=+∞，limx→+∞f(x)=0，∴要使題設(shè)成立，則?12ee，∴f(e+x0)?f(e?x0)=ln(e?x0)2(e?x0)?ln(e+x0)2(e+x0)=(e+x0)ln(e?x0)?(e?x0)ln(e+x0)2(e2?x02)，若g(x0)=(e+x0)ln(e?x0)?(e?x0)ln(e+x0)且0

10∴g'(x0)e時f(x)單調(diào)遞增，故在e+x0右側(cè)存在x2，使f(x2)=f(e?x0)，即x2>e+x0，若e?x0=x1，∴x1+x2>e+x0+e?x0=2e，且x1?x2>e2?x02恒成立，即x1?x2>e2，A、B符合題意；令?(x)=x+lnx2x且x∈(1,+∞)，則?'(x)=1+1?lnx2x2，即?″(x)=2lnx?32x3，∴1e32，?″(x)>0，?'(x)遞增；∴?'(x)≥?'(e32)=1?14e3>0，故?(x)單調(diào)遞增，∴?(x1)

11∴1021?n=2n+1?3?n，即2n+1=1024，得n=9，∴含x7的項為C77x7+C87x7+C97x7=45x7，即a7=45.故答案為：9，45【分析】由已知條件利用特殊值代入法計算出a1+a2+...+an?1=2n+1?3?n，即可求出n的值，再把結(jié)果代入到C77x7+C87x7+C97x7=45x7計算出結(jié)果即可。13.在△ABC中，已知角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且b2+c2?a2=bc，則A=________；若a=2，則△ABC面積的最大值為________．【答案】60°；3【考點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，正弦定理，余弦定理【解析】【解答】解：∵b2+c2?a2=bc，由余弦定理得b2+c2?a2=2bccosA=bc，∴cosA=12，A∈(0,π)，∴A=60°，又a=2，∴b2+c2?4=bc≥2bc?4，∴bc≤4，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時等號成立，∴△ABC面積的最大值Smax=12bcsinA=12×4×32=3，故答案為：60°；3．【分析】首先由余弦定理代入數(shù)值計算出cosA的值，由此求出角A的大小，再由基本不等式計算出bc≤4，由此計算出三角形面積的最大值。14.袋中裝有質(zhì)地，大小相同的5個紅球，m個白球，現(xiàn)從中任取2個球，若取出的兩球都是紅球的概率為514，則m=________；記取出的紅球個數(shù)為X，則E(X)=________．【答案】3；54【考點】離散型隨機變量及其分布列，離散型隨機變量的期望與方差，組合及組合數(shù)公式【解析】【解答】由題意知：C52Cm0Cm+52=514，整理得m2+9m?36=(m+12)(m?3)=0(m>0)，∴m=3，由X={0,1,2}，則P(X=0)=C50C32C82=328，P(X=1)=C51C31C82=1528，P(X=2)=C52C30C82=514，∴E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=)1+2×P(X=2)=0+1528+57=54.故答案為：3，54.

12【分析】由已知條件集合組合公式整理得到關(guān)于m的方程求解出m的值，再由題意即可得出X的取值，結(jié)合概率公式計算出對應(yīng)的X的概率值，并把數(shù)值代入到期望公式計算出結(jié)果即可。15.已知a>0，b>0，且a+b=1，則1a+2b?3ab的最大值是________．【答案】32【考點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用【解析】【解答】解：因為a>0，b>0，且a+b=1，所以a∈(0,1),b∈(0,1)，1a+2b?3ab=11+b?3ab=11+(1?a)(1?3a)=13a2?4a+2，當(dāng)a=23時，3a2?4a+2取最小值23，所以13a2?4a+2取最大值32，故1a+2b?3ab的最大值是32.故答案為：32.【分析】首先根據(jù)題意整理化簡原式再由基本不等式計算出最值即可。16.已知拋物線y2=4x，過點N(2,0)的直線交拋物線于A，B兩點，|AN||BN|=2，則線段AB長為________．【答案】35【考點】拋物線的定義，拋物線的簡單性質(zhì)【解析】【解答】設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，不妨設(shè)y1>0,y2<0，直線方程為y=k(x?2),(k≠0)，由{y=k(x?2)y2=4x，得ky2?4y?8k=0，由韋達定理得y1?y2=?8，因為|AN||BN|=2，所以y1=?2y2，解得y1=4,y2=?2，x1=4,x2=1，所以|AB|=(x1?x2)2+(y1?y2)2=35，故答案為：35【分析】根據(jù)題意聯(lián)立直線與拋物線的方程消元后得到關(guān)于y的方程結(jié)合韋達定理，求出y1?y2=?8由已知條件即可得出y1=4,y2=?2，x1=4,x2=1，然后由兩點間的距離公式代入數(shù)值計算出結(jié)果即可。

1317.如圖，在矩形ABCD中，AB=a，BC=2a，點E為AD的中點，將△ABE沿BE翻折到△A'BE的位置，在翻折過程中，A'不在平面BCDE內(nèi)時，記二面角A'?DC?B的平面角為α，則當(dāng)α最大時，cosα的值為________．【答案】255【考點】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，二面角的平面角及求法【解析】【解答】取BC中點F，易得AF⊥BE，在翻折過程中A'的射影H在AF上，且A'的軌跡是以AF為直徑的圓，如上圖，在ABCD內(nèi)作HG⊥CD，垂足為G，連A'G，∴∠A'GH是二面角A'?DC?B的平面角，即α=∠A'GH且α∈(0,π2)．由AF⊥BE，故A'O⊥BE，∴∠A'OF是二面角A'?BE?C的平面角，設(shè)∠A'OF=θ，由上下對稱故只考慮θ∈(0,π)即可．由AB=a，則OA'=22a，A'H=22asinθ，OH=22acosθ，HG=32a?12acosθ，而A'H⊥面ABCD，故tanα=A'HHG=22asinθ32a?12acosθ=2sinθ3?cosθ，令k=2sinθ3?cosθ，則3k=2sinθ+kcosθ=2+k2sin(θ+φ)且tanφ=k2，∴3k≤2+k2，得?12≤k≤12，∴由正切函數(shù)單調(diào)性，當(dāng)α最大時tanα=12，故cosα=255，此時cosθ=13．故答案為：255【分析】根據(jù)題意由已知條件作出輔助線，易知在翻折過程中A’的射影H在AF?上且4’的軌跡是以AF?為直徑的圓，作HG⊥CD，則∠A'GH是二面角A'?DC?B的平面角，∠A'OF

14是二面角A'-BE-C的平面角，由題設(shè)求OA、AH、OH、HG，即有k=2sinθ3?cosθ，整理變形有3k=2sinθ+kcosθ=2+k2sin(θ+φ)即可求tan?α的范圍，由正切單調(diào)性確定最大時求出tanα=12，從而得出答案即可。?三、解答題（共5題；共74分）18.已知函數(shù)f(x)=cos2(x+π2)?cos2(x+π3)，x∈R．（1）求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若α∈[0,π]，f(α)=?34，求α的值．【答案】（1）f(x)=sin2x?cos2(x+π3)=1?cos2x2?1+cos(2x+2π3)2=?12cos2x+14cos2x+34sin2x=?14cos2x+34sin2x=12sin(2x?π6)∵在2kπ+π2≤2x?π6≤2kπ+3π2上f(x)單調(diào)遞減，即kπ+π3≤x≤kπ+5π6,k∈Z，上f(x)單調(diào)遞減，∴單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+π3,kπ+5π6]，k∈Z；（2）由f(α)=?34，得sin(2α?π6)=?32，∴2α?π6=4π3+2kπ或2α?π6=5π3+2kπ，k∈Z∵α∈[0,π]，∴α=3π4,11π12．【考點】函數(shù)解析式的求解及常用方法，二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性【解析】【分析】(1)首先由二倍角公式以及兩角和的正弦公式整理化簡函數(shù)的我就想說，再由正弦函數(shù)的單調(diào)性由整體思想即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。(2)根據(jù)題意把點的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式，由此計算出2α?π6=4π3+2kπ或2α?π6=5π3+2kπ對k賦值計算出結(jié)果即可。??19.如圖，菱形ABCD與正三角形DEF所在平面互相垂直，∠BCD=60°，E，G分別是線段AB，CF的中點．

15（1）求證：BG//平面DEF；（2）求直線BC與平面DEG所成角的正弦值．【答案】（1）證明：取線段DF中點H，連HG，HE，因為G、H分別為FC、DF中點，所以HG∕∕DC，且HG=12DC，又E為AB中點，AB∕∕DC,AB=DC，所以EB∕∕DC，EB=12DC，所以HG//EB且HG=EB，所以四邊形GBEH是平行四邊形，所以GB//HE，由HE?平面DEF，BG?平面DEF，所以BG//平面DEF．（2）因為E為AB中點，所以DE⊥AB，所以DE⊥DC，過D作平面ABCD的垂線為z軸，分別以DE，DC所在直線為x，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示??設(shè)菱形邊長為2，則DE=3，取DE中點O，連接FO，

16所以FO⊥DE，即正三角形DEF高為FO=32，由已知平面ABCD⊥平面DEF，且平面ABCD∩平面DEF=DE，所以FO⊥平面ABCD，所以F(32,0,32)，E(3,0,0)，B(3,1,0)，C(0,2,0)，G(34,1,34)，D(0,0,0)，則BC=(?3,1,0)，DG=(34,1,34)，DE=(3,0,0)，設(shè)平面DEG的法向量為n=(x,y,z)，則{n?DG=34x+y+34z=0n?DE=3x=0，解得{x=04y=?3z，取n=(0,?3,4)，設(shè)直線BC與平面DEG所成角為θ，則sinθ=|n?BC|n|?|BC||=310所以直線BC與平面DEG所成角的正弦值為310【考點】直線與平面平行的判定，空間向量的數(shù)量積運算，用空間向量求直線與平面的夾角【解析】【分析】(1)根據(jù)題意作出輔助線，由中點的性質(zhì)即可得出線線平行，由此得出四邊形GBEH是平行四邊形，進而得出線線平行結(jié)合線面平行的判定定理即可得證出結(jié)論。(2)根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系求出各個點的坐標(biāo)以及向量和平面DEG法向量的坐標(biāo)，再由數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可求出平面DEG的法向量的坐標(biāo)，結(jié)合空間數(shù)量積的運算公式代入數(shù)值即可求出夾角的余弦值即為線面角的正弦值，由此得到直線BC與平面DEG所成角的正弦值。??20.設(shè)正項數(shù)列{an}的前n項之和bn=a1+a2+???+an，數(shù)列{bn}的前n項之積cn=b1b2???bn，且bn+cn=1．（1）求證：{1cn}為等差數(shù)列，并分別求{an}、{bn}的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列{an?bn+1}的前n項和為Sn，不等式Sn>1λ+λ?3對任意正整數(shù)n恒成立，求正實數(shù)λ的取值范圍．【答案】（1）解：由題意知：當(dāng)n≥2時，bn=cncn?1，代入bn+cn=1得：cncn?1+cn=1，所以1cn?1cn?1=1由{b1=c1b1+c1=1得：b1=c1=12，所以{1cn}是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以1cn=n+1，cn=1n+1，bn=1?cn=nn+1當(dāng)n≥2時，an=bn?bn?1=nn+1?n?1n=1n(n+1)

17當(dāng)n=1時，a1=b1=12也符號上式，所以an=1n(n+1)（2）由（1）得：an?bn+1=nn(n+1)?n+1n+2=1n(n+2)所以Sn=11×3+12×4+13×5+???+1(n?1)(n+1)+1n(n+2)=12(1?13+12?14+13?15+???+1n?1?1n+1+1n?1n+2)=34?12(1n+1+1n+2)顯然{Sn}單調(diào)遞增，所以Sn≥S1=13由題意得：1λ+λ?3<13，即1λ+λ<103，又λ>0，所以λ的取值范圍為13<λ<3．【考點】等差數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列的前n項和，數(shù)列的求和【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由已知條件結(jié)合數(shù)列的遞推公式，整理即可得出數(shù)列{1cn}為等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式即可得出cn=1n+1即bn=1?cn=nn+1，從而整理得到數(shù)列{an}、{bn}的通項公式。(2)由(1)的結(jié)論整理即可得出an?bn+1=nn(n+1)?n+1n+2=1n(n+2)，再由裂項相消法整理即可得出Sn=34?12(1n+1+1n+2)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可得出{Sn}的單調(diào)性，由此得到Sn≥S1=13。即1λ+λ?3<13求解出λ的取值范圍。?21.如圖，A，B為橢圓x24+y2=1的左右頂點，直線y=kx+m交橢圓于C，D兩點，直線AC的斜率是直線BD的斜率3倍．（1）若P為橢圓上異于A，B的一點，證明：直線PA和PB的斜率之積為常數(shù)；（2）證明：直線CD過定點．【答案】（1）由題意，設(shè)P點的坐標(biāo)(x0,y0)則x024+y02=1，而A(?2,0)，B(2,0)，

18∴kPA?kPB=y0x0+2?y0x0?2=y02x02?4=1?x024x02?4=?14，故為定值，得證.（2）設(shè)C點坐標(biāo)(x1,y1)，設(shè)D點坐標(biāo)(x2,y2)，由（1）可得：kAD?kBD=?14，又kAC=3kBD，∴kAC?kAD=?34聯(lián)立直線與橢圓方程，整理得(4k2+1)x2+8kmx+4(m2?1)=0，∴x1+x2=?8km4k2+1，x1x2=4(m2?1)4k2+1，則y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=m2?4k24k2+1，∴kAC?kAD=y1x1+2?y2x2+2=y1y2x1x2+2(x1+x2)+4=m2?4k24(m2?1)+2(?8km)+4(4k2+1)=?34，整理得2k2?3km+m2=0，即(k?m)(2k?m)=0，可得m=2k或m=k，當(dāng)m=2k時，直線y=kx+m=kx+2k，直線過定點(?2,0)（舍），當(dāng)m=k時，直線y=kx+m=kx+k，直線過定點(?1,0)，得證.【考點】恒過定點的直線，橢圓的簡單性質(zhì)，直線與圓錐曲線的綜合問題【解析】【分析】(1)根據(jù)題意把點的坐標(biāo)代入結(jié)合直線斜率的坐標(biāo)公式整理即可得出答案。(2)由設(shè)而不求法設(shè)出點的坐標(biāo)，再由(1)的結(jié)論結(jié)合直線的斜率公式整理得出kAC?kAD=?34，聯(lián)立直線與橢圓的方程消元后得到關(guān)于x的方程，結(jié)合韋達定理即可得出關(guān)于兩根之和以及兩根之積關(guān)于m的代數(shù)式，結(jié)合直線的方程整理得出y1y2=m2?4k24k2+1，代入到kAC?kAD整理得出為定值，由此得出m的取值再把數(shù)值代入到直線的方程，整理即可得到答案。22.已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|x+b|（a,b∈R）．（1）若a=1，b=?1，求y=f(x)的值域；（2）若b=0，當(dāng)x∈[0,4]時，f(x)的最大值為258，求a的值；（3）當(dāng)x∈[0,4]時，記f(x)最大值為M(a,b)，求證：當(dāng)a2+b2≤12時，3≤M(a,b)≤7．【答案】（1）解：函數(shù)的定義域為x∈[0,+∞)，若a=1，b=?1，f(x)=|x+1|+|x?1|=x+1+|x?1|，當(dāng)0≤x≤1，f(x)=x?x+2≥74，此時f(x)∈[74,2]；當(dāng)x>1時，f(x)=x+x>2，綜上，f(x)∈[74,+∞)．（2）若b=0，f(x)=|x+a|+x，當(dāng)a≥0時，f(x)=x+x+a在x∈[0,4]單調(diào)遞增，則f(x)的最大值為f(4)=6+a=258，無解，舍；

19當(dāng)?4