福建省廈門市2021屆高三畢業(yè)班第三次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)Word版含解析

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2021年福建省廈門市高考第三次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷一、單選題（共8小題）.1．集合M＝{x|y＝ln（x﹣2）}，N＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}，則圖中陰影部分表示的集合為（　　）A．（﹣4，2）B．（2，4）C．（2，+∞）D．（4，+∞）2．雙曲線﹣＝1的焦點到漸近線的距離是（　?。〢．2B．3C．D．63．已知等差數(shù)列{an}，其前n項和為Sn，若S1＝S25，a3+a8＝32，則S16＝（　　）A．80B．160C．176D．1984．故宮是世界上現(xiàn)存規(guī)模最大、保存最為完整的木質(zhì)結(jié)構(gòu)古建筑群．故宮宮殿房檐設(shè)計恰好使北房在冬至前后陽光滿屋，夏至前后屋檐遮陰．已知北京地區(qū)夏至前后正午太陽高度角約為75°，冬至前后正午太陽高度角約為30°．圖1是頂部近似為正四棱錐、底部近似為正四棱柱的宮殿，圖2是其示意圖，則其出檐AB的長度（單位：米）約為（　?。〢．3B．4C．6（﹣1）D．3（+1）5．△ABC中，CA＝2，CB＝4，D為CB的中點，＝2，則?＝（　?。〢．0B．2C．﹣2D．﹣46．福建省采用“3+1+2”新高考模式，其中“3”為全國統(tǒng)考科目語文、數(shù)學(xué)和外語；“1”為考生在物理和歷史中選擇一門；“2”為考生在思想政治地理、化學(xué)和生物四門中再選擇兩門．某中學(xué)調(diào)查了高一年級學(xué)生的選科傾向，隨機抽取200人，其中選考物理的120人，選考?xì)v史的80人，統(tǒng)計各選科人數(shù)如表：

1選擇科目選考類別思想政治地理化學(xué)生物物理類35509065歷史類50453035則（　?。└剑篕2＝P（K2≥k）0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828A．物理類的學(xué)生中選擇地理的比例比歷史類的學(xué)生中選擇地理的比例高B．物理類的學(xué)生中選擇生物的比例比歷史類的學(xué)的中選擇生物的比例低C．有90%以上的把握認(rèn)為選擇生物與選考類別有關(guān)D．沒有有95%以上的把握認(rèn)為選擇生物與選考類別有關(guān)7．已知函數(shù)（x）＝x2﹣x﹣asinπx+1有且僅有一個零點，則實數(shù)a等于（　?。〢．B．C．D．28．如圖，在四棱錐P﹣ABCD的平面展開圖中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，△ADE是以AD為斜邊的等腰直角三角形，∠HDC＝∠FAB＝90°，則四棱錐P﹣ABCD外接球的球心到面PBC的距離為（　　）A．B．C．D．二、多選題：本題共4小題，每小題5分共20分在每小題給出的四個選項中，有多個選項行合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.9．記考試成績Z的均值為μ，方差為σ2，若Z滿足0.66＜P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＜0.70，則認(rèn)對考試試卷設(shè)置合理．在某次考試后，從20000名考生中隨機抽取1000名考生的成績進(jìn)行統(tǒng)計，得到成績的均值為63.5，方差為169，將數(shù)據(jù)分皮7組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．用樣本估計總體，則（　?。?/p>

2A．本次考試成績不低于80分的考生約為5000人B．a(chǎn)＝0.03C．本次考試成績的中位數(shù)約為70D．本次考試試卷設(shè)置合理10．連接正方體每個面的中心構(gòu)成一個正八面體（如圖），則（　?。〢．正八面體各面中心為頂點的幾何體為正方體B．直線AE與CF是異面直線C．平面ABF⊥平面ABED．平面ABF∥平面CDE11．已知拋物線C：y2＝6x的焦點為F，直線l與C交于點A，B（A在第一象限），以AB為直徑的圓E與C的準(zhǔn)線相切于點D．若|AD|＝|BD|，則（　?。〢．A，B，F(xiàn)三點共線B．l的斜率為C．|AF|＝3|BF|D．圓E的半徑是612．已知正數(shù)a，b滿足a+b＝3，則（　?。〢．+≥9B．（b+）≥2C．lna?lnb＜D．2ea+e2b＞21三.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．已知f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）是偶函數(shù)，則f（）＝　?。?4．（x﹣1）（x﹣）6展開式中的常數(shù)項為　?。ㄓ脭?shù)字作答）．15．若復(fù)數(shù)z＝a+bi（a，b∈R，i為虛數(shù)單位）滿足|z﹣2i|＝|z|，寫出一個滿足條件的復(fù)數(shù)z＝　?。?6．已知函數(shù)f（x）＝，若f（x）≥2|x﹣a|，則實數(shù)a

3的取值范圍是　?。?、解笞題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，且a1+a2+?+an﹣1＝an﹣2，其中n≥2，n∈N*．（1）求證：{an}是等比數(shù)列，并求{an}的前n項和Sn；（2）設(shè)bn＝，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求證：Tn＜．18．銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足bsinC+csinB＝4asinBsinC．（1）求A；（2）若b＝4，△ABC的面積為3，D是BC上的點，AD平分∠BAC，求AD．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AC上一點，E是BC1的中點，且DE∥平面ABB1A1．（1）證明：DA＝DC；（2）若BB1⊥平面ABC，平面ABB1A1⊥平面BCC1B1，AA1＝AC＝AB，求直線DE與平面A1BC1所成角的正弦值．20．已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的焦距為2，且過點P（，）．（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過C的右焦點的直線l與C交于A，B兩點，C上一點M滿足＝+，求|OM|．21．每天鍛煉一小時，健康工作五十年，幸福生活一輩子．某公司組織全員每天進(jìn)行體育鍛煉，訂制了主題為“百年風(fēng)云”的系列紀(jì)念幣獎勵員工，該系列紀(jì)念幣有A1，A2，A3，A4四種．每個員工每天自主選擇“球類”和“田徑”中的一項進(jìn)行鍛煉．鍛煉結(jié)束后員工將隨機等可能地獲得一枚紀(jì)念幣．（1）某員工活動前兩天獲得A1，A4，則前四天恰好能集齊“百年風(fēng)云”系列紀(jì)念幣的概率是多少？（2）通過抽樣調(diào)查發(fā)現(xiàn)：活動首日有的員工選擇“球類”，其余的員工選擇“田徑”；在前一天選擇“球類“的員工中，次日會有的員工繼續(xù)選擇“球類”，其余的選擇“田徑”；在前一天選擇“

4田徑”的員工中，次日會有的員工繼續(xù)選擇“田徑”，其余的選擇“球類”．用頻率估計概率，記某員工第n天選擇“球類”的概率為Pn．①計算P1，P2，并求Pn；②該集團(tuán)公司共有員工1400人，經(jīng)過足夠多天后，試估計該公司接下來每天各有多少員工參加“球類”和“田徑”運動？22．已知函數(shù)f（x）＝2ax﹣ln（x+1）+1，a∈R．（1）討論（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)x＞0，0＜a≤1時，求證：eax＞f（x）．

5參考答案一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．集合M＝{x|y＝ln（x﹣2）}，N＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}，則圖中陰影部分表示的集合為（　?。〢．（﹣4，2）B．（2，4）C．（2，+∞）D．（4，+∞）解：∵集合M＝{x|y＝ln（x﹣2）}＝{x|x＞2}，N＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}＝{x|﹣2＜x＜4}，∴圖中陰影部分表示的集合為：M∩N＝{x|2＜x＜4}＝（2，4）．故選：B．2．雙曲線﹣＝1的焦點到漸近線的距離是（　?。〢．2B．3C．D．6解：雙曲線﹣＝1的焦點為（3，0）或（﹣3，0）．漸近線方程為y＝±．由雙曲線的對稱性可知，任一焦點到任一漸近線的距離相等，d＝＝2．故選：A．3．已知等差數(shù)列{an}，其前n項和為Sn，若S1＝S25，a3+a8＝32，則S16＝（　?。〢．80B．160C．176D．198解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵S1＝S25，a3+a8＝32，∴a1＝25a1+d，2a1+9d＝32，解得a1＝25，d＝﹣2，則S16＝16×25+×（﹣2）＝160，

6故選：B．4．故宮是世界上現(xiàn)存規(guī)模最大、保存最為完整的木質(zhì)結(jié)構(gòu)古建筑群．故宮宮殿房檐設(shè)計恰好使北房在冬至前后陽光滿屋，夏至前后屋檐遮陰．已知北京地區(qū)夏至前后正午太陽高度角約為75°，冬至前后正午太陽高度角約為30°．圖1是頂部近似為正四棱錐、底部近似為正四棱柱的宮殿，圖2是其示意圖，則其出檐AB的長度（單位：米）約為（　?。〢．3B．4C．6（﹣1）D．3（+1）解：如圖：由題意可得∠FCD＝30°，∠ADE＝75°，CD＝24，∴∠ADC＝180°﹣75°＝105°，∠CAD＝180°﹣30°﹣105°＝45°．△ACD中，由正弦定理可得＝，∴AD＝12．直角三角形ADB中，AB＝AD×sin∠ADB＝6×sin（90°﹣75°）＝12×sin（45°﹣30°）＝12×（sin45°cos30°﹣cos45°sin30°）＝12×（﹣）＝6﹣6，∴AB的長度為6（﹣6）米，故選：C．5．△ABC中，CA＝2，CB＝4，D為CB的中點，＝2，則?＝（　?。〢．0B．2C．﹣2D．﹣4解：△ABC中，CA＝2，CB＝4，D為CB的中點，＝2，則＝，

7＝+，所以?＝（）?（+）＝+﹣+?＝+﹣+?＝0．故選：A．6．福建省采用“3+1+2”新高考模式，其中“3”為全國統(tǒng)考科目語文、數(shù)學(xué)和外語；“1”為考生在物理和歷史中選擇一門；“2”為考生在思想政治地理、化學(xué)和生物四門中再選擇兩門．某中學(xué)調(diào)查了高一年級學(xué)生的選科傾向，隨機抽取200人，其中選考物理的120人，選考?xì)v史的80人，統(tǒng)計各選科人數(shù)如表：選擇科目選考類別思想政治地理化學(xué)生物物理類35509065歷史類50453035則（　?。└剑篕2＝P（K2≥k）0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828A．物理類的學(xué)生中選擇地理的比例比歷史類的學(xué)生中選擇地理的比例高B．物理類的學(xué)生中選擇生物的比例比歷史類的學(xué)的中選擇生物的比例低C．有90%以上的把握認(rèn)為選擇生物與選考類別有關(guān)D．沒有有95%以上的把握認(rèn)為選擇生物與選考類別有關(guān)解：由表中的數(shù)據(jù)可得，物理類中選擇地理的比例為，歷史類中選擇地理的比例為，因為，所以物理類的學(xué)生中選擇地理的比例比歷史類的學(xué)生中選擇地理的比例低，故選項A錯誤；物理類中選擇生物的比例為，歷史類中選擇物理的比例為，因為，所以物理類的學(xué)生中選擇生物的比例比歷史類的學(xué)生中選擇生物的比例高，故選項B錯誤；

8由表中的數(shù)據(jù)可知，物理類中選生物和不選生物的人數(shù)分別是65，55，合計120人，歷史類中選生物和不選生物的人數(shù)分別是35，45，合計80人，200人中選生物和不選生物的人數(shù)均是100，故K2＝＝，因為2.083＜2.706，故沒有90%以上的把握認(rèn)為選擇生物與選考類別有關(guān)，故選項C錯誤；因為2.083＜3.841，故沒有95%以上的把握認(rèn)為選擇生物與選考類別有關(guān)，故選項D正確．故選：D．7．已知函數(shù)（x）＝x2﹣x﹣asinπx+1有且僅有一個零點，則實數(shù)a等于（　?。〢．B．C．D．2解：令f（x）＝0，即x2﹣x+1＝asinπx，而，由選項可知a＞0，則﹣a≤asinπx≤a，結(jié)合二次函數(shù)及三角函數(shù)的圖象可知，要使函數(shù)（x）＝x2﹣x﹣asinπx+1有且僅有一個零點，．故選：B．8．如圖，在四棱錐P﹣ABCD的平面展開圖中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，△ADE是以AD為斜邊的等腰直角三角形，∠HDC＝∠FAB＝90°，則四棱錐P﹣ABCD外接球的球心到面PBC的距離為（　?。〢．B．C．D．解：由平面圖形還原原四棱錐如圖，

9該四棱錐底面ABCD為正方形，邊長為2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，PA＝PD＝，則PB＝PC＝．取AD的中點G，則G為Rt△APD的外心，連接AC、BD，相交于O，則OG⊥平面PAD，可得OA＝OB＝OC＝OD＝OP，即O為四棱錐P﹣ABCD的外接球的球心，延長GO交BC于E，則E為BC的中點，連接PE，在Rt△PGE中，有PG＝1，PE＝，設(shè)O到PE的距離為h，則，即h＝．則四棱錐P﹣ABCD外接球的球心到面PBC的距離為．故選：C．二、多選題：本題共4小題，每小題5分共20分在每小題給出的四個選項中，有多個選項行合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.9．記考試成績Z的均值為μ，方差為σ2，若Z滿足0.66＜P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＜0.70，則認(rèn)對考試試卷設(shè)置合理．在某次考試后，從20000名考生中隨機抽取1000名考生的成績進(jìn)行統(tǒng)計，得到成績的均值為63.5，方差為169，將數(shù)據(jù)分皮7組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．用樣本估計總體，則（　?。〢．本次考試成績不低于80分的考生約為5000人B．a(chǎn)＝0.03C．本次考試成績的中位數(shù)約為70D．本次考試試卷設(shè)置合理解：由頻率分布直方圖可得（a+0.02+0.015×2+0.01+0.005×2）×10＝1，解得a＝0.03，故選項B正確；不低于80分的考生的頻率為（0.015+0.005）×10＝0.2，所以考試成績不低于80分的考生約為0.2×20000＝4000人，故選項A錯誤；低于70分的頻率為（0.005+0.010+0.015+0.020）×10＝0.5，所以中位數(shù)為70分，不選項C正確；

10由題意可得，P（50.5＜Z＜76.5）＝0.15+0.2+0.3﹣，所以本次考試試卷設(shè)置不合理，故選項D錯誤．故選：BC．10．連接正方體每個面的中心構(gòu)成一個正八面體（如圖），則（　?。〢．正八面體各面中心為頂點的幾何體為正方體B．直線AE與CF是異面直線C．平面ABF⊥平面ABED．平面ABF∥平面CDE解：對于A，正方體C1各面中心為頂點的凸多面體C2為正八面體，它的中截面（垂直平分相對頂點連線的界面）是正方形，該正方形對角線長等于正方體的棱長，以C2各個面的中心為頂點的正方體為圖形C3是正方體，正方體C3面對角線長等于C2棱長的，（正三角形中心到對邊的距離等于高的），故A正確；對于B，如圖，連接MN，MP，NQ，PQ，則F、C、E、A分別是MP、MN、NQ、PQ的中點，∴CF∥PN，AE∥PN，∴直線AE與CF是平行線，故B錯誤；對于C取AB中點O，連接EO，F(xiàn)O，EF，設(shè)正方體棱長為1，則△ABE和△ABF都是邊長為的等邊三角形，∴EO⊥AB，F(xiàn)O⊥AB，∴∠EOF是二面角E﹣AB﹣F的平面角，EO＝FO＝＝，EF＝1，∴cos∠EOF＝＝﹣，∴平面ABF與平面ABE不垂直，故C錯誤；

11對于D，∵AB∥CD，AF∥CE，BF∥DE，AB∩AF＝A，CD∩CE＝C，∴平面ABF∥平面CDE，故D正確．故選：AD．11．已知拋物線C：y2＝6x的焦點為F，直線l與C交于點A，B（A在第一象限），以AB為直徑的圓E與C的準(zhǔn)線相切于點D．若|AD|＝|BD|，則（　?。〢．A，B，F(xiàn)三點共線B．l的斜率為C．|AF|＝3|BF|D．圓E的半徑是6解：拋物線C：y2＝6x的焦點為F（，0），準(zhǔn)線方程為x＝﹣，設(shè)直線l的方程為x＝my+t，與拋物線的方程聯(lián)立，可得y2﹣6my﹣6t＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2＝6m，y1y2＝﹣6t，x1+x2＝m（y1+y2）+2t＝6m2+2t，AB的中點為E（t+3m2，3m），|AB|＝|y1﹣y2|＝?，由圓E與準(zhǔn)線相切，可得t+3m2+＝?，兩邊平方，化簡可得t＝，即直線l的方程為x＝my+，可得直線l經(jīng)過焦點F，故A正確；由圓E與準(zhǔn)線相切于D，可得AD⊥BD，由DE⊥準(zhǔn)線x＝﹣，且|AE|＝|DE|，可得∠ADE＝∠DAE＝∠MAD，即∠MAF＝2∠DAE，

12由|AD|＝|BD|，可得tan∠DAB＝＝，即有∠DAB＝30°，∠MAF＝60°，直線l的斜率為tan60°＝，故B錯誤；由直線l：y＝（x﹣），拋物線的方程y2＝6x聯(lián)立，可得x1＝，x2＝，可得＝＝＝3，即|AF|＝3|BF|，故C正確；由|AB|＝x1+x2+p＝++3＝8，圓E的半徑為4，故D錯誤．故選：AC．12．已知正數(shù)a，b滿足a+b＝3，則（　　）A．+≥9B．（b+）≥2C．lna?lnb＜D．2ea+e2b＞21解：對于A：由于正數(shù)滿足a+b＝3，所以，當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a時，等號成立，故A錯誤；對于B：由于正數(shù)a+b＝3，所以a＝3﹣b，所以＝，設(shè)f（x）＝，所以，當(dāng)1＜x＜3時，f′（x）＞0，0＜x＜1時，f′（x）＜0，故函數(shù)f（x）min＝f（1）＝2，即，故B正確；對于C：，故C正確；對于D：令g（b）＝2e3﹣b+e2b，所以g′（b）＝2e2b﹣2e3﹣b，令g′（b）＝0，解得b＝1，

13當(dāng)0＜b＜1時，g′（b）＜0，函數(shù)g（b）單調(diào)遞減，當(dāng)1＜b＜3時，g′（b）＞0，函數(shù)g（b）單調(diào)遞增，所以g（b）≥g（1）＝3e2＞21，故D正確；故選：BCD．三.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．已知f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）是偶函數(shù)，則f（）＝　?。猓骸遞（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）是偶函數(shù)，∴φ＝，f（x）＝cos2x，則f（）＝cos＝，故答案為：．14．（x﹣1）（x﹣）6展開式中的常數(shù)項為　﹣240?。ㄓ脭?shù)字作答）．解：二項式（x﹣）6的展開式的通項公式為Tr+1＝C＝C，令6﹣，解得r＝，令6﹣，解得r＝4，所以展開式的常數(shù)項為（﹣1）×＝﹣240，故答案為：﹣240．15．若復(fù)數(shù)z＝a+bi（a，b∈R，i為虛數(shù)單位）滿足|z﹣2i|＝|z|，寫出一個滿足條件的復(fù)數(shù)z＝　1+i?。猓阂驗閺?fù)數(shù)z＝a+bi（a，b∈R，i為虛數(shù)單位）滿足|z﹣2i|＝|z|，所以|a+（b﹣2）i|＝|a+bi|，即，解得b＝1，a∈R，所以滿足條件的復(fù)數(shù)z可以為1+i，故答案為：1+i．16．已知函數(shù)f（x）＝，若f（x）≥2|x﹣a|，則實數(shù)a的取值范圍是　[﹣，]?。猓寒?dāng)x＜0時，f（x）＝2x2+x+2，則f'（x）＝4x+1，令f'（x）＝0，解得，且，當(dāng)x≥0時，f（x）＝xex﹣1+2，則f'（x）＝ex﹣1+xex﹣1＞0恒成立，f''（x）＝ex﹣1+ex﹣1+xex﹣1＞0恒成立，所以f（x）是增加的越來越快的增函數(shù)（切線的斜率越來越大），作出函數(shù)的圖象如圖所示，

14令g（x）＝2|x|，則2|x﹣a|相當(dāng)于將函數(shù)g（x）平移得到，當(dāng)g（x）平移到與f（x）（x＜0）相切，則a取得最大值，故f'（x）＝4x+1＝﹣2，解得x＝，且，所以，解得a＝，故a的最大值為；當(dāng)g（x）平移到與f（x）（x＞0）相切時，a取得最小值，故f'（x）＝ex﹣1+xex﹣1＝2，解得x＝1，且f（1）＝3，所以3＝2|1﹣a|，解得a＝，故a的最小值為．綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是．故答案為：．四、解笞題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，且a1+a2+?+an﹣1＝an﹣2，其中n≥2，n∈N*．（1）求證：{an}是等比數(shù)列，并求{an}的前n項和Sn；（2）設(shè)bn＝，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求證：Tn＜．解：（1）數(shù)列{an}滿足a1＝2，且a1+a2+?+an﹣1＝an﹣2，其中n≥2，n∈N*．所以Sn＝2an﹣2①，當(dāng)n＝1時，解得a1＝2，當(dāng)n≥2時Sn﹣1＝2an﹣1﹣2②，①﹣②得：an＝2an﹣1，

15所以（常數(shù)），所以：數(shù)列{an}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列．所以．故．證明：（2）由于，所以Tn＝b1+b2+...+bn＝＝．18．銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足bsinC+csinB＝4asinBsinC．（1）求A；（2）若b＝4，△ABC的面積為3，D是BC上的點，AD平分∠BAC，求AD．解：（1）因為bsinC+csinB＝4asinBsinC，由正弦定理得sinBsinC+sinCsinB＝4sinAsinBsinC，因為sinBsinC＞0，所以sinA＝，銳角△ABC的內(nèi)角A為銳角，A＝；（2）由S△ABC＝＝＝，解得c＝3，因為AD平分∠BAC，所以，又S△BAD+S△CAD＝S△ABC，所以＝，解得AD＝．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AC上一點，E是BC1的中點，且DE∥平面ABB1A1．（1）證明：DA＝DC；（2）若BB1⊥平面ABC，平面ABB1A1⊥平面BCC1B1，AA1＝AC＝AB，求直線DE與平面A1BC1所成角的正弦值．

16【解答】（1）證明：連結(jié)CB1，AB1，因為四邊形BCC1B1是平行四邊形，所以C，E，B1三點共線，且E是CB1的中點，因為平面AB1C∩平面ABB1A1＝AB1，又DE∥平面ABB1A1，且DE?平面AB1C，所以DE∥AB1，所以D是CA的中點，即DA＝DC；（2）解：因為BB1⊥平面ABC，所以BB1⊥BA，BB1⊥BC，因為平面ABB1A1∩平面BCC1B1＝BB1，所以∠ABC即為二面角A﹣BB1﹣C的平面角，因為平面ABB1A1⊥平面BCC1B1，所以∠ABC＝90°，故BA，BC，BB1兩兩垂直，以點B為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，因為，∠ABC＝90°，所以BA＝BC，設(shè)AC＝2，則，，所以，設(shè)平面A1BC1的法向量為，則，即，令，則，故，所以＝，故直線DE與平面A1BC1所成角的正弦值為．

1720．已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的焦距為2，且過點P（，）．（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過C的右焦點的直線l與C交于A，B兩點，C上一點M滿足＝+，求|OM|．解：（1）設(shè)焦距為2c，則，設(shè)橢圓左右交點分別為F1，F(xiàn)2，則，∴，即，則b＝1，∴橢圓方程為；（2）由＝+得，，①當(dāng)直線l：y＝0時，，舍去；②設(shè)直線l：，直線OM：x＝my，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，消去x并整理可得，由韋達(dá)定理可得，∴＝，聯(lián)立，解得，得到，依題意可得，，解得，∴．

1821．每天鍛煉一小時，健康工作五十年，幸福生活一輩子．某公司組織全員每天進(jìn)行體育鍛煉，訂制了主題為“百年風(fēng)云”的系列紀(jì)念幣獎勵員工，該系列紀(jì)念幣有A1，A2，A3，A4四種．每個員工每天自主選擇“球類”和“田徑”中的一項進(jìn)行鍛煉．鍛煉結(jié)束后員工將隨機等可能地獲得一枚紀(jì)念幣．（1）某員工活動前兩天獲得A1，A4，則前四天恰好能集齊“百年風(fēng)云”系列紀(jì)念幣的概率是多少？（2）通過抽樣調(diào)查發(fā)現(xiàn)：活動首日有的員工選擇“球類”，其余的員工選擇“田徑”；在前一天選擇“球類“的員工中，次日會有的員工繼續(xù)選擇“球類”，其余的選擇“田徑”；在前一天選擇“田徑”的員工中，次日會有的員工繼續(xù)選擇“田徑”，其余的選擇“球類”．用頻率估計概率，記某員工第n天選擇“球類”的概率為Pn．①計算P1，P2，并求Pn；②該集團(tuán)公司共有員工1400人，經(jīng)過足夠多天后，試估計該公司接下來每天各有多少員工參加“球類”和“田徑”運動？解：（1）設(shè)事件E為：“他恰好能集齊這4枚紀(jì)念幣”，由題意知，基本事件總數(shù)為N＝4×4＝16，事件E包含基本事件的個數(shù)是n＝2×1＝2，所以他恰好能集齊這四枚紀(jì)念幣的概率是P（E）＝＝；（2）①由題意知，P1＝，P2＝P1+（1﹣P1）＝﹣P1＝﹣×＝，當(dāng)n≥2時，Pn＝Pn﹣1+（1﹣Pn﹣1）＝﹣Pn﹣1，所以Pn﹣＝﹣（Pn﹣1﹣）；又因為P1﹣＝﹣＝，所以{Pn﹣}是以為首項，以﹣為公比的等比數(shù)列，所以Pn﹣＝×，即Pn＝+×；②依題意得，當(dāng)n足夠大時，選擇“球類”的概率近似于，假設(shè)用ξ表示一天中選擇“球類”的人數(shù)，則ξ～B（1400，），所以E（ξ）＝1400×＝600，即選擇“球類”的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為600，所以選項“田徑”的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為800．22．已知函數(shù)f（x）＝2ax﹣ln（x+1）+1，a∈R．（1）討論（x）的單調(diào)性；

19（2）當(dāng)x＞0，0＜a≤1時，求證：eax＞f（x）．解：（1）f（x）的定義域為（﹣1，+∞），f′（x）＝2a﹣，①當(dāng)a≤0時，f′（x）＜0，即f（x）在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞減；②當(dāng)a＞0時，f′（x）＝，由f′（x）＞0，解得x＞，由f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜，即f（x）在（﹣1，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)a≤0時，f（x）在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞減；當(dāng)a＞0時，f（x）在（﹣1，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增．（2）證明：eax＞f（x），即eax﹣2ax+ln（x+1）﹣1＞0，令g（x）＝eax﹣2ax+ln（x+1）﹣1，x＞0，則g′（x）＝aeax﹣2a+，令h（x）＝aeax﹣2a+，則h′（x）＝a2eax﹣，令φ（x）＝a2eax﹣，則φ′（x）＝a3eax+＞0，所以φ（x）即h′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，又h′（0）＝a2﹣1，①當(dāng)a＝1時，h′（0）＝0，則h′（x）＞0恒成立，即h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則有h（x）＞h（0）＝2﹣2＝0；②當(dāng)0＜a＜1時，h′（0）＝a2﹣1＜0，h′（x）＝a2eax﹣＞a2eax﹣1，則h′（）＞1﹣1＝0，即存在x0＞0使得h′（x0）＝0，即a2＝，且h（x）≥h（x0）＝a+﹣2a＝a+﹣2a＝a（+﹣2）＞0，即h（x）≥0，綜上所述，h（x）≥0恒成立，即g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以g（x）＞g（0）＝0，即eax＞f（x）．