中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析

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中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編（全國(guó)通用）專題21與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題解答題1．(黑龍江)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,平行四邊形ABCD的邊AB在x軸上,頂點(diǎn)D在y軸的正半軸上,M為BC的中點(diǎn),OA、OB的長(zhǎng)分別是一元二次方程的兩個(gè)根,,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),到達(dá)B點(diǎn)停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,的面積為S．(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);(2)求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量t的取值范圍;(3)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中,是否存在點(diǎn)P,使是等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由．【答案】(1)點(diǎn)C坐標(biāo)為(2)(3)存在點(diǎn)P或或,使是等腰三角形【分析】(1)先求出方程的解,可得,,再由,可得,然后根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形,可得CD=7,,即可求解;(2)分兩種情況討論:當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),過點(diǎn)A作交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,即可求解;(3)分三種情況討論:當(dāng)CP=PM時(shí),過點(diǎn)M作MF⊥PC于點(diǎn)F;當(dāng)時(shí);當(dāng)PM=CM時(shí),過點(diǎn)M作MG⊥PC于點(diǎn)G,即可求解．(1)解:,解得,,∵,∴,,∵,∴,

1中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析∴,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴,,∴點(diǎn)C坐標(biāo)為;(2)解:當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),過點(diǎn)A作交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,如圖,,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴,∵,∴,∴,∴,∴;(3)解:存在點(diǎn)P,使是等腰三角形,理由如下:根據(jù)題意得:當(dāng)點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí),可能是等腰三角形,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴∠C=∠BAD,BC=AD=5,∴,∵點(diǎn)M為BC的中點(diǎn),∴,當(dāng)CP=PM時(shí),過點(diǎn)M作MF⊥PC于點(diǎn)F,

2中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析∴,設(shè)PC=PM=a,則PD=7-a,,∵PF2+FM2=PM2,∴,解得:,∴,∴此時(shí)點(diǎn)P;當(dāng)時(shí),∴,∴此時(shí)點(diǎn)P;當(dāng)PM=CM時(shí),過點(diǎn)M作MG⊥PC于點(diǎn)G,則,∴,∴PD=7-PC=4,

3中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析∴此時(shí)點(diǎn)P;綜上所述,存在點(diǎn)P或或,使是等腰三角形【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì),坐標(biāo)與圖形,等腰三角形的性質(zhì),解直角三角形,熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn),并利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．2．(貴州黔東南)閱讀材料:小明喜歡探究數(shù)學(xué)問題,一天楊老師給他這樣一個(gè)幾何問題:如圖,和都是等邊三角形,點(diǎn)在上．求證:以、、為邊的三角形是鈍角三角形．(1)【探究發(fā)現(xiàn)】小明通過探究發(fā)現(xiàn):連接,根據(jù)已知條件,可以證明,,從而得出為鈍角三角形,故以、、為邊的三角形是鈍角三角形．請(qǐng)你根據(jù)小明的思路,寫出完整的證明過程．(2)【拓展遷移】如圖,四邊形和四邊形都是正方形,點(diǎn)在上．①試猜想:以、、為邊的三角形的形狀,并說明理由．②若,試求出正方形的面積．【答案】(1)鈍角三角形;證明見詳解(2)①直角三角形;證明見詳解;②S四邊形ABCD=【分析】(1)根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出,BE=BD,AB=CB,∠EBD=∠ABC=60°,再證△EBA≌△DBC(SAS)∠AEB=∠CDB=60°,AE=CD,求出∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°,可得△ADC為鈍角三角形即可;(2)①以、、為邊的三角形是直角三角形,連結(jié)CG,根據(jù)正方形性質(zhì),得出∠EBG=∠

4中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析ABC,EB=GB,AB=CB,∠BEA=∠BGE=45°,再證△EBA≌△GBC(SAS)得出AE=CG,∠BEA=∠BGC=45°,可證△AGC為直角三角形即可;②連結(jié)BD,根據(jù)勾股定理求出AC=,然后利用正方形的面積公式求解即可．(1)證明:∵△ABC與△EBD均為等邊三角形,∴BE=BD,AB=CB,∠EBD=∠ABC=60°,∴∠EBA+∠ABD=∠ABD+∠DBC,∴∠EBA=∠DBC,在△EBA和△DBC中,,∴△EBA≌△DBC(SAS),∴∠AEB=∠CDB=60°,AE=CD,∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°,∴△ADC為鈍角三角形,∴以、、為邊的三角形是鈍角三角形．(2)證明:①以、、為邊的三角形是直角三角形．連結(jié)CG,∵四邊形和四邊形都是正方形,∴∠EBG=∠ABC,EB=GB,AB=CB,∵EG為正方形的對(duì)角線,∴∠BEA=∠BGE=45°,∴∠EBA+∠ABG=∠ABG+∠GBC=90°,∴∠EBA=∠GBC,在△EBA和△GBC中,

5中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析,∴△EBA≌△GBC(SAS),∴AE=CG,∠BEA=∠BGC=45°,∴∠AGC=∠AGB+∠BGC=45°+45°=90°,∴△AGC為直角三角形,∴以、、為邊的三角形是直角三角形;②連結(jié)BD,∵△AGC為直角三角形,,∴AC=,∴四邊形ABCD為正方形,∴AC=BD=,∴S四邊形ABCD=．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì),三角形全等判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì),勾股定理,掌握等邊三角形的性質(zhì),三角形全等判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì),勾股定理是解題關(guān)鍵．3．(海南)如圖1,矩形中,,點(diǎn)P在邊上,且不與點(diǎn)B、C重合,直線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．

6中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析(1)當(dāng)點(diǎn)P是的中點(diǎn)時(shí),求證:;(2)將沿直線折疊得到,點(diǎn)落在矩形的內(nèi)部,延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)F．①證明,并求出在(1)條件下的值;②連接,求周長(zhǎng)的最小值;③如圖2,交于點(diǎn)H,點(diǎn)G是的中點(diǎn),當(dāng)時(shí),請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系,并說明理由．【答案】(1)見解析(2)①見解析;;②12,;③,見解析【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得到,再結(jié)合P是的中點(diǎn)證明;(2)①設(shè),在中,表示出三角形的其他兩邊,再由勾股定理列方程計(jì)算即可;②當(dāng)點(diǎn)恰好位于對(duì)角線上時(shí),最小,利用勾股定理計(jì)算即可;③過點(diǎn)作,交于點(diǎn)M,證明,再由即可得到．(1)解:如圖9-1,在矩形中,,

7中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析即,∴．∵點(diǎn)P是的中點(diǎn),∴．∴．(2)①證明:如圖9-2,在矩形中,,∴．由折疊可知,∴．∴．在矩形中,,∵點(diǎn)P是的中點(diǎn),∴．由折疊可知,．設(shè),則．∴．在中,由勾股定理得,∴,

8中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析∴,即．②解:如圖9-3,由折疊可知,．∴．由兩點(diǎn)之間線段最短可知,當(dāng)點(diǎn)恰好位于對(duì)角線上時(shí),最?。B接,在中,,∴,∴,∴．③解:與的數(shù)量關(guān)系是．理由是:如圖9-4,由折疊可知．

9中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析過點(diǎn)作,交于點(diǎn)M,∵,∴,∴．∴,∴點(diǎn)H是中點(diǎn)．∵,即,∴．∵,∴．∴．∴．∵點(diǎn)G為中點(diǎn),點(diǎn)H是中點(diǎn),∴．∴．∴．∴．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)、折疊問題、勾股定理、全等三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì),關(guān)鍵是作出輔助線,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明．4．(吉林)如圖,在中,,,．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),以的速度沿邊向終點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)．以為一邊作,另一邊與折線相交于點(diǎn),以為邊作菱形,點(diǎn)在線段上．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為,菱形與重疊部分圖形的面積為．

10中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析(1)當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí),的長(zhǎng)為;(用含的代數(shù)式表示)(2)當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí),求的值;(3)求關(guān)于的函數(shù)解析式,并寫出自變量的取值范圍．【答案】(1)2x(2)1(3)【分析】(1)先證明∠A=∠AQP=30°,即AP=PQ,根據(jù)題意有AP=2x,即PQ=2x;(2)當(dāng)M點(diǎn)在BC上,Q點(diǎn)在AC上,在(1)中已求得AP=PQ=2x,再證明△MNB是等邊三角形,即有BN=MN,根據(jù)AB=6x=6cm,即有x=1(s);(3)分類討論:當(dāng)時(shí),此時(shí)菱形PQMN在△ABC的內(nèi)部,此時(shí)菱形PQMN與△ABC重疊的面積即是菱形PQMN的面積,過Q點(diǎn)作QG⊥AB于G點(diǎn),求出菱形的面積即可;當(dāng)x＞1,且Q點(diǎn)在線段AC上時(shí),過Q點(diǎn)作QG⊥AB于G點(diǎn),設(shè)QM交BC于F點(diǎn),MN交BC于E點(diǎn),過M點(diǎn)作NH⊥EF于H點(diǎn),先證明△ENB是等邊三角形、△MEF是等邊三角形,重疊部分是菱形PQMN的面積減去等邊△MEF的面積,求出菱形PQMN的面積和等邊△MEF的面積即可,此時(shí)需要求出當(dāng)Q點(diǎn)在C點(diǎn)時(shí)的臨界條件;當(dāng)時(shí),此時(shí)Q點(diǎn)在線段BC上,此時(shí)N點(diǎn)始終與B點(diǎn)重合,過Q點(diǎn)作QG⊥AB于G點(diǎn),重疊部分的面積就是△PBQ的面積,求出等邊△PBQ的面積即可．(1)當(dāng)Q點(diǎn)在AC上時(shí),∵∠A=30°,∠APQ=120°,∴∠AQP=30°,

11中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析∴∠A=∠AQP,∴AP=PQ,∵運(yùn)動(dòng)速度為每秒2cm,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒,∴AP=2x,∴PQ=2x;(2)當(dāng)M點(diǎn)在BC上,Q點(diǎn)在AC上,如圖,在(1)中已求得AP=PQ=2x,∵四邊形QPMN是菱形,∴PQ=PN=MN=2x,,∵∠APQ=120°,∴∠QPB=60°,∵,∴∠MNB=∠QPB=60°,∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∴∠B=60°,∴△MNB是等邊三角形,∴BN=MN,∴AB=AP+PN+BN=2x×3=6x=6cm,∴x=1(s);(3)當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí),用時(shí)6÷2=3(s),即x的取值范圍為:,當(dāng)M點(diǎn)剛好在BC上時(shí),

12中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析在(2)中已求得此時(shí)x=1,分情況討論,即當(dāng)時(shí),此時(shí)菱形PQMN在△ABC的內(nèi)部,∴此時(shí)菱形PQMN與△ABC重疊的面積即是菱形PQMN的面積,過Q點(diǎn)作QG⊥AB于G點(diǎn),如圖,∵∠APQ=120°,∴∠QPN=60°,即菱形PQMN的內(nèi)角∠QPN=∠QMN=60°,∴QG=PQ×sin∠QPN=2x×sin60°=,∴重疊的面積等于菱形PQMN的面積為,即為:;當(dāng)x＞1,且Q點(diǎn)在線段AC上時(shí),過Q點(diǎn)作QG⊥AB于G點(diǎn),設(shè)QM交BC于F點(diǎn),MN交BC于E點(diǎn),過M點(diǎn)作NH⊥EF于H點(diǎn),如圖,∵,∴∠MNB=∠QPN=60,∵∠B=60°,∴△ENB是等邊三角形,同理可證明△MEF是等邊三角形∴BN=NE,∠MEF=60°,ME=EF,∵AP=PQ=PN=MN=2x,AB=6,∴BN=6-AN=6-4x,∴ME=MN-NE=2x-BN=6x-6,

13中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析∵M(jìn)H⊥EF,∴MH=ME×sin∠MEH=(6x-6)×sin60°=,∴△MEF的面積為:,QG=PQ×sin∠QPN=2x×sin60°=,∵菱形PQMN的面積為,∴重疊部分的面積為,當(dāng)Q點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí),可知此時(shí)N點(diǎn)與B點(diǎn)重合,如圖,∵∠CPB=∠CBA=60°,∴△PBC是等邊三角形,∴PC=PB,∵AP=PQ=2x,∴AP=PB=2x,∴AB=AP+PB=4x=6,則x=,即此時(shí)重合部分的面積為:,;當(dāng)時(shí),此時(shí)Q點(diǎn)在線段BC上,此時(shí)N點(diǎn)始終與B點(diǎn)重合,過Q點(diǎn)作QG⊥AB于G點(diǎn),如圖,∵AP=2x,∴PB=AB-AP=6-2x,∵∠QPB=∠ABC=60°,∴△PQB是等邊三角形,∴PQ=PB,同時(shí)印證菱形PQMN的頂點(diǎn)N始終與B點(diǎn)重合,∴QG=PQ×sin∠QPN=(6-2x)×sin60°=,

14中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析∴,∴此時(shí)重疊部分的面積,綜上所述:．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí),理清運(yùn)動(dòng)過程中Q點(diǎn)的位置以及菱形PQMN的位置是解答本題的關(guān)鍵．解答本題需要注意分類討論的思想．5．(黑龍江牡丹江)在菱形和正三角形中,,是的中點(diǎn),連接、．(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí),寫出與的數(shù)量關(guān)系．(不必證明)(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí),線段、有怎樣的數(shù)量關(guān)系,寫出你的猜想,并給予證明;(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí),線段、又有怎樣的數(shù)量關(guān)系,寫出你的猜想(不必證明)．【答案】(1)(2),證明見解析(3)【分析】(1)延長(zhǎng)交于點(diǎn),利用,得出,,得到,是的中垂線,在中,,利用正切函數(shù)即可求解;(2)延長(zhǎng)交于點(diǎn),連接,,先證明,再證明,利用在中,,即可求解;(3)延長(zhǎng)到,使,連接,,,作FE∥DC,先證,再證,利用在中,,即可求解．(1)解:如圖1,延長(zhǎng)交于點(diǎn),

15中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析∵是的中點(diǎn),∴PD=PF,∵是正三角形,∴,∵,∴,∴,∵四邊形是菱形,∴,∴,∴,在和中,,∴,∴,,∵是正三角形,∴,∵四邊形是菱形,∴,,是的中垂線,在中,,

16中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析．(2)解:,理由如下:如圖2,延長(zhǎng)交于點(diǎn),連接,,,正三角形,∴,,在和中,,,,,在和中,,,,,,．

17中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析(3)解:猜想:．證明:如圖3,延長(zhǎng)到,使,連接,,,作FEDC,是線段的中點(diǎn),,,,,,,,,四邊形是菱形,,,點(diǎn)、、又在一條直線上,,四邊形是菱形,,,,,,,即,,,,．

18中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形．6．(內(nèi)蒙古呼和浩特)下面圖片是八年級(jí)教科書中的一道題:如圖,四邊形是正方形,點(diǎn)是邊的中點(diǎn),,且交正方形外角的平分線于點(diǎn)．求證．(提示:取的中點(diǎn),連接．)(1)請(qǐng)你思考題中“提示”,這樣添加輔助線的意圖是得到條件:;(2)如圖1,若點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)(不與、重合),其他條件不變．求證:;(3)在(2)的條件下,連接,過點(diǎn)作,垂足為．設(shè),當(dāng)為何值時(shí),四邊形是平行四邊形,并給予證明．【答案】(1)AG=CE(2)過程見解析(3),證明過程見解析【分析】對(duì)于(1),根據(jù)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),可得答案;對(duì)于(2),取AG=EC,連接EG,說明△BGE是等腰直角三角形,再證明△GAE≌△CEF,可得答案;對(duì)于(3),設(shè)BC=x,則BE=kx,則,,再利用等腰直角三角形的性質(zhì)表示EP的長(zhǎng),利用平行四邊形的判定得只要EP=FC,即可解決問題．(1)解:∵E是BC的中點(diǎn),∴BE=CE．∵點(diǎn)G是AB的中點(diǎn),∴BG=AG,∴AG=CE．故答案為:AG=CE;(2)取AG=EC,連接EG．∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠B=90°．

19中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析∵AG=CE,∴BG=BE,∴△BGE是等腰直角三角形,∴∠BGE=∠BEG=45°,∴∠AGE=135°．∵四邊形ABCD是正方形,∴∠BCD=90°．∵CF是正方形ABCD外角的平分線,∴∠DCF=45°,∴∠ECF=90°+45°=135°．∵AE⊥EF,∴∠AEB+∠FEC=90°．∵∠BAE+∠AEB=90°,∴∠BAE=∠CEF,∴△GAE≌△CEF,∴AE=EF;(3)當(dāng)時(shí),四邊形PECF是平行四邊形．如圖．由(2)得,△GAE≌△CEF,∴CF=EG．設(shè)BC=x,則BE=kx,∴,．∵EP⊥AC,∴△PEC是等腰直角三角形,∴∠PEC=45°,

20中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析∴∠PEC+∠ECF=180°,．∴,當(dāng)PE=CF時(shí),四邊形PECF是平行四邊形,∴,解得．【點(diǎn)睛】這是一道關(guān)于四邊形的綜合問題,主要考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定,平行四邊形的判定等知識(shí)．7．(福建)已知,AB＝AC,AB＞BC．(1)如圖1,CB平分∠ACD,求證:四邊形ABDC是菱形;(2)如圖2,將(1)中的△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角小于∠BAC),BC,DE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F,用等式表示∠ACE與∠EFC之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;(3)如圖3,將(1)中的△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角小于∠ABC),若,求∠ADB的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2),見解析(3)30°【分析】(1)先證明四邊形ABDC是平行四邊形,再根據(jù)AB＝AC得出結(jié)論;(2)先證出,再根據(jù)三角形內(nèi)角和,得到,等量代換即可得到結(jié)論;(3)在AD上取一點(diǎn)M,使得AM＝CB,連接BM,證得,得到,設(shè),,則,得到α+β的關(guān)系即可．(1)∵,∴AC＝DC,∵AB＝AC,∴∠ABC＝∠ACB,AB＝DC,∵CB平分∠ACD,

21中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析∴,∴,∴,∴四邊形ABDC是平行四邊形,又∵AB＝AC,∴四邊形ABDC是菱形;(2)結(jié)論:．證明:∵,∴,∵AB＝AC,∴,∴,∵,∴,∵,∴,∴;(3)在AD上取一點(diǎn)M,使得AM＝CB,連接BM,∵AB＝CD,,∴,∴BM＝BD,,∴,∵,∴,

22中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析設(shè),,則,∵CA＝CD,∴,∴,∴,∴,∵,???∴,∴,即∠ADB＝30°．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等,靈活運(yùn)用知識(shí),利用數(shù)形結(jié)合思想,做出輔助線是解題的關(guān)鍵．8．(湖南衡陽(yáng))如圖,在菱形中,,,點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),沿線段以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)作于點(diǎn),作交直線于點(diǎn),交直線于點(diǎn),設(shè)與菱形重疊部分圖形的面積為(平方單位),點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(秒)．(1)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),求的值;(2)當(dāng)為何值時(shí),與全等;(3)求與的函數(shù)關(guān)系式;(4)以線段為邊,在右側(cè)作等邊三角形,當(dāng)時(shí),求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)或(3)(4)【分析】(1)畫出圖形,根據(jù)30°直角三角形求解即可;(2)根據(jù)全等的性質(zhì)計(jì)算即可,需要注意分類討論;(3)利用面積公式計(jì)算即可,需要根據(jù)M在B點(diǎn)左邊和右邊分類討論;

23中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析(4)先確定E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條直線,再根據(jù)求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)．(1)與重合時(shí),∵,∴,∴.(2)①當(dāng)時(shí),∵,∴,∵,∴,∴,∴.②當(dāng),∵,∴,∵,∴,∴,∴.∴或.(3)①當(dāng)時(shí),

24中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析,∴,∴.②當(dāng)時(shí),∵,,∴,∴,∴.(4)連接.∵為正三角形,

25中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析∴,在Rt△APE中,,∴為定值.∴的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線,,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),∴的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形的綜合問題,考查了菱形的性質(zhì),30°直角三角形的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì),銳角三角函數(shù)等知識(shí),綜合程度較高,考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力．9．(浙江金華)如圖,在菱形中,,點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)沿折線向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)E作點(diǎn)E所在的邊(或)的垂線,交菱形其它的邊于點(diǎn)F,在的右側(cè)作矩形．(1)如圖1,點(diǎn)G在上．求證:．(2)若,當(dāng)過中點(diǎn)時(shí),求的長(zhǎng)．(3)已知,設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路程為s．當(dāng)s滿足什么條件時(shí),以G,C,H為頂點(diǎn)的三角形與相似(包括全等)?【答案】(1)見解析(2)或5(3)或或或【分析】(1)證明△AFG是等腰三角形即可得到答案;(2)記中點(diǎn)為點(diǎn)O．分點(diǎn)E在上和點(diǎn)E在上兩種情況進(jìn)行求解即可;(3)過點(diǎn)A作于點(diǎn)M,作于點(diǎn)N．分點(diǎn)E在線段上時(shí),點(diǎn)E在線段上時(shí),點(diǎn)E在線段

26中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析上,點(diǎn)E在線段上,共四鐘情況分別求解即可．(1)證明:如圖1,∵四邊形是菱形,∴,∴．∵FGBC,∴,∴,∴△AFG是等腰三角形,∴．(2)解:記中點(diǎn)為點(diǎn)O．①當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí),如圖2,過點(diǎn)A作于點(diǎn)M,∵在中,,∴．∴,∵,

27中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析∴,∴,∴．②當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí),如圖3,過點(diǎn)A作于點(diǎn)N．同理,,,∴．∴或5．(3)解:過點(diǎn)A作于點(diǎn)M,作于點(diǎn)N．①當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí),．設(shè),則,ⅰ)若點(diǎn)H在點(diǎn)C的左側(cè),,即,如圖4,．∵,

28中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析∴,∴,∴,解得,經(jīng)檢驗(yàn),是方程的根,∴．∵,∴,∴,∴,解得,經(jīng)檢驗(yàn),是方程的根,∴．ⅱ)若點(diǎn)H在點(diǎn)C的右側(cè),,即,如圖5,．∵,∴,∴,∴,

29中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析此方程無(wú)解．∵,∴,∴,∴,解得,經(jīng)檢驗(yàn),是方程的根,∴．②當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí),,如圖6,．∴．∵,∴,∴,∴,此方程無(wú)解．∵,∴,∴,∴,解得,

30中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析經(jīng)檢驗(yàn),是方程的根,∵,∴不合題意,舍去;③當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí),,如圖7,過點(diǎn)C作于點(diǎn)J,在中,．,∴,∴,∵,∴,符合題意,此時(shí),．④當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí),,∵,∴與不相似．綜上所述,s滿足的條件為:或或或．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí),分類討論方法是解題的關(guān)鍵．10．(四川南充)如圖,在矩形中,點(diǎn)O是的中點(diǎn),點(diǎn)M是射線上動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在線段上(不與點(diǎn)A重合),．

31中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析(1)判斷的形狀,并說明理由．(2)當(dāng)點(diǎn)M為邊中點(diǎn)時(shí),連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)N．求證:．(3)點(diǎn)Q在邊上,,當(dāng)時(shí),求的長(zhǎng)．【答案】(1)為直角三角形,理由見解析(2)見解析(3)或12【分析】(1)由點(diǎn)O是的中點(diǎn),可知,由等邊對(duì)等角可以推出;(2)延長(zhǎng)AM,BC交于點(diǎn)E,先證,結(jié)合(1)的結(jié)論得出PC是直角斜邊的中線,推出,進(jìn)而得到,再通過等量代換推出,即可證明;(3)過點(diǎn)P作AB的平行線,交AD于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)G,得到兩個(gè)K型,證明,,利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列等式求出QF,FP,再通過即可求出DM．(1)解:為直角三角形,理由如下:∵點(diǎn)O是的中點(diǎn),,∴,∴,,∵,∴,∴,∴為直角三角形;(2)

32中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析證明:如圖,延長(zhǎng)AM,BC交于點(diǎn)E,由矩形的性質(zhì)知:,,∴,∵點(diǎn)M為邊中點(diǎn),∴,在和中,∴,∴,∵,∴,即C點(diǎn)為BE的中點(diǎn),由(1)知,∴,即為直角三角形,∴,∴,又∵,,∴,∴;(3)解:如圖,過點(diǎn)P作AB的平行線,交AD于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)G,

33中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析由已知條件,設(shè),,則,,．∵,,,∴,,∴,∴,∵,∴,∴,∴,∴,即,∴．同理,∵,∴,∵,∴,∴,∴,

34中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析∴,即,∴．∴,解得,∴,將代入得,整理得,解得或．∵,,∴,∴,即,∴,∴當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,此時(shí)點(diǎn)M在DC的延長(zhǎng)線上,綜上,的長(zhǎng)為或12．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì),直角三角形斜邊中線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)等,第3問有一定難度,解題關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造K字模型．11．(湖北武漢)已知是的角平分線,點(diǎn)E,F分別在邊,上,,,與的面積之和為S．

35中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析(1)填空:當(dāng),,時(shí),①如圖1,若,,則_____________,_____________;②如圖2,若,,則_____________,_____________;(2)如圖3,當(dāng)時(shí),探究S與m、n的數(shù)量關(guān)系,并說明理由:(3)如圖4,當(dāng),,,時(shí),請(qǐng)直接寫出S的大?。敬鸢浮?1)①,25;②4;(2)S=(3)S=【分析】(1)①先證四邊形DECF為正方形,再證△ABC為等腰直角三角形,根據(jù)CD平分∠ACB,得出CD⊥AB,且AD=BD=m,然后利用三角函數(shù)求出BF=BDcos45°=5,DF=BDsin45°=5,AE=ADcos45°=5即可;②先證四邊形DECF為正方形,利用直角三角形兩銳角互余求出∠A=90°-∠B=30°,利用30°直角三角形先證求出DE=,利用三角函數(shù)求出AE=ADcos30°=6,DF=DE=,BF=DFtan30°=2,BD=DF÷sin60°=4即可;(2)過點(diǎn)D作DH⊥AC于H,DG⊥BC于G,在HC上截取HI=BG,連接DI,先證四邊形DGCH為正方形,再證△DFG≌△DEH(ASA)與△DBG≌△DIH(SAS),然后證明∠IDA=180°-∠A-∠DIH=90°即可;(3)過點(diǎn)D作DP⊥AC于P,DQ⊥BC于Q,在PC上截取PR=QB,連接DR,過點(diǎn)A作AS⊥DR于S,先證明△DQF≌△DPE,△DBQ≌△DRP,再證△DBF≌△DRE,求出∠ADR=∠ADE+∠BDF=180°-∠FDE=60°即可．(1)解:①∵,,,是的角平分線,∴四邊形DECF為矩形,DE=DF,∴四邊形DECF為正方形,

36中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析∵,∴∠A=90°-∠B=45°=∠B,∴△ABC為等腰直角三角形,∵CD平分∠ACB,∴CD⊥AB,且AD=BD=m,∵,∴BD=n=,∴BF=BDcos45°=5,DF=BDsin45°=5,AE=ADcos45°=5,ED=DF=5,∴S=;故答案為,25;②∵,,,是的角平分線,∴四邊形DECF為矩形,DE=DF,∴四邊形DECF為正方形,∵,∴∠A=90°-∠B=30°,∴DE=,AE=ADcos30°=6,DF=DE=,∵∠BDF=90°-∠B=30°,∴BF=DFtan30°=2,∴BD=DF÷sin60°=4,∴BD=n=4,∴S=,故答案為:4;;(2)解:過點(diǎn)D作DH⊥AC于H,DG⊥BC于G,在HC上截取HI=BG,連接DI,∴∠DHC=∠DGC=∠GCH=90°,∴四邊形DGCH為矩形,∵是的角平分線,DH⊥AC,DG⊥BC,∴DG=DH,∴四邊形DGCH為正方形,

37中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析∴∠GDH=90°,∵,∴∠FDG+∠GDE=∠GDE+∠EDH=90°,∴∠FDG=∠EDH,在△DFG和△DEH中,,∴△DFG≌△DEH(ASA)∴FG=EH,在△DBG和△DIH中,,∴△DBG≌△DIH(SAS),∴∠B=∠DIH,DB=DI=n,∵∠DIH+∠A=∠B+∠A=90°,∴∠IDA=180°-∠A-∠DIH=90°,∴S△ADI=,∴S=;(3)

38中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析過點(diǎn)D作DP⊥AC于P,DQ⊥BC于Q,在PC上截取PR=QB,連接DR,過點(diǎn)A作AS⊥DR于S,∵是的角平分線,DP⊥AC,DQ⊥BC,∴DP=DQ,∵∠ACB=60°∴∠QDP=120°,∵,∴∠FDQ+∠FDP=∠FDP+∠EDP=120°,∴∠FDQ=∠EDP,在△DFQ和△DEP中,,∴△DFQ≌△DEP(ASA)∴DF=DE,∠QDF=∠PDE,在△DBQ和△DRP中,,∴△DBQ≌△DRP(SAS),∴∠BDQ=∠RDP,DB=DR,∴∠BDF=∠BDQ+∠FDQ=∠RDP+∠EDP=∠RDE,

39中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析∵DB=DE,DB=DR,∴△DBF≌△DRE,∴∠ADR=∠ADE+∠BDF=180°-∠FDE=60°,∴S=S△ADR=．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形判定與性質(zhì),正方形判定與性質(zhì),三角形全等判定與性質(zhì),直角三角形判定,三角形面積,角平分線性質(zhì),解直角三角形,掌握等腰直角三角形判定與性質(zhì),正方形判定與性質(zhì),三角形全等判定與性質(zhì),直角三角形判定,三角形面積,角平分線性質(zhì),解直角三角形是解題關(guān)鍵．12．(山東臨沂)已知是等邊三角形,點(diǎn)B,D關(guān)于直線AC對(duì)稱,連接AD,CD．(1)求證:四邊形ABCD是菱形;(2)在線段AC上任取一點(diǎn)Р(端點(diǎn)除外),連接PD．將線段PD繞點(diǎn)Р逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)D落在BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)Q處．請(qǐng)?zhí)骄?當(dāng)點(diǎn)Р在線段AC上的位置發(fā)生變化時(shí),的大小是否發(fā)生變化?說明理由．(3)在滿足(2)的條件下,探究線段AQ與CP之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明．【答案】(1)見解析(2)大小不變,理由見解析(3),證明見解析【分析】(1)連接BD,由等邊三角形的性質(zhì)可得AC垂直平分BD,繼而得出,便可證明;(2)連接PB,過點(diǎn)P作交AB于點(diǎn)E,PF⊥AB于點(diǎn)F,可證明是等邊三角形,由等腰三角形三線合一證明,,即可求解;(3)由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AF=FE,QF=BF,即可證明．(1)

40中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析連接BD,是等邊三角形,,點(diǎn)B,D關(guān)于直線AC對(duì)稱,AC垂直平分BD,,,四邊形ABCD是菱形;(2)當(dāng)點(diǎn)Р在線段AC上的位置發(fā)生變化時(shí),的大小不發(fā)生變化,始終等于60°,理由如下:將線段PD繞點(diǎn)Р逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)D落在BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)Q處,,是等邊三角形,,連接PB,過點(diǎn)P作交AB于點(diǎn)E,PF⊥AB于點(diǎn)F,則,,是等邊三角形,,,

41中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析,點(diǎn)B,D關(guān)于直線AC對(duì)稱,點(diǎn)P在線段AC上,PB=PD,∠DPA=∠BPA,PQ=PD,,,∠QPF-∠APF=∠BPF-∠EPF,即∠QPA=∠BPE,∠DPQ=∠DPA-∠QPA=∠BPA-∠BPE=∠APE=60°;(3)AQ=CP,證明如下:AC=AB,AP=AE,AC-AP=AB–AE,即CP=BE,AP=EP,PF⊥AB,AF=FE,PQ=PD,PF⊥AB,QF=BF,QF-AF=BF–EF,即AQ=BE,AQ=CP．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn),等邊三角形的判定和性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),菱形的判定等,熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．13．(江西)問題提出:某興趣小組在一次綜合與實(shí)踐活動(dòng)中提出這樣一個(gè)問題:將足夠大的直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)放在正方形中心O處,并繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),探究直角三角板與正方形重疊部分的面積變化情況(已知正方形邊長(zhǎng)為2)．

42中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析(1)操作發(fā)現(xiàn):如圖1,若將三角板的頂點(diǎn)P放在點(diǎn)O處,在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)與重合時(shí),重疊部分的面積為__________;當(dāng)與垂直時(shí),重疊部分的面積為__________;一般地,若正方形面積為S,在旋轉(zhuǎn)過程中,重疊部分的面積與S的關(guān)系為__________;(2)類比探究:若將三角板的頂點(diǎn)F放在點(diǎn)O處,在旋轉(zhuǎn)過程中,分別與正方形的邊相交于點(diǎn)M,N．①如圖2,當(dāng)時(shí),試判斷重疊部分的形狀,并說明理由;②如圖3,當(dāng)時(shí),求重疊部分四邊形的面積(結(jié)果保留根號(hào));(3)拓展應(yīng)用:若將任意一個(gè)銳角的頂點(diǎn)放在正方形中心O處,該銳角記為(設(shè)),將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)過程中,的兩邊與正方形的邊所圍成的圖形的面積為,請(qǐng)直接寫出的最小值與最大值(分別用含的式子表示),(參考數(shù)據(jù):)【答案】(1)1,1,(2)①是等邊三角形,理由見解析;②(3)【分析】(1)如圖1,若將三角板的頂點(diǎn)P放在點(diǎn)O處,在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)OF與OB重合時(shí),OE與OC重合,此時(shí)重疊部分的面積=△OBC的面積=正方形ABCD的面積=1;當(dāng)OF與BC垂直時(shí),OE⊥BC,重疊部分的面積=正方形ABCD的面積=1;一般地,若正方形面積為S,在旋轉(zhuǎn)過程中,重疊部分的面積S1與S的關(guān)系為S1=S．利用全等三角形的性質(zhì)證明即可;(2)①結(jié)論:△OMN是等邊三角形．證明OM=ON,可得結(jié)論;②如圖3中,連接OC,過點(diǎn)O作OJ⊥BC于點(diǎn)J．證明△OCM≌△OCN(SAS),推出∠COM=∠CON=30°,

43中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析解直角三角形求出OJ,即可解決問題;(3)如圖4-1中,過點(diǎn)O作OQ⊥BC于點(diǎn)Q,當(dāng)BM=CN時(shí),△OMN的面積最小,即S2最小．如圖4-2中,當(dāng)CM=CN時(shí),S2最大．分別求解即可．(1)如圖1,若將三角板的頂點(diǎn)P放在點(diǎn)O處,在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)OF與OB重合時(shí),OE與OC重合,此時(shí)重疊部分的面積=△OBC的面積=正方形ABCD的面積=1;當(dāng)OF與BC垂直時(shí),OE⊥BC,重疊部分的面積=正方形ABCD的面積=1;一般地,若正方形面積為S,在旋轉(zhuǎn)過程中,重疊部分的面積S1與S的關(guān)系為S1=S．理由:如圖1中,設(shè)OF交AB于點(diǎn)J,OE交BC于點(diǎn)K,過點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M,ON⊥BC于點(diǎn)N．∵O是正方形ABCD的中心,∴OM=ON,∵∠OMB=∠ONB=∠B=90°,∴四邊形OMBN是矩形,∵OM=ON,∴四邊形OMBN是正方形,∴∠MON=∠EOF=90°,∴∠MOJ=∠NOK,∵∠OMJ=∠ONK=90°,∴△OMJ≌△ONK(AAS),∴S△PMJ=S△ONK,∴S四邊形OKBJ=S正方形OMBN=S正方形ABCD,

44中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析∴S1=S．故答案為:1,1,S1=S．(2)①如圖2中,結(jié)論:△OMN是等邊三角形．理由:過點(diǎn)O作OT⊥BC,∵O是正方形ABCD的中心,∴BT=CT,∵BM=CN,∴MT=TN,∵OT⊥MN,∴OM=ON,∵∠MON=60°,∴△MON是等邊三角形;②如圖3中,連接OC,過點(diǎn)O作OJ⊥BC于點(diǎn)J．

45中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析∵CM=CN,∠OCM=∠OCN,OC=OC,∴△OCM≌△OCN(SAS),∴∠COM=∠CON=30°,∴∠OMJ=∠COM+∠OCM=75°,∵OJ⊥CB,∴∠JOM=90°-75°=15°,∵BJ=JC=OJ=1,∴JM=OJ?tan15°=2-,∴CM=CJ-MJ=1-(2-)=-1,∴S四邊形OMCN=2××CM×OJ=-1．(3)如圖4,將沿翻折得到,則,此時(shí)則當(dāng)在上時(shí),比四邊形的面積小,???????設(shè),則當(dāng)最大時(shí),最小,,即時(shí),最大,此時(shí)垂直平分,即,則如圖5中,過點(diǎn)O作OQ⊥BC于點(diǎn)Q,

46中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析,BM=CN當(dāng)BM=CN時(shí),△OMN的面積最小,即S2最?。赗t△MOQ中,MQ=OQ?tan=tan,∴MN=2MQ=2tan,∴S2=S△OMN=×MN×OQ=tan．如圖6中,同理可得,當(dāng)CM=CN時(shí),S2最大．則△COM≌△CON,∴∠COM=,∵∠COQ=45°,∴∠MOQ=45°-,QM=OQ?tan(45°-)=tan(45°-),∴MC=CQ-MQ=1-tan(45°-),

47中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析∴S2=2S△CMO=2××CM×OQ=1-tan(45°-)．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題,考查了正方形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)變換,全等三角形的判定和性質(zhì),四邊形的面積等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,構(gòu)造全等三角形解決問題,屬于中考?jí)狠S題．14．(貴州貴陽(yáng))小紅根據(jù)學(xué)習(xí)軸對(duì)稱的經(jīng)驗(yàn),對(duì)線段之間、角之間的關(guān)系進(jìn)行了拓展探究．如圖,在中,為邊上的高,,點(diǎn)在邊上,且,點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn),連接,將沿翻折得．(1)問題解決:如圖①,當(dāng),將沿翻折后,使點(diǎn)與點(diǎn)重合,則______;(2)問題探究:如圖②,當(dāng),將沿翻折后,使,求的度數(shù),并求出此時(shí)的最小值;(3)拓展延伸:當(dāng),將沿翻折后,若,且,根據(jù)題意在備用圖中畫出圖形,并求出的值．【答案】(1)(2)(3)作圖見解析,【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì)可得,根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解;(2)根據(jù)折疊的性質(zhì)即可求得,由三角形內(nèi)角和定理可得,根據(jù)點(diǎn)在邊上,當(dāng)時(shí),取得最小值,最小值為;(3)連接,設(shè),則,,在中,,延長(zhǎng)交于點(diǎn),在中,,進(jìn)而根據(jù),

48中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析即可求解．(1),是等邊三角形,四邊形是平行四邊形,,,為邊上的高,,(2),,是等腰直角三角形,,,,,,,,,是等腰直角三角形,為底邊上的高,則點(diǎn)在邊上,當(dāng)時(shí),取得最小值,最小值為;(3)如圖,連接,

49中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析,則,設(shè),則,,折疊,,,,,,,,,,,在中,,,延長(zhǎng)交于點(diǎn),如圖,,,,

50中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析,,在中,,,．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì),特殊角的三角函數(shù)值,解直角三角形,勾股定理,三角形內(nèi)角和定理,含30度角的直角三角形的性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．15．(吉林長(zhǎng)春)【探索發(fā)現(xiàn)】在一次折紙活動(dòng)中,小亮同學(xué)選用了常見的A4紙,如圖①,矩形為它的示意圖．他查找了A4紙的相關(guān)資料,根據(jù)資料顯示得出圖①中．他先將A4紙沿過點(diǎn)A的直線折疊,使點(diǎn)B落在上,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E,折痕為;再沿過點(diǎn)F的直線折疊,使點(diǎn)C落在上,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H,折痕為;然后連結(jié),沿所在的直線再次折疊,發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D與點(diǎn)F重合,進(jìn)而猜想．【問題解決】(1)小亮對(duì)上面的猜想進(jìn)行了證明,下面是部分證明過程:證明:四邊形是矩形,∴．由折疊可知,,．∴．∴．請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過程．【結(jié)論應(yīng)用】(2)的度數(shù)為________度,的值為_________;

51中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析(3)在圖①的條件下,點(diǎn)P在線段上,且,點(diǎn)Q在線段上,連結(jié)、,如圖②,設(shè),則的最小值為_________．(用含a的代數(shù)式表示)【答案】(1)見解析(2)22.5°,(3)【分析】(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AD=AF,,由HL可證明結(jié)論;(2)根據(jù)折疊的性質(zhì)可得證明是等腰直角三角形,可求出GF的長(zhǎng),從而可得結(jié)論;(3)根據(jù)題意可知點(diǎn)F與點(diǎn)D關(guān)于AG對(duì)稱,連接PD,則PD為PQ+FQ的最小值,過點(diǎn)P作PR⊥AD,求出PR=AR=,求出DR,根據(jù)勾腰定理可得結(jié)論．(1)證明:四邊形是矩形,∴．由折疊可知,,．∴．∴．由折疊得,,∴∴又AD=AF,AG=AG∴(2)由折疊得,∠又∠∴∠由得,∠∠

52中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析又∠∴∠∴∠∴設(shè)則∴∴∴(3)如圖,連接∵∴AG是FD的垂直平分線,即點(diǎn)F與點(diǎn)D關(guān)于AG軸對(duì)稱,連接PD交AG于點(diǎn)Q,則PQ+FQ的最小值為PD的長(zhǎng);過點(diǎn)P作交AD于點(diǎn)R,∵∠∴∠∴又∴∴在中,

53中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析∴∴的最小值為【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),最短路徑問題,矩形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí),正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．16．(廣東深圳)(1)【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①所示,在正方形中,為邊上一點(diǎn),將沿翻折到處,延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)．求證:(2)【類比遷移】如圖②,在矩形中,為邊上一點(diǎn),且將沿翻折到處,延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)且求的長(zhǎng)．(3)【拓展應(yīng)用】如圖③,在菱形中,為邊上的三等分點(diǎn),將沿翻折得到,直線交于點(diǎn)求的長(zhǎng)．

54中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析【答案】(1)見解析;(2);(3)的長(zhǎng)為或【分析】(1)根據(jù)將沿翻折到處,四邊形是正方形,得,,即得,可證;(2)延長(zhǎng),交于,設(shè),在中,有,得,,由,得,,,而,,可得,即,,設(shè),則,因,有,即解得的長(zhǎng)為;(3)分兩種情況:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),延長(zhǎng)交于,過作于,設(shè),,則,,由是的角平分線,有①,在中,②,可解得,;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于,過作交延長(zhǎng)線于,同理解得,．【詳解】證明:(1)將沿翻折到處,四邊形是正方形,,,,,,;(2)解:延長(zhǎng),交于,如圖:

55中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析設(shè),在中,,,解得,,,,,,即,,,,,,,,即,,設(shè),則,,,,即,解得,

56中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析的長(zhǎng)為;(3)(Ⅰ)當(dāng)時(shí),延長(zhǎng)交于,過作于,如圖:設(shè),,則,,,,,沿翻折得到,,,,是的角平分線,,即①,,,,,在中,,②,聯(lián)立①②可解得,;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于,過作交延長(zhǎng)線于,如圖:

57中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析同理,,即,由得:,可解得,,綜上所述,的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形的綜合應(yīng)用,涉及全等三角形的判定,相似三角形的判定與性質(zhì),三角形角平分線的性質(zhì),勾股定理及應(yīng)用等知識(shí),解題的關(guān)鍵是方程思想的應(yīng)用．17．(黑龍江)和都是等邊三角形．(1)將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時(shí),連接BD,CE并延長(zhǎng)相交于點(diǎn)P(點(diǎn)P與點(diǎn)A重合),有(或)成立;請(qǐng)證明．(2)將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí),連接BD,CE相交于點(diǎn)P,連接PA,猜想線段PA、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并加以證明;

58中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析(3)將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時(shí),連接BD,CE相交于點(diǎn)P,連接PA,猜想線段PA、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?直接寫出結(jié)論,不需要證明．【答案】(1)證明見解析(2)圖②結(jié)論:,證明見解析(3)圖③結(jié)論:【分析】(1)由△ABC是等邊三角形,得AB=AC,再因?yàn)辄c(diǎn)P與點(diǎn)A重合,所以PB=AB,PC=AC,PA=0,即可得出結(jié)論;(2)在BP上截取,連接AF,證明(SAS),得,再證明(SAS),得,,然后證明是等邊三角形,得,即可得出結(jié)論;(3)在CP上截取,連接AF,證明(SAS),得,再證明(SAS),得出,,然后證明是等邊三角形,得,即可得出結(jié)論:．(1)證明:∵△ABC是等邊三角形,∴AB=AC,∵點(diǎn)P與點(diǎn)A重合,∴PB=AB,PC=AC,PA=0,∴或;(2)解:圖②結(jié)論:證明:在BP上截取,連接AF,∵和都是等邊三角形,∴,,∴,

59中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析∴,∴(SAS),∴,∵AC=AB,CP=BF,???∴(SAS),∴,,∴,∴,∴是等邊三角形,∴,∴;(3)解:圖③結(jié)論:,理由:在CP上截取,連接AF,∵和都是等邊三角形,∴,,∴,∴,∴(SAS),∴,∵AB=AC,BP=CF,∴(SAS),???

60中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析∴,,∴,∴,∴是等邊三角形,∴,∴,即．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．(遼寧錦州)在中,,點(diǎn)D在線段上,連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)E,使,過點(diǎn)E作,交直線于點(diǎn)F．(1)如圖1,若,請(qǐng)用等式表示與的數(shù)量關(guān)系:____________．(2)如圖2．若,完成以下問題:①當(dāng)點(diǎn)D,點(diǎn)F位于點(diǎn)A的異側(cè)時(shí),請(qǐng)用等式表示之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;②當(dāng)點(diǎn)D,點(diǎn)F位于點(diǎn)A的同側(cè)時(shí),若,請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)①;②或;【分析】(1)過點(diǎn)C作CG⊥AB于G,先證明△EDF≌△CDG,得到,然后等腰三角形的性質(zhì)和含30度直角三角形的性質(zhì),即可求出答案;(2)①過點(diǎn)C作CH⊥AB于H,與(1)同理,證明△EDF≌△CDH,然后證明是等腰直角三角形,即可得到結(jié)論;②過點(diǎn)C作CG⊥AB于G,與(1)同理,得△EDF≌△CDG,然后得到是等腰直角三角形,利用勾股定理解直角三角形,即可求出答案．(1)解:過點(diǎn)C作CG⊥AB于G,如圖,

61中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析∵,∴,∵,,∴△EDF≌△CDG,∴;∵在中,,,∴,∴,∴;故答案為:;(2)解:①過點(diǎn)C作CH⊥AB于H,如圖,與(1)同理,可證△EDF≌△CDH,∴,∴,在中,,,∴是等腰直角三角形,∴,∴是等腰直角三角形,

62中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析∴,∴;②如圖,過點(diǎn)C作CG⊥AB于G,與(1)同理可證,△EDF≌△CDG,∴,∵,當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)A、D之間時(shí),有∴,與①同理,可證是等腰直角三角形,∴;當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)A、F之間時(shí),如圖:∴,與①同理,可證是等腰直角三角形,∴;綜合上述,線段的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),勾股定理解直角三角形,三角形的內(nèi)角和定理,解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí),正確的作出輔助線,正確得到三角形全等．

63中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析19．(廣西)已知,點(diǎn)A,B分別在射線上運(yùn)動(dòng),．(1)如圖①,若,取AB中點(diǎn)D,點(diǎn)A,B運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)D也隨之運(yùn)動(dòng),點(diǎn)A,B,D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為,連接．判斷OD與有什么數(shù)量關(guān)系?證明你的結(jié)論:(2)如圖②,若,以AB為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形ABC,求點(diǎn)O與點(diǎn)C的最大距離:(3)如圖③,若,當(dāng)點(diǎn)A,B運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),的面積最大?請(qǐng)說明理由,并求出面積的最大值．【答案】(1),證明見解析(2)(3)當(dāng)時(shí),的面積最大;理由見解析,面積的最大值為【分析】(1)根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半進(jìn)行證明即可;(2)取AB中點(diǎn)T,連接OT、CT、OC,由等腰直角三角形的性質(zhì)可得,繼而可得當(dāng)O、T、C在同一直線上時(shí),CO最大,再證明,再由勾股定理求出OT的長(zhǎng),即可求解;(3)以AB為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形ABC,連接OC交AB于點(diǎn)T,在OT上取點(diǎn)E,使OE=BE,連接BE,由(2)可知,當(dāng)時(shí),OC最大,當(dāng)時(shí),此時(shí)OT最大,即的面積最大,由勾股定理等進(jìn)行求解即可．(1),證明如下:,AB中點(diǎn)為D,,為的中點(diǎn),,,,;

64中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析(2)如圖,取AB中點(diǎn)T,連接OT、CT、OC,以AB為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形ABC,,(當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)T在線段OC上時(shí),等號(hào)成立),當(dāng)O、T、C在同一直線上時(shí),CO最大,在和中,,,,,即,,,;(3)如圖,當(dāng)點(diǎn)A,B運(yùn)動(dòng)到時(shí),的面積最大,證明如下:以AB為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形ABC,連接OC交AB于點(diǎn)T,在OT上取點(diǎn)E,使OE=BE,連接BE,

65中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析由(2)可知,當(dāng)時(shí),OC最大,,當(dāng)時(shí),,此時(shí)OT最大,的面積最大,,,,綜上,當(dāng)點(diǎn)A,B運(yùn)動(dòng)到時(shí),的面積最大,面積的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),勾股定理等,熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．20．(湖北十堰)【閱讀材料】如圖①,四邊形中,,,點(diǎn),分別在,上,若,則．

66中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析【解決問題】如圖②,在某公園的同一水平面上,四條道路圍成四邊形．已知,,,,道路,上分別有景點(diǎn),,且,,若在,之間修一條直路,則路線的長(zhǎng)比路線的長(zhǎng)少_________(結(jié)果取整數(shù),參考數(shù)據(jù):)．【答案】370【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn),根據(jù)已知條件求得,進(jìn)而根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì),求得,,從而求得的長(zhǎng),根據(jù)材料可得,即可求解．【詳解】解:如圖,延長(zhǎng)交于點(diǎn),連接,,,,,,

67中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析是等邊三角形,,,在中,,,,,,中,,,,,,中,是等腰直角三角形由閱讀材料可得,路線的長(zhǎng)比路線的長(zhǎng)少．故答案為:370．【點(diǎn)睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì),勾股定理,理解題意是解題的關(guān)鍵．21．(陜西)問題提出(1)如圖1,是等邊的中線,點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上,且,則的度數(shù)為__________．問題探究(2)如圖2,在中,．過點(diǎn)A作,且,過點(diǎn)P作直線,分別交于點(diǎn)O、E,求四邊形的面積．問題解決(3)如圖3,現(xiàn)有一塊型板材,為鈍角,．工人師傅想用這塊板材裁出一個(gè)型部件,

68中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析并要求．工人師傅在這塊板材上的作法如下:①以點(diǎn)C為圓心,以長(zhǎng)為半徑畫弧,交于點(diǎn)D,連接;②作的垂直平分線l,與于點(diǎn)E;③以點(diǎn)A為圓心,以長(zhǎng)為半徑畫弧,交直線l于點(diǎn)P,連接,得．請(qǐng)問,若按上述作法,裁得的型部件是否符合要求?請(qǐng)證明你的結(jié)論．【答案】(1)(2)(3)符合要求,理由見解析【分析】(1)利用等腰三角形的判定及性質(zhì),結(jié)合三角形內(nèi)角和,先求出即可;(2)連接．先證明出四邊形是菱形．利用菱形的性質(zhì)得出,由,得出．根據(jù),得,,即可求出,再求出,利用即可求解;(3)由作法,知,根據(jù),得出．以為邊,作正方形,連接．得出．根據(jù)l是的垂直平分線,證明出為等邊三角形,即可得出結(jié)論．(1)解:,,,,解得:,,,

69中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析故答案為:;(2)解:如圖1,連接．圖1∵,∴四邊形是菱形．∴．∵,∴．∵,∴．∴．∵,∴．∴．∴．(3)解:符合要求．由作法,知．∵,∴．如圖2,以為邊,作正方形,連接．

70中考數(shù)學(xué)真題專練《與三角形、四邊形相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析圖2∴．∵l是的垂直平分線,∴l(xiāng)是的垂直平分線．∴．∴為等邊三角形．∴,∴,∴．∴裁得的型部件符合要求．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì),等腰三角形的判定及性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、菱形的判定及性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、正方形、垂直平分線,解題的關(guān)鍵是要靈活運(yùn)用以上知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行求解,涉及知識(shí)點(diǎn)較多,題目較難．