《三角形中四類重要的最值模型》專題練習(xí)：專題講練（原卷版）

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《三角形中四類重要的最值模型》專題練習(xí)：專題講練（原卷版）專題1.2三角形中四類重要的最值模型專題講練三角形中重要的四類最值模型(將軍飲馬模型、瓜豆模型(動(dòng)點(diǎn)軌跡)、胡不歸模型、費(fèi)馬點(diǎn)模型等)在考試中,無(wú)論是解答題,還是選擇、填空題,都是學(xué)生感覺(jué)有困難的地方,也恰是學(xué)生能力區(qū)分度最重要的地方,主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想.在各類考試中都以中高檔題為主,中考說(shuō)明中曾多處涉及.在解決幾何最值問(wèn)題主要依據(jù)是：①兩點(diǎn)之間,線段最短;②垂線段最短,涉及的基本方法還有：利用軸對(duì)稱變換、旋轉(zhuǎn)變換化歸到”三角形兩邊之和大于第三邊”、”三角形兩邊之差小于第三邊”等.特殊三角形中的分類討論則體現(xiàn)了另一種數(shù)學(xué)思想,希望通過(guò)本專題的講解讓大家對(duì)這兩類問(wèn)題有比較清晰的認(rèn)識(shí).重要模型模型1：將軍飲馬模型【模型圖示】將軍飲馬模型圖形原理兩點(diǎn)之間線段最短兩點(diǎn)之間線段最短三角形三邊關(guān)系特征A,B為定點(diǎn),l為定直線,P為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求AP+BP的最小值A(chǔ),B為定點(diǎn),l為定直線,MN為直線l上的一條動(dòng)線段,求AM+BN的最小值A(chǔ),B為定點(diǎn),l為定直線,P為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求|AP-BP|的最大值轉(zhuǎn)化作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線l的對(duì)稱點(diǎn)先平移AM或BN使M,N重合,然后作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線l的對(duì)稱點(diǎn)作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線l的對(duì)稱點(diǎn)將軍飲馬拓展型：1)點(diǎn)位定點(diǎn),在直線,上分別找點(diǎn),,使周長(zhǎng)(即)最小操作：分別作點(diǎn)關(guān)于直線,的對(duì)稱點(diǎn)和,連結(jié)與直線,的交點(diǎn)為,,18

1《三角形中四類重要的最值模型》專題練習(xí)：專題講練（原卷版）求長(zhǎng)度通法：如上圖,一般會(huì)給一個(gè)特殊角(15°,30°,45°,60°,75°),連結(jié),,,由對(duì)稱性可求也為特殊角(30°,60°,90°,120°,150°),,可得特殊等腰,利用三邊關(guān)系求出2)點(diǎn),為定點(diǎn),直線,上分別找,,使周長(zhǎng)(即)小操作：分別作點(diǎn),關(guān)于直線,的對(duì)稱點(diǎn)和,連結(jié)與直線,的交點(diǎn)為,,例1．(2022·廣東·九年級(jí)專題練習(xí))已知點(diǎn),,在x軸上的點(diǎn)C,使得最小,則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為_(kāi)______．變式1．(2022·河南南陽(yáng)·八年級(jí)階段練習(xí))如圖,等邊的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)是邊的中點(diǎn),點(diǎn)是的中線上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值是_____．例2．(2022·山東濰坊·八年級(jí)期末)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知,,是軸上的一條動(dòng)線段,且,當(dāng)取最小值時(shí),點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____.變式2．(2022·成都市·八年級(jí)專題練習(xí))如圖,四邊形是平行四邊形,,,,點(diǎn)、是邊上的動(dòng)點(diǎn),且,則四邊形周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____．18

2《三角形中四類重要的最值模型》專題練習(xí)：專題講練（原卷版）例3．(2022·安徽·八年級(jí)期末)已知在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(－1,－2),點(diǎn)B(4,12),試在x軸上找一點(diǎn)P,使得｜PA－PB｜的值最大,求P點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)________．變式3．(2022·河南南陽(yáng)·一模)如圖,已知△ABC為等腰直角三角形,AC＝BC＝6,∠BCD＝15°,P為直線CD上的動(dòng)點(diǎn),則|PA－PB|的最大值為_(kāi)___．例4．(2022·江蘇·無(wú)錫市東林中學(xué)八年級(jí)期末)如圖,已知∠AOB的大小為α,P是∠AOB內(nèi)部的一個(gè)定點(diǎn),且OP＝4,點(diǎn)E、F分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn),若△PEF周長(zhǎng)的最小值等于4,則α＝(???????)A．30°B．45°C．60°D．90°變式4．(2022·安徽·合肥市八年級(jí)階段練習(xí))如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,∠AOB＝30°,P(5,0),在OB上找一點(diǎn)M,在OA上找一點(diǎn)N,使△PMN周長(zhǎng)最小,則此時(shí)△PMN的周長(zhǎng)為_(kāi)__．例5．(2022·湖北武漢市·八年級(jí)期末)如圖,點(diǎn)A在y軸上,G、B兩點(diǎn)在x軸上,且G(﹣3,0),B(﹣2,0),HC與GB關(guān)于y軸對(duì)稱,∠GAH＝60°,P、Q分別是AG、AH上的動(dòng)點(diǎn),則BP＋PQ＋CQ的最小值是()18

3《三角形中四類重要的最值模型》專題練習(xí)：專題講練（原卷版）A．6B．7C．8D．9變式5．(2022·湖北黃岡·八年級(jí)期末)已知,如圖,,點(diǎn)M,N分別是邊OA,OB上的定點(diǎn),點(diǎn)P,Q分別是邊OB,OA上的動(dòng)點(diǎn),記,,當(dāng)最小時(shí),則______．模型2：瓜豆原理(動(dòng)點(diǎn)軌跡)【解題技巧】1)動(dòng)點(diǎn)軌跡為直線時(shí),利用”垂線段最短”求最值.確定直線型動(dòng)點(diǎn)軌跡的常見(jiàn)方法：①觀察動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到特殊位置時(shí),如中點(diǎn),端點(diǎn)等位置時(shí)是否存在動(dòng)點(diǎn)與定直線的端點(diǎn)連接后的角度不變,若存在該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線;②當(dāng)某動(dòng)點(diǎn)到某條直線的距離不變時(shí)或某動(dòng)點(diǎn)所在直線與已知定直線夾角不變時(shí),該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線;③當(dāng)一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)以某個(gè)字母的代數(shù)式表示時(shí),若可化為一次函數(shù),則點(diǎn)的軌跡為直線.2)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為定圓時(shí),可利用：”一定點(diǎn)與圓上的動(dòng)點(diǎn)距離最大值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之和,最小值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之差”的性質(zhì)求解.確定動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓或者圓弧型的方法：動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離不變,則點(diǎn)的軌跡是圓或者圓弧.3)動(dòng)點(diǎn)軌跡非圓(直線)時(shí),可此線段轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角形中,(1)利用三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊求最值.(2)在轉(zhuǎn)化較難進(jìn)行時(shí),可借助直角三角形斜邊上的中線及中位線或構(gòu)建全等圖形(常構(gòu)造手拉手模型)進(jìn)一步轉(zhuǎn)化求最值.例1.(2022·長(zhǎng)沙市初二月考)如圖,OE是等邊的中線,,點(diǎn)C是直線OE上一動(dòng)點(diǎn),以AC18

4《三角形中四類重要的最值模型》專題練習(xí)：專題講練（原卷版）為邊在直線AC下方作等邊,連接ED,下列說(shuō)法正確的是()A．ED的最小值是2B．ED的最小值是1C．ED有最大值D．ED沒(méi)有最大值也沒(méi)有最小值變式1.(2022·陜西·西安八年級(jí)期末)預(yù)備知識(shí)：(1)在一節(jié)數(shù)學(xué)課上,老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：隨著變量t的變化,動(dòng)點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么?一番深思熟慮后,聰明的小明說(shuō)：”是一條直線”,老師問(wèn)：”你能求出這條直線的函數(shù)表達(dá)式嗎?”小明的思路如下：設(shè)這條直線的函數(shù)表達(dá)式為,將點(diǎn)代入得：,整理得∵t為任意實(shí)數(shù),等式恒成立,∴,∴,∴這條直線的函數(shù)表達(dá)式為請(qǐng)仿照小明的做法,完成問(wèn)題：隨著變量t的變化,動(dòng)點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線l,求直線l的函數(shù)表達(dá)式．問(wèn)題探究：(2)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,已知,,且,,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)________．結(jié)論應(yīng)用：(3)如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),Q是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接,18

5《三角形中四類重要的最值模型》專題練習(xí)：專題講練（原卷版）過(guò)點(diǎn)P作,且,連接,求線段的最小值．變式2.(2022·重慶八年級(jí)月考)在中,,,,點(diǎn)D是直線BC上一動(dòng)點(diǎn),連接AD,在直線AD的右惻作等邊,連接CE,當(dāng)線段CE的長(zhǎng)度最小時(shí),則線段CD的長(zhǎng)度為_(kāi)______．例2．(2022·成都市八年級(jí)月考)如圖,在中,,點(diǎn)分別在上,將沿翻折,點(diǎn)落在處,則線段長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)____．變式3.(2022·重慶八年級(jí)月考)如圖,等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE的腰長(zhǎng)分別為4和2,其中∠BAC＝∠DAE＝90°,點(diǎn)M為邊DE的中點(diǎn),若等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),則點(diǎn)B到點(diǎn)M的距離最小值為_(kāi)_________．例3.(2022·成都市·八年級(jí)月考)如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=2,點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上,當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)C隨之在y軸上運(yùn)動(dòng),在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離是()18

6《三角形中四類重要的最值模型》專題練習(xí)：專題講練（原卷版）A．6B．C．D．變式4.(2022·廣東·八年級(jí)期中)如圖,已知等邊三角形ABC邊長(zhǎng)為2,兩頂點(diǎn)A、B分別在平面直角坐標(biāo)系的x軸負(fù)半軸、軸的正半軸上滑動(dòng),點(diǎn)C在第四象限,連接OC,則線段OC長(zhǎng)的最小值是()A．1B．3C．3D．模型3：費(fèi)馬點(diǎn)模型【解題技巧】費(fèi)馬點(diǎn)”是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距高之和最短的點(diǎn).如何找一點(diǎn)P使它到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和PA+PB+PC最小?如圖：將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△AQE,再連接CE.當(dāng)B、P、Q、E四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值.費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)：費(fèi)馬點(diǎn)有如下主要性質(zhì)：1)費(fèi)馬點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小.2)如果三角形有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°,這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)就是費(fèi)馬點(diǎn);3)如果3個(gè)內(nèi)角均小于120°,則在三角形內(nèi)部對(duì)3邊張角均為120°的點(diǎn),是三角形的費(fèi)馬點(diǎn).例1．(2022·湖北鄂州市·九年級(jí)期末)中,,,,為18

7《三角形中四類重要的最值模型》專題練習(xí)：專題講練（原卷版）內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則的最小值為_(kāi)____．變式1．(2021·山東濱州·中考真題)如圖,在中,,,．若點(diǎn)P是內(nèi)一點(diǎn),則的最小值為_(kāi)___________．例2．(2022·廣東·九年級(jí)專題練習(xí))如圖,△ABC中,∠BAC＝30°且AB＝AC,P是底邊上的高AH上一點(diǎn)．若AP+BP+CP的最小值為2,則BC＝_____．變式2．(2022·綿陽(yáng)市·八年級(jí)期中)如圖,四邊形ABCD是菱形,AB=4,且∠ABC=∠ABE=60°,G為對(duì)角線BD(不含B點(diǎn))上任意一點(diǎn),將△ABG繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBF,當(dāng)AG+BG+CG取最小值時(shí)EF的長(zhǎng)()A．B．C．D．18

8《三角形中四類重要的最值模型》專題練習(xí)：專題講練（原卷版）模型4：胡不歸模型【解題技巧】如圖,一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1,在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2,且V1

9《三角形中四類重要的最值模型》專題練習(xí)：專題講練（原卷版）變式1．(2022·成都市七中育才學(xué)校八年級(jí)期中)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線l分別交x、y軸于B、C兩點(diǎn),點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(3,0)、(0,﹣3),且∠OCB＝60°,點(diǎn)P是直線l上一動(dòng)點(diǎn),連接AP,則的最小值是______．例2．(2022·成都市·九年級(jí)專題練習(xí))如圖,在中,,,,若是邊上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值()A．B．C．D．變式2．(2022·綿陽(yáng)市·九年級(jí)專題練習(xí))如圖,?ABCD中,∠DAB＝30°,AB＝6,BC＝2,P為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn),則2PB+PD的最小值等于______.18

10《三角形中四類重要的最值模型》專題練習(xí)：專題講練（原卷版）課后專項(xiàng)訓(xùn)練：1.(2022·貴州黔東南·八年級(jí)期末)如圖,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,EF是BC的垂直平分線．點(diǎn)P是EF上的動(dòng)點(diǎn),則|PA-PB|的最大值為_(kāi)______________2．(2022·和平區(qū)·八年級(jí)期末)如圖,,點(diǎn)M,N分別是邊,上的定點(diǎn),點(diǎn)P,Q分別是邊,上的動(dòng)點(diǎn),記,,當(dāng)?shù)闹底钚r(shí),的大小=___(度)．3．(2022·重慶·八年級(jí)期末)如圖,在中,以BC為底邊在外作等腰,作的平分線分別交AB,BC于點(diǎn)F,E．若,,的周長(zhǎng)為30,點(diǎn)M是直線PF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____．18

11《三角形中四類重要的最值模型》專題練習(xí)：專題講練（原卷版）4．(2022·湖北黃石·中考真題)如圖,等邊中,,點(diǎn)E為高上的一動(dòng)點(diǎn),以為邊作等邊,連接,,則______________,的最小值為_(kāi)_____________．5．(2022·成都市·九年級(jí)專題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OACB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn),頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上,A(3,0),B(0,4),D為邊OB的中點(diǎn).(1)若E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求的周長(zhǎng)最小值;(2)若E、F為邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且EF=1,當(dāng)四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小時(shí),求點(diǎn)E、F的坐標(biāo).6.(2022河北·八年級(jí)期中)如圖,∠MON=90°,矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM、ON上,當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí),A隨之在OM上運(yùn)動(dòng),矩形ABCD的形狀保持不變,其中AB=4,BC=2.運(yùn)動(dòng)過(guò)程中點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離是______．18

12《三角形中四類重要的最值模型》專題練習(xí)：專題講練（原卷版）7．(2022·廣東·八年級(jí)專題練習(xí))如圖,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝6,,點(diǎn)F在邊AC上,并且CF＝2,點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn),將△CEF沿直線EF翻折,點(diǎn)C落在點(diǎn)P處,則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是.8.(2022·綿陽(yáng)市八年級(jí)月考)如圖,已知線段AB＝12,點(diǎn)C在線段AB上,且△ACD是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形,以CD為邊的右側(cè)作矩形CDEF,連接DF,點(diǎn)M是DF的中點(diǎn),連接MB,則線段MB的最小值為.9．(2022·東北師大附屬明達(dá)學(xué)校九年級(jí)二模)數(shù)學(xué)興趣活動(dòng)課上,小致將等腰的底邊與直線重合．(1)如圖(1),在中,,點(diǎn)在邊所在的直線上移動(dòng),根據(jù)”直線外一點(diǎn)到直線上所有點(diǎn)的連線中垂線段最短”,小致發(fā)現(xiàn)的最小值是____________．(2)為進(jìn)一步運(yùn)用該結(jié)論,在(1)的條件下,小致發(fā)現(xiàn),當(dāng)最短時(shí),如圖(2),在中,作平分交于點(diǎn)點(diǎn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn),連結(jié)小致嘗試探索的最小值,小致在上截取使得連結(jié)易證,從而將轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化到(1)的情況,則的最小值為;(3)解決問(wèn)題：如圖(3),在中,,點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn),連結(jié)將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到線段連結(jié),求線段的最小值．18

13《三角形中四類重要的最值模型》專題練習(xí)：專題講練（原卷版）10.(2020·江蘇宿遷市·中考真題)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,Q是直線y=﹣x+2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),將Q繞點(diǎn)P(1,0)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到點(diǎn),連接,則的最小值為()A．B．C．D．11．(2021·福建·福州華倫中學(xué)八年級(jí)期末)如圖,在中,,,,D為AB上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合),為等邊三角形,過(guò)D點(diǎn)作DE的垂線,F為垂線上任意一點(diǎn),G為EF的中點(diǎn),則線段BG長(zhǎng)的最小值是()A．B．6C．D．912．(2022·江蘇·蘇州八年級(jí)期中)背景資料：在已知所在平面上求一點(diǎn)P,使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.這個(gè)問(wèn)題是法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的,所求的點(diǎn)被人們稱為”費(fèi)馬點(diǎn)”．如圖1,當(dāng)三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí),費(fèi)馬點(diǎn)P在內(nèi)部,當(dāng)時(shí),則取得最小值．18

14《三角形中四類重要的最值模型》專題練習(xí)：專題講練（原卷版）(1)如圖2,等邊內(nèi)有一點(diǎn)P,若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3,4,5,求的度數(shù),為了解決本題,我們可以將繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到處,此時(shí)這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換,將三條線段、、轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中,從而求出_______;知識(shí)生成：怎樣找三個(gè)內(nèi)角均小于120°的三角形的費(fèi)馬點(diǎn)呢?為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三角形并連接等邊三角形的頂點(diǎn)與的另一頂點(diǎn),則連線通過(guò)三角形內(nèi)部的費(fèi)馬點(diǎn)．請(qǐng)同學(xué)們探索以下問(wèn)題．(2)如圖3,三個(gè)內(nèi)角均小于120°,在外側(cè)作等邊三角形,連接,求證：過(guò)的費(fèi)馬點(diǎn)．(3)如圖4,在中,,,,點(diǎn)P為的費(fèi)馬點(diǎn),連接、、,求的值．(4)如圖5,在正方形中,點(diǎn)E為內(nèi)部任意一點(diǎn),連接、、,且邊長(zhǎng);求的最小值．18

15《三角形中四類重要的最值模型》專題練習(xí)：專題講練（原卷版）13．(2023·山西·九年級(jí)專題練習(xí))請(qǐng)閱讀下列材料,并完成相應(yīng)的任務(wù)：費(fèi)馬,17世紀(jì)德國(guó)的業(yè)余數(shù)學(xué)家,被譽(yù)為”業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”,他獨(dú)立于笛卡兒發(fā)現(xiàn)了解析幾何的基本原理.費(fèi)馬得到過(guò)這樣的結(jié)論：如圖①,當(dāng)三角形的三個(gè)角均小于時(shí),在三角形內(nèi)有一點(diǎn),使得,且該點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小,這個(gè)點(diǎn)被稱為費(fèi)馬點(diǎn).證明：如圖②,把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,連接,則,________,為等邊三角形.,,點(diǎn)可看成是線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)而得的定點(diǎn),為定長(zhǎng),當(dāng)四點(diǎn)在同一直線上時(shí),最小,這時(shí),,.任務(wù)：(1)橫線處填寫(xiě)的條件是__________;(2)已知正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到三點(diǎn)的距離之和的最小值為,求此正方形的邊長(zhǎng).18

16《三角形中四類重要的最值模型》專題練習(xí)：專題講練（原卷版）14．(2022·北京八年級(jí)期中)等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6,將其放置在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,其中BC邊在x軸上,BC邊的高OA在Y軸上．一只電子蟲(chóng)從A出發(fā),先沿y軸到達(dá)G點(diǎn),再沿GC到達(dá)C點(diǎn),已知電子蟲(chóng)在Y軸上運(yùn)動(dòng)的速度是在GC上運(yùn)動(dòng)速度的2倍,若電子蟲(chóng)走完全程的時(shí)間最短,則點(diǎn)G的坐標(biāo)為．15．(2022·湖北·九年級(jí)專題練習(xí))如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線l1：y＝x＋和直線l2：y＝﹣x＋b相交于y軸上的點(diǎn)B,且分別交x軸于點(diǎn)A和點(diǎn)C．(1)求△ABC的面積;(2)點(diǎn)E坐標(biāo)為(5,0),點(diǎn)F為直線l1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P為y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求當(dāng)EF＋CF最小時(shí),點(diǎn)F的坐標(biāo),并求出此時(shí)PF＋OP的最小值．18

17《三角形中四類重要的最值模型》專題練習(xí)：專題講練（原卷版）18