2022年7月浙江省普通高中學業(yè)水平考試數(shù)學（解析版）

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2022年7月浙江省普通高中學業(yè)水平考試真題卷（時間80分鐘，總分100分）選擇題部分一、單項選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分.每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，不選、多選、錯選均不得分）1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合的交集運算，即可求出結(jié)果.【詳解】∵，，∴.故選：D.2.復數(shù)（為虛數(shù)單位）的實部是（）A.1B.C.2D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的定義求解.【詳解】顯然復數(shù)的實部是2.故選：C.3.函數(shù)的定義域是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)特征得到不等式，求出定義域.【詳解】∵，∴，即函數(shù)的定義域為.故選：D.第15頁/共15頁學科網(wǎng)（北京）股份有限公司

14.已知，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正切函數(shù)值及角的范圍寫出對應的角.【詳解】∵，∴，又，∴.故選：A.5.袋子中有5個大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個紅球，3個黃球，從中隨機摸出1個球，則摸到黃球的概率是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)古典概型直接求得即可.【詳解】5個大小質(zhì)地完全相同的球，黃球有3個，則隨機摸出1個球，有5種方法，摸到黃球有3種方法，所以摸到黃球的概率為.故選：C.6.已知平面向量，.若，則實數(shù)（）A.B.3C.D.12【答案】B【解析】【分析】由向量平行的坐標表示可直接求得結(jié)果【詳解】由，可得，解得.故選：B.7.已知球的半徑是2，則該球的表面積是（）第15頁/共15頁學科網(wǎng)（北京）股份有限公司

2AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用球的表面積公式計算即可.【詳解】，故選：D.8.設(shè)，下列選項中正確的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用分數(shù)指數(shù)冪以及指數(shù)的運算性質(zhì)求解.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D錯誤.故選：A9.中國茶文化博大精深，茶水口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).經(jīng)驗表明，某種綠茶用85℃的水泡制，再等到茶水的溫度降至60℃時飲用，可以產(chǎn)生最佳口感.已知在25℃的室溫下，函數(shù)近似刻畫了茶水溫度（單位：℃）隨時間（單位：）的變化規(guī)律.為達到最佳飲用口感，剛泡好的茶水大約需要放置（參考數(shù)據(jù)：，）（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用已知以及指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性進行計算求解.第15頁/共15頁學科網(wǎng)（北京）股份有限公司

3【詳解】由題可知，函數(shù)，當，，已經(jīng)接近60，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，則大約在7min時口感最佳.故A，C，D錯誤.故選：B.10.設(shè)，是實數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分必要條件的定義求解.【詳解】對于，比如，顯然，不能推出；反之，如果，則必有；所以“”是“”的必要不充分條件；故選：B.11.在中，設(shè)，，，其中.若和的重心重合，則（）A.B.1C.D.2【答案】D【解析】【分析】設(shè)為和的重心，連接延長交與，連接延長交與，分別在、中用向量、表示向量，再根據(jù)向量相等可得答案.【詳解】設(shè)為和的重心，連接延長交與，連接延長交與，所以是的中點，是的中點，所以，，第15頁/共15頁學科網(wǎng)（北京）股份有限公司

4，可得，解得.故選：D.12.如圖，棱長均相等的三棱錐中，點是棱上的動點（不含端點），設(shè)，銳二面角的大小為.當增大時，（）A.增大B.先增大后減小C.減小D.先減小后增大【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標系，運用空間向量數(shù)量積求解.【詳解】由題意，三棱錐是正四面體，以的重心為原點，BC邊的中線PG為x軸，OA為z軸，過O點平行于BC的直線為y軸，建立空間直角坐標系如圖：第15頁/共15頁學科網(wǎng)（北京）股份有限公司

5設(shè)三棱錐P-ABC的棱長為，則有：，，，，設(shè)是平面ABD的一個法向量，則有，即，令，解得，顯然是平面PBC的一個法向量，；顯然當時（x的取值范圍是），最大，當或時，都變大，即變?。还蔬x：B.二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題4分，共16分.每小題列出的四個備選項中有多個是符合題目要求的，全部選對得4分，部分選對且沒有錯選得2分，不選、錯選得0分）13.圖象經(jīng)過第三象限的函數(shù)是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】結(jié)合常見的冪函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得到答案.【詳解】由冪函數(shù)的圖象可知，A中，過第一、二象限；第15頁/共15頁學科網(wǎng)（北京）股份有限公司

6B中，過第一、三象限；C中，且定義域為R，過第一、二象限；D中，過第一、三象限.故選：BD14.下列命題正確的是（）A.過平面外一點，有且只有一條直線與這個平面垂直B.過平面外一點，有且只有一條直線與這個平面平行C過直線外一點，有且只有一個平面與這個直線垂直D.過直線外一點，有且只有一個平面與這個直線平行【答案】AC【解析】【分析】對于A，根據(jù)線面垂直的定義進行判斷；對于B，過平面外一點有無數(shù)條直線與這個平面平行；對于C，由線面垂直的定義判斷；對于D，由平行公理得判斷．【詳解】對于A，根據(jù)線面垂直的定義，可得經(jīng)過平面外一點作已知平面的垂線，有且僅有一條，故A正確；對于B，過平面外一點可以作一個平面與已知平面平行，在這個平行平面內(nèi)的經(jīng)過已知點作直線，它就和已經(jīng)平面平行，故過平面外一點有無數(shù)條直線與這個平面平行，故B不正確；對于C，由直線與平面垂直的性質(zhì)知：過直線外一點只能作一個平面與這條直線垂直，故C正確；對于D，過直線外一點，有無數(shù)個平面與這條直線平行，故D不正確．故選：AC15.在銳角中，有（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)正弦定理可判斷AB；根據(jù)的范圍和兩角和的正弦展開式可判斷C；取特殊值可判斷D.【詳解】對于A，根據(jù)正弦定理，因為可得，故A正確；第15頁/共15頁學科網(wǎng)（北京）股份有限公司

7對于B，因為可得，再由正弦定理可得，故B正確；對于C，因為中，所以，所以，故C正確；對于D，當，故D錯誤故選：ABC.16.已知，設(shè)，是函數(shù)與圖象的兩個公共點，記.則（）A.函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期是B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C.函數(shù)的圖象是軸對稱圖形D.函數(shù)的圖象是中心對稱圖形【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)以及二次函數(shù)的對稱性并結(jié)合函數(shù)的圖像一一判斷各選項.【詳解】分別作出與（周期為）的圖象（如圖）.對于B，由圖可知，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，故B正確；對于C、D，對于任意，此時作關(guān)于對稱函數(shù)，且也關(guān)于對稱，故，即關(guān)于對稱，即關(guān)于第15頁/共15頁學科網(wǎng)（北京）股份有限公司

8對稱，故C正確，D錯誤.錯誤.對于A，由于當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，關(guān)于對稱，由于是最小正周期為的函數(shù)，其圖象呈周期性變換，而在平移過程中大小與形狀不變，所以呈周期性變換，根據(jù)函數(shù)的對稱性作出的大致圖像（如圖），可知其為周期函數(shù)，且最小正周期為，故A錯誤；故選：BC.非選擇題部分三、填空題（本大題共4小題，每空分3分，共15分）17.已知函數(shù)則______，______.【答案】①.4②.2【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式代入求解即可.【詳解】；.故答案：4；2.18.某廣場設(shè)置了一些石凳供大家休息，每個石凳都是由正方體截去八個一樣的四面體得到的（如圖，從棱的中點截）.如果被截正方體的棱長是4（單位：），那么一個石凳的體積是______（單位：）.第15頁/共15頁學科網(wǎng)（北京）股份有限公司

9【答案】【解析】【分析】由題意知，正方體截去的八個四面體是全等的正三棱錐，用正方體的體積減去八個正三棱錐的體積即可求得.【詳解】正方體的體積為，正方體截去的八個四面體是全等的正三棱錐，截去的一個正三棱錐的體積為，則石凳的體積為.故答案為：.19.已知實數(shù)，，則的最小值是______.【答案】##【解析】【分析】由已知，再利用基本不等式可得.【詳解】，當且僅當時取等號.故答案為：.20.已知平面向量，是非零向量.若在上的投影向量的模為1，，則的取值范圍是______.【答案】【解析】第15頁/共15頁學科網(wǎng)（北京）股份有限公司

10【分析】令，，由，得到求解.【詳解】解：由題意，令，，則，所以，由，得，所以.，故答案為：四、解答題（本大題共3小題，共33分）21.在某市的一次數(shù)學測試中，為了解學生的測試情況，從中隨機抽取100名學生的測試成績，被抽取成績?nèi)拷橛?0分到100分之間（滿分100分），將統(tǒng)計結(jié)果按如下方式分成六組：第一組，第二組，，第六組，畫出頻率分布直方圖如圖所示.（1）求第三組的頻率；（2）估計該市學生這次測試成績的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）和第25百分位數(shù).【答案】（1）（2）平均值為，第25百分位數(shù)為【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖求解；（2）利用平均數(shù)和第25百分位數(shù)的定義求解.【小問1詳解】由頻率分布直方圖知，第三組的頻率為.【小問2詳解】第15頁/共15頁學科網(wǎng)（北京）股份有限公司

11平均值，因為，，所以第25百分位數(shù)為.22.已知函數(shù).（1）求的值；（2）求函數(shù)的最小正周期；（3）當（）時，恒成立，求實數(shù)的最大值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）將代入函數(shù)解析式計算；（2）對作恒等變換，將的解析式轉(zhuǎn)化為單一三角函數(shù)形式的解析式求解；（3）用整體代入法，根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求解.【小問1詳解】；【小問2詳解】，所以函數(shù)的最小正周期；【小問3詳解】當，恒成立，即，所以，第15頁/共15頁學科網(wǎng)（北京）股份有限公司

12因為，，所以，解得，即實數(shù)的最大值為；綜上，，最小正周期為，實數(shù)的最大值為.23.已知函數(shù)，其中.（1）若，求實數(shù)的取值范圍；（2）證明：函數(shù)存在唯一零點；（3）設(shè)，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）由題可得，解不等式即得；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點存在定理證明；（3）由題可得，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，利用作差法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)證明.【小問1詳解】因為，由，可得，所以，即，又，所以；【小問2詳解】證明：因為函數(shù)，其中，所以在上單調(diào)遞增，且，，所以由零點存在定理，得在內(nèi)有唯一零點，即函數(shù)存在唯一零點；【小問3詳解】第15頁/共15頁學科網(wǎng)（北京）股份有限公司

13證明：若，則，所以，又，，所以，令，又，所以的圖象開口向上，對稱軸，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以.第15頁/共15頁學科網(wǎng)（北京）股份有限公司

14第15頁/共15頁學科網(wǎng)（北京）股份有限公司