天津市紅橋區(qū)2021屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)Word版含解析

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高三數(shù)學(xué)試卷本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分，共150分，考試用時120分鐘.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼.答題時，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效，考試結(jié)束后，將本卷和答題卡一并交回.第I卷注意事項(xiàng)：1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.2.本答案共9小題，每小題5分，共45分.參考公式：如果事件A與事件B互斥，那么.如果事件A與事件B相互獨(dú)立，那么球體表面積公式：，其中表示球的半徑.球的體積公式：，其中表示球的半徑.一、選擇題：在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，集合，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先由補(bǔ)集的定義求出，再由并集的定義求出即可.【詳解】因?yàn)?，所?故選：A.2.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）

1A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式以及等差數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式以及等差數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)求解是解題關(guān)鍵.3.設(shè)，，，則，，的大小是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分別判斷與和的大小，即可得出結(jié)果．【詳解】∵根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得：，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得：，，∴.故選：A.4.設(shè)函數(shù)，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】

2【分析】將自變量代入對應(yīng)的分段函數(shù)中，即可求得答案.【詳解】由題意得，所以，故選：C5.設(shè)偶函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時，是增函數(shù)，則，，的大小關(guān)系是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)可得，，再根據(jù)單調(diào)性即可判斷.【詳解】是偶函數(shù)，，，當(dāng)時，是增函數(shù)，且，，.故選：B.6.設(shè)函數(shù)，下列結(jié)論中錯誤的是（）A.的一個周期為B.的最大值為2C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.的一個零點(diǎn)為【答案】D【解析】

3【分析】根據(jù)解析式即可得出周期和最大值，即可判斷AB；求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間即可判斷C；將代入即可驗(yàn)證D.【詳解】，的一個周期為，故A正確；的最大值為2，故B正確；令，解得，的單調(diào)遞減區(qū)間為，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故C正確；，且，故D錯誤.故選：D.7.已知拋物線(為常數(shù))過點(diǎn)，則拋物線的焦點(diǎn)到它的準(zhǔn)線的距離是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)可求出，即可求出焦點(diǎn)到它的準(zhǔn)線的距離.【詳解】拋物線過點(diǎn)，，拋物線的方程為，則焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)到它的準(zhǔn)線的距離為.故選：B.8.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線上，且

4，，則雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線定義及，，整理可得的值，再根據(jù)離心率公式求得離心率.【詳解】解：由雙曲線定義可知，又，，故，整理得或（舍）故離心率故選：A【點(diǎn)睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝c2－a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．9.已知函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】

5【分析】當(dāng)時，經(jīng)分析不符合題意，當(dāng)時，根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性的求法，列出不等式組，即可求得答案.【詳解】當(dāng)時，在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，不符合題意；當(dāng)時，可得在R上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，解得，故選：C第II卷注意事項(xiàng)：1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.2.本卷共11題，共105分.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.10.已知，且復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則________.【答案】【解析】分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算進(jìn)行化簡得，又由于該復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，故，解得.【詳解】解：，又該復(fù)數(shù)為純虛數(shù)故，，故答案為：11.的展開式中的系數(shù)為__________.（用數(shù)字作答）【答案】80

6【解析】分析】在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令的冪指數(shù)等于4，求出的值，即可求得展開式中的系數(shù)．【詳解】解：的展開式的通項(xiàng)公式為，令，求得，故展開式中的系數(shù)為，故答案為：80．【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．12.已知，且，則________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二倍角公式，先求出和，再由兩角和的正弦公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以，則，，因此.故答案為：.13.一個正方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，若該球的體積為，則該正方體的表面積為.【答案】24【解析】試題分析：設(shè)正方體的外接球的半徑為,由：，解得：,設(shè)該正方體的邊長為，根據(jù)解得，所以正方體的表面積為：，所以答案為.考點(diǎn)：1.求的體積公式；2.正方體的外接球；3.球的表面積和體積公式.

714.若一個圓的圓心是拋物線的焦點(diǎn)，且被直線截得的弦長為2，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)，可求得圓心坐標(biāo)，根據(jù)弦長為2，結(jié)合弦長公式，可求得，代入方程，即可得答案.【詳解】因?yàn)榈慕裹c(diǎn)為（0,1），所以所求圓的圓心為（0,1），設(shè)該圓半徑為r，則圓心（0,1）到直線的距離，所以弦長，解得，故該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故答案為：15.下列四種說法：①命題“，使得”的否定是“，都有”；②“”是“直線與直線相互垂直”的必要不充分條件；③過點(diǎn)（，1）且與函數(shù)圖象相切的直線方程是．④一個袋子裝有2個紅球和2個白球，現(xiàn)從袋中取出1個球，然后放回袋中，再取出一個球，則兩次取出的兩個球恰好是同色的概率是.其中正確說法的序號是_________．【答案】①④【解析】【分析】①中特稱命題的否定為全稱命題；②中求出“直線（m+2）x+my+1＝0與直線（m﹣2）x+（m+2）y﹣3＝0相互垂直”的充要條件，再進(jìn)行判斷；

8③中利用導(dǎo)數(shù)求解驗(yàn)證即可；④利用概率乘法和加法公式計(jì)算即可．【詳解】解：①中命題“?x∈R，使得x2+1＞3x”為特稱命題，其否定為全稱命題，是“，都有”，故①正確；②中時，兩直線為：﹣2y+1＝0和﹣4x﹣3＝0，兩直線垂直，而兩直線垂直時，有，解得m＝1或所以“”是“直線與直線相互垂直”的充分不必要條件，故②錯誤；③若過點(diǎn)（，1）且與函數(shù)圖象相切的直線方程是正確，設(shè)切點(diǎn)為P（x0，y0），則函數(shù)在P點(diǎn)處的切線的斜率為，解得，所以切點(diǎn)為P，但切點(diǎn)P不在切線上，故③錯誤；④一個袋子裝有2個紅球和2個白球，現(xiàn)從袋中取出1個球，然后放回袋中，再取出一個球，則兩次取出的兩個球恰好是同色的概率，故④正確．故答案為：①④．三、解答題：本大題共5個題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.在中，角、、所對的邊分別為、、，且．（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若,，求的面積．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）利用切化弦和正弦定理可得，從而求得；（Ⅱ）利用余弦定理構(gòu)造方程求得，代入三角形面積公式求得結(jié)果.

9【詳解】（Ⅰ）由得（Ⅱ），整理可得，解得【點(diǎn)睛】本題考查利用正余弦定理解三角形、三角形面積公式的應(yīng)用，屬于常規(guī)題型.17.已知函數(shù)，記f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）．若曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為﹣3，且x＝2時y＝f（x）有極值，（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值．【答案】（Ⅰ）f（x）＝x3﹣3x2+1；（Ⅱ）最大值為1，最小值為﹣3．【解析】【分析】（Ⅰ）求導(dǎo)可得f′（x）的解析式，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得k=f′（1）=-3，又在x＝2處有極值，所以f′（2）＝0，即可求得a，b的值，即可得答案；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）的解析式，令f′（x）=0，解得x＝0或x＝2，討論f（x）在﹣1＜x＜0，0＜x＜1上的單調(diào)性，即可求得f（x）的極值，檢驗(yàn)邊界值，即可得答案.【詳解】（Ⅰ）由題意得：f′（x）＝3x2+2ax+b，所以k=f′（1）＝3+2a+b＝﹣3，f′（2）＝12+4a+b＝0，解得a＝﹣3，b＝0，所以f（x）＝x3﹣3x2+1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令f′（x）＝3x2﹣6x＝0，解得x＝0或x＝2，當(dāng)﹣1＜x＜0時，f′（x）＞0，f（x）在（﹣1，0）是增函數(shù)，當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）是減函數(shù)，所以f（x）的極大值為f（0）＝1，又f（1）＝﹣1，f（﹣1）＝﹣3，所以f（x）在[﹣1，1]上的最大值為1，最小值為﹣3．18.已知等差數(shù)列前三項(xiàng)為，，，前項(xiàng)的和為，．

10（Ⅰ）求及值；（Ⅱ）求．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）設(shè)該等差數(shù)列為，根據(jù)題中條件，得到首項(xiàng)和公差，再由等差數(shù)列的求和公式，即可求出結(jié)果；（Ⅱ）由（Ⅰ）得到，推出，利用裂項(xiàng)相消法，即可求出結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）設(shè)該等差數(shù)列，則，，，由已知有，解得，公差，將代入公式，得，即，解得（負(fù)值舍去）∴，；（Ⅱ）由（Ⅰ）得到，∴，∴則．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：裂項(xiàng)相消法求數(shù)列和的常見類型：（1）等差型，其中是公差為的等差數(shù)列；（2）無理型；（3）指數(shù)型；

11（4）對數(shù)型.19.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若，求數(shù)列及數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)已知條件求出數(shù)列的首項(xiàng)和公比，即可得出通項(xiàng)公式；（Ⅱ）先求出等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，即可，再利用錯位相減法即可求出.【詳解】（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，可得，＝9，由，可得q＝3，由，可得，可得，可得；（Ⅱ）由，可得，由，可得，可得bn＝n，可得的通項(xiàng)公式：，可得：①②①﹣②得：，可得.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；

12（2）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯位相減法求和；（3）對于結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；（4）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項(xiàng)相消法求和.20.已知橢圓C：的短軸長為2，離心率為.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且∠AOB為銳角，求直線l的斜率k的取值范圍．【答案】（Ⅰ）+y2＝1；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)橢圓短軸長公式、離心率公式，結(jié)合橢圓中的關(guān)系進(jìn)行求解即可；（Ⅱ）根據(jù)平面向量數(shù)量積公式，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、根的判別式進(jìn)行求解即可.【詳解】（Ⅰ）由已知得2b＝2，所以，又因?yàn)?，所以有：，而，解得，即橢圓C的方程為+y2＝1．（Ⅱ）直線l方程為y＝kx+2，將其代入+y2＝1，得（3k2+1）x2+12kx+9＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），∴△＝（12k）2﹣36（1+3k2）＞0，解得k2＞1，由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1+x2＝，x1x2＝∵∠AOB為銳角，∴＞0，∴x1x2+y1y2＞0，∴x1x2+（kx1+2）（kx2+2）＞0，

13∴（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4＞0，化簡得＞0，解得，由且，解得．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是由∠AOB為銳角轉(zhuǎn)化為＞0，然后通過一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系以及根的判別式進(jìn)行求解.