湖南省長沙市長郡中學(xué)2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（解析版）

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長郡中學(xué)2022年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷時量：120分鐘滿分：150分一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.函數(shù)的定義域是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)中真數(shù)大于零，分式中分母不等于零列不等式，解不等式即可得到定義域.【詳解】由可得，又因為，所以函數(shù)的定義域為.故選：C.2.命題“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題即可得解.【詳解】解：因為存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，所以命題“”的否定是.故選：A.3.用二分法求函數(shù)在區(qū)間上零點的近似值，經(jīng)驗證有，取區(qū)間的中點，計算得，則此時零點滿足（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)零點的存在性定理即可得出答案.【詳解】解：由題意，因為，所以函數(shù)在區(qū)間上一定存在零點，

1即函數(shù)的零點滿足.故選：C.4.青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V的滿足．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（）（）A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)關(guān)系，當時，求出，再用指數(shù)表示，即可求解.【詳解】由，當時，，則.故選：C.5.若，且，則（）A.B.C.D.7【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡，再運用平方關(guān)系求出進而得到最后運用兩角和的正切公式可求出的值.【詳解】依題意故選：C6.若正實數(shù)x，y滿足，則x+2y的最小值為（）A.7B.8C.9D.10

2【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式進行求解即可.【詳解】因為x，y是正數(shù)，所以有，當且僅當時取等號，即當且僅當時取等號，故選：C7.已知函數(shù)，其中表示不大于x的最大整數(shù)（如，），則函數(shù)的零點個數(shù)是（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)與，作出圖象，結(jié)合圖象得出兩函數(shù)的交點個數(shù)，即可求解.【詳解】設(shè)函數(shù)，，則，所以函數(shù)為定義域上的為偶函數(shù)，作出函數(shù)與的圖象，如圖所示，當時，，結(jié)合圖象，兩函數(shù)有1個交點，即1個零點；當時，，結(jié)合圖象，兩函數(shù)有1個交點，即1個零點；當時，，兩函數(shù)有1個交點，即1個零點；當時，，，此時兩函數(shù)有1個交點，即1個零點，綜上可得函數(shù)共4個零點.故選：D.

3【點睛】本題主要考查了函數(shù)的零點個數(shù)的判定，以及函數(shù)的圖象的應(yīng)用，其中解答中構(gòu)造新函數(shù)，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)進行判定是解答的關(guān)鍵，著重考查構(gòu)造思想，以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔試題.8.若函數(shù)的定義域為，且偶函數(shù)，關(guān)于點成中心對稱，則下列說法正確的個數(shù)為（）①的一個周期為2②③的一條對稱軸為④A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】由題意，根據(jù)函數(shù)的對稱性，可得，，且，根據(jù)函數(shù)周期性的定義，可判①的正誤；根據(jù)周期性的應(yīng)用，可判②的正誤；根據(jù)函數(shù)的軸對稱性的性質(zhì)，可判③的正誤；根據(jù)函數(shù)的周期性，進行分組求和，根據(jù)函數(shù)的對稱性，可得，，可判④的正誤.【詳解】因為偶函數(shù)，所以，則，即函數(shù)關(guān)于直線成軸對稱，因為函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向左平移個單位，所以函數(shù)關(guān)于點成中心對稱，則，且，對于①，，，則函數(shù)的周期，故①錯誤；對于②，，故②正確；對于③，，故③正確；對于④，，則，，則，由，則，故④正確.

4故選：C.二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9.設(shè)函數(shù)，若，則的取值可能是（）A.0B.3C.D.2【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義分類討論求值即可.【詳解】若，則解得，滿足題意；若，則解得，滿足題意；故選:AB.10.下列各式中，值為的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式可判斷A；由二倍角的正弦公式可計算B；由二倍角的余弦公式可判斷C；由誘導(dǎo)公式可計算D.【詳解】對于A：，所以A正確對于B：，所以B正確對于C：，所以C不正確對于D：，所以D正確，故選：ABD.11.生活經(jīng)驗告訴我們，a克糖水中有b克糖（a>0，b>0，且a>b），若再添加c克糖（c>0）后，糖水會更甜，于是得出一個不等式：.趣稱之為“糖水不等式”.根據(jù)生活經(jīng)驗和不等式的性質(zhì)判斷下列命題一定正確的是（）

5A.若，則與的大小關(guān)系隨m的變化而變化B.若，則C.若，則D.若，則一定有【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)“糖水不等式”，即可判斷A；舉反例，如，即可判斷B；若，則，再根據(jù)“糖水不等式”即可判斷C；利用不等式的性質(zhì)即可判斷D.【詳解】解：對于A，根據(jù)“糖水不等式”，若，則，故A錯誤；對于B，當時，，與題設(shè)矛盾，故B錯誤；對于C，若，則，根據(jù)“糖水不等式”，，即，故C正確；對于D，若，則，所以，所以，故D正確.12.已知函數(shù)是奇函數(shù)，下列選項正確的是（）A.B.函數(shù)在上的值域為C.，且，恒有D.若，恒有充分不必要條件【答案】ACD【解析】【分析】對于A，根據(jù)可求值，驗證即可；對于B，由，可得

6為增函數(shù)，從而可求值域；對于C，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；對于D，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可轉(zhuǎn)化為對于恒成立，求出其成立的充要條件，根據(jù)集合間的包含關(guān)系及充分不必要條件的定義即可判斷.【詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù)，且定義域為，所以，解得.當時，，則，故函數(shù)是奇函數(shù)，故A正確；因在上單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)在上的值域為，故B錯誤；因為單調(diào)遞增，所以，且，恒有，故C正確；因單調(diào)遞增，所以可轉(zhuǎn)化為，即對于恒成立.當時，不恒成立，不符合題意；當時，可得，解得.故，恒有的充要條件為.因為ü，所以，恒有充分不必要條件為，故D正確.故選:ACD.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.半徑為，圓心角為的弧長為___________.【答案】##【解析】

7【分析】根據(jù)弧長公式(：扇形圓心角，：扇形的半徑)【詳解】故答案為：14.已知常數(shù)，，假設(shè)無論為何值，函數(shù)的圖象恒經(jīng)過一個定點，則這個定點的坐標是______．【答案】【解析】【分析】利用對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，令即可求出的圖象恒過的定點的坐標.【詳解】因為的圖象必過，即，當，即時，，從而圖象必過定點.故答案為：.15.已知，若“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【解析】【分析】先求出函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)時的范圍，再由必要不充分條件求解的范圍．【詳解】函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，時，符合題意；時，，，時，，，綜上，即，又“”是“”的必要不充分條件，所以，解得．

8故答案為：．16.已知函數(shù)，若至少存在兩個不相等的實數(shù)，使得，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】當時，易知必滿足題意；當時，根據(jù)可得，由最大值點的個數(shù)可構(gòu)造不等式組，結(jié)合確定具體范圍.【詳解】至少存在兩個不相等的實數(shù)，使得，當，即時，必存在兩個不相等的實數(shù)滿足題意；當，即時，，，；當時，解集為，不合題意；令，則；令，則；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查根據(jù)正弦型函數(shù)最值點的個數(shù)求解參數(shù)范圍的問題，解題關(guān)鍵是能夠采用整體對應(yīng)的方式，根據(jù)的范圍所需滿足的條件來構(gòu)造不等式組，解不等式組求得結(jié)果.四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知集合，．（1）若，求；（2）若，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】

9【分析】（1）解一元一次不等式求集合A，應(yīng)用集合交運算求結(jié)果；（2）由題意，列不等式組求參數(shù)范圍.【小問1詳解】由題設(shè)，，，所以.【小問2詳解】由題意，則，可得.18.已知是函數(shù)的一個零點.（1）求實數(shù)的值；（2）求單調(diào)遞減區(qū)間.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用函數(shù)的零點的定義，求得實數(shù)的值．（2）利用三角恒等變化化簡函數(shù)的解析式，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性求得的單調(diào)遞減區(qū)間．【小問1詳解】解：因為，所以由題意可知，即，即，解得．【小問2詳解】解：由（1）可得，函數(shù)的遞減區(qū)間為．令，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為．19.設(shè)函數(shù)，．（1）解關(guān)于x的不等式，；

10（2）當時，不等式恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）答案見解析；（2）.【解析】【分析】（1）討論的大小關(guān)系分別求解集即可；（2）將不等式化為在上恒成立，利用基本不等式求右側(cè)最小值，即可得a的取值范圍．【小問1詳解】當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為．【小問2詳解】因為，由可得：，即，因為，當且僅當，即時等號成立，所以．20.已知是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）若，求的值；（2）對任意的，，，恒有，解關(guān)于的不等式.【答案】（1）0；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性計算即可得解；（2）由可推出函數(shù)單調(diào)遞減，可得單調(diào)遞減，不等式可轉(zhuǎn)化為，利用單調(diào)性求解即可.【小問1詳解】因為是奇函數(shù)，所以，

11則，因為，所以；【小問2詳解】不妨設(shè)，則，又因為，所以，則在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增；因為，所以，所以，又因為為奇函數(shù)，所以，又因為在上單調(diào)遞增，所以，則不等式的解集為.21.在股票市場上，投資者常根據(jù)股價（每股的價格）走勢圖來操作，股民老張在研究某只股票時，發(fā)現(xiàn)其在平面直角坐標系內(nèi)的走勢圖有如下特點：每日股價y（元）與時間x（天）的關(guān)系在段可近似地用函數(shù)的圖像從最高點A到最低點C的一段來描述（如圖），并且從C點到今天的D點在底部橫盤整理，今天也出現(xiàn)了明顯的底部結(jié)束信號．老張預(yù)測這只股票未來一段時間的走勢圖會如圖中虛線段所示，且段與段關(guān)于直線對稱，點B、D的坐標分別是、．

12（1）請你幫老張確定的值，寫出段的函數(shù)表達式，并指出此時x的取值范圍；（2）請你幫老張確定虛線段的函數(shù)表達式，并指出此時x的取值范圍；（3）如果老張預(yù)測準確，且在今天買入該只股票，那么最短買入多少天后，股價至少是買入價的兩倍？【答案】（1），，，，（2），（3）天.【解析】【分析】（1）由已知圖中兩點的坐標求得與，進而可得的值，再由五點法作圖的第三個點求解，即可得函數(shù)的解析式，并求得的范圍；（2）由對稱性求解段的函數(shù)表達式，以及x的取值范圍；（3）由解得：，減去即得答案.【詳解】（1）由圖以及兩點的縱坐標可知：，，可得：，則，由解得：，所以，，所以段的函數(shù)表達式為，（2）由題意結(jié)合對稱性可知：段函數(shù)解析式為：，（3）由解得：，所以買入天后，股票至少是買入價的兩倍.

1322.已知且，函數(shù)滿足，設(shè)．（1）求函數(shù)在區(qū)間上的值域；（2）若函數(shù)和在區(qū)間上的單調(diào)性相同，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先對和進行分類討論，再利用題目所給的等式關(guān)系可求出的值，將所要求的函數(shù)換元后得到二次函數(shù)求出值域即可.（2）先得到兩個函數(shù)解析式和，分別對上單調(diào)遞增和單調(diào)遞減進行分類討論，得到關(guān)于的不等式組，進而求出的取值范圍即可.【小問1詳解】當時，，解得；當時，，無解，故的值為．故．因為，所以令，則，故．當時，，當時，．故函數(shù)在區(qū)間上的值域為．【小問2詳解】由題意，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增．由題可知函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上同增或者同減．

14①若兩函數(shù)在區(qū)間上均單調(diào)遞增，則在區(qū)間上恒成立，故，解得．②若兩函數(shù)在區(qū)間上均單調(diào)遞減，則在區(qū)間上恒成立，故，該不等式組無解．綜上，實數(shù)的取值范圍是．