四川省蓬溪中學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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蓬溪中學(xué)高2025屆第三學(xué)期第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.是虛數(shù)單位，若為純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（????）A.3B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)乘法進(jìn)行計算，再利用純虛數(shù)的定義列式計算作答.【詳解】依題意，，而為實數(shù)，因此，解得，所以實數(shù)的值為.故選：C2.已知單位向量，且，則（）A.3B.C.D.2【答案】B【解析】【分析】利用垂直關(guān)系的向量表示，結(jié)合數(shù)量積的運算律求解作答.【詳解】單位向量滿足，則，即，所以.故選：B3.已知，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意利用兩角差的余弦公式可得，再切化弦運算求解. 【詳解】因為，解得，所以.故選：D.4.下列一組數(shù)據(jù)1，2，3，3，4，5，5，6，6，7的30%分位數(shù)為（）A.2B.3C.5D.3.5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用第p百分位數(shù)的定義求解作答.【詳解】依題意，，所以所求的30%分位數(shù)為.故選：B5.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件“第一枚出現(xiàn)偶數(shù)點”，“第二枚出現(xiàn)奇數(shù)點”，則下列說法正確的是（）A.A與B互斥B.A與B互為對立C.A與B相等D.A與B相互獨立【答案】D【解析】【分析】根據(jù)互斥、對立、獨立事件的定義判斷即可.【詳解】事件與能同時發(fā)生，如第一枚的點數(shù)2，第二枚的點數(shù)為1，故事件與既不是互斥事件，也不是對立事件，故選項A，B錯誤；，，，，因為，所以與獨立，故選項D正確；事件與不相等，故選項C錯誤.故選：D.6.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間中點線面的位置關(guān)系，即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】對于A，若，，則或者或者相交，故A錯誤，對于B，若，，則或者或者相交，故B錯誤，對于C，若，，，則或者或者相交，故C錯誤，對于D，若，，則，又，所以，故D正確，故選：D.7.如圖，正方形中，、分別是、的中點，若，則（）A.2B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量基本定理選擇和作為一組基底，表示出，根據(jù)列出方程組即可求解.【詳解】由已知可得,由圖可知,所以，解得,所以， 故選：.8.設(shè)正三棱錐的底面的邊長為2，側(cè)面與底面所成的二面角的余弦值為，則此三棱錐的體積為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)的中點為，連接，設(shè)為等邊的中心，連接，由正三棱錐的性質(zhì)可得平面，為側(cè)面與底面所成的二面角的平面角，從而結(jié)合已知可求出高，進(jìn)而可求出其體積.【詳解】設(shè)的中點為，連接，設(shè)為等邊的中心，連接，則平面，因為三棱錐為正三棱錐，所以，所以，所以為側(cè)面與底面所成的二面角的平面角，因為等邊的邊長為2，所以，因為側(cè)面與底面所成的二面角的余弦值為，所以，解得，所以，所以三棱錐的體積為，故選：D .二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知事件滿足，，則下列結(jié)論正確是（????）A.B.如果，那么C.如果與互斥，那么D.如果與相互獨立，那么【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)互斥事件和獨立事件的概率公式逐個分析判斷即可詳解】對于選項A，，故選項A錯誤；對于選項B，如果，那么，選項B正確；對于選項C，如果與互斥，那么，所以選項C正確；對于選項D，如果與相互獨立，那么，所以選項D正確.故選：BCD10.已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位，下列說法正確的是（）A.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限B.若向量分別對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為C.若，則D.若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），且，則的最大值為4 【答案】ACD【解析】【分析】對于A，求出，根據(jù)復(fù)數(shù)的坐標(biāo)可得A錯誤；對于B，根據(jù)復(fù)數(shù)的向量表示可得B錯誤；對于C，根據(jù)復(fù)數(shù)的運算以及復(fù)數(shù)相等的條件可得C正確；對于D，利用復(fù)數(shù)模與圓軌跡方程得關(guān)系即可判斷D正確.【詳解】對于A，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，故A正確；對于B，因為向量分別對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，所以，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，故B錯誤.對于C，由得，得，得，得，，所以，故C正確；對于D，，則，表示的軌跡為圓，而，表示圓上的點到定點的距離，因為圓心到定點的距離為，則圓上的點到定點的距離的最大值為，故D正確.故選：ACD.11.將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個單位，再將圖象上所有點的橫坐標(biāo)擴大為原來的3倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則下列判斷正確的是（）A.為偶函數(shù)B.為奇函數(shù)C.在單調(diào)遞減D.【答案】AD【解析】【分析】先根據(jù)三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求出的解析式，然后逐個分析判斷即可【詳解】函數(shù)的圖象沿軸向右平移個單位，得，再將圖象上所有點的橫坐標(biāo)擴大為原來的3倍（縱坐標(biāo)不變），得， 對于A，，因為，所以為偶函數(shù)，所以A正確，對于B，，因為，所以不是奇函數(shù)，所以B錯誤，對于C，由，得，因為在上不單調(diào)性，所以在上不單調(diào)，所以C錯誤，對于D，的周期為，因為，，，，，，所以，所以，所以D正確，故選：AD12.如圖，在棱長為的正方體中，分別為棱，的中點，為面對角線上的一個動點，則（） A.三棱錐的體積為定值B.線段上存在點，使平面C.線段上存在點，使平面平面D.設(shè)直線與平面所成角為，則的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】對于A選項，利用等體積法判斷；對于B、C、D三個選項可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解【詳解】易得平面平面，所以到平面的距離為定值，又為定值，所以三棱錐即三棱錐的體積為定值，故A正確． 對于B,如圖所示,以為坐標(biāo)原點,為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則，,，，，所以，，，設(shè)（），則所以，平面即解之得當(dāng)為線段上靠近的四等分點時，平面.故B正確對于C，設(shè)平面的法向量則，取得設(shè)平面的法向量,則取,得,平面平面 設(shè),即,解得，，不合題意線段上不存在點,使平面//平面，故C錯誤．對于D，平面的法向量為則因為所以所以的最大值為．故D正確．故選：ABD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知一個圓錐的底面半徑為3，高為4，則該圓錐的側(cè)面積為________．【答案】【解析】【分析】求出圓錐的母線長即可得側(cè)面積．【詳解】由題意底面半徑，高為，則母線長為，所以側(cè)面積為．故答案為：．14.甲、乙兩人在罰球線投球命中的概率分別為，，則甲、乙兩人在罰球線各投球一次，恰好命中一次的概率______．【答案】##【解析】【分析】利用題意可知，兩人恰好命中一次包括“甲投中乙未投中”和“乙投中甲未投中”兩種情況，由互斥事件的加法公式即可求得結(jié)果. 【詳解】根據(jù)題意可設(shè)事件“甲在罰球線投球命中”，“乙在罰球線投球命中”；即;則兩人各投一次，恰好命中一次的概率.故答案為：15.在△ABC中，，，，∠BAC的角平分線交BC于D，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)所給條件，利用余弦定理及三角形面積公式求解.【詳解】如圖所示，記，，，由余弦定理可得，，即，因為，解得，由可得，，解得．故答案為：16.已知正邊長為1，將繞旋轉(zhuǎn)至，則三棱錐的外接球表面積為___________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)、球的截面小圓性質(zhì)確定球心位置，求出球半徑即可作答.【詳解】在三棱錐中，取中點G，連接，則，， 平面，，如圖，令正與正的中心為，過分別作平面與平面的垂線，則它們必過四面體外接球的球心，由，得，正方形中，，則，因此四面體的外接球半徑有，所以三棱錐的外接球表面積．故答案為：四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.箱子里有3雙不同的手套，分別用表示六只手套，從中隨機拿出2只，記事件拿出的手套不能配對，事件拿出的都是同一只手上的手套，（1）寫出該試驗的樣本空間；（2）說出事件、事件的關(guān)系及A，B發(fā)生的概率．【答案】（1）答案見解析；（2），，.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，列舉出所有可能的結(jié)果作答.（2）列舉出事件、事件的所有結(jié)果，再利用古典概率計算作答.【小問1詳解】依題意，樣本空間為.【小問2詳解】 事件，事件，顯然，所以，事件發(fā)生的概率，事件發(fā)生的概率.18.已知函數(shù).（1）若，求的周期、單調(diào)增區(qū)間、對稱中心；（2）若在上的最小值為2，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】（1），，；（2）.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式、輔助角公式化簡函數(shù)，再借助正弦函數(shù)性質(zhì)求解作答.（2）求出相位所在區(qū)間，再利用正弦函數(shù)單調(diào)性結(jié)合最小值求出實數(shù)m的取值范圍作答.【小問1詳解】依題意，，所以函數(shù)的周期為；由，得，所以函數(shù)的遞增區(qū)間為；由，得，所以函數(shù)的對稱中心為.【小問2詳解】由（1）知，當(dāng)時，得，因為在上的最小值為2，即有，則的最小值為，而，正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，因此，解得，所以實數(shù)m的取值范圍是. 19.如圖，多面體中，四邊形為平行四邊形，，，四邊形為梯形，，，，，平面（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由線面平行的判定定理可得平面，平面，再由面面平行的判定定理和性質(zhì)定理可得答案.（2）作于O，結(jié)合平面，證得平面，利用線面所成角的定義求出其正弦值作答.【小問1詳解】由四邊形是平行四邊形，得，而平面，平面，則平面，由，平面，平面，得平面，又，平面，因此平面平面，而平面，所以平面.【小問2詳解】由平面，平面，得，連接，則，在平面內(nèi)過作于，連接，顯然，而平面，于是平面，則為直線與平面所成的角， 又，則，因此，所以直線與平面所成角的正弦值為.20.某校對2022年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)考試成績（單位：分）進(jìn)行分析，隨機抽取100名學(xué)生，將分?jǐn)?shù)按照，，，，，分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖：請完成以下問題：（1）估計該校高一期中數(shù)學(xué)考試成績的第百分位數(shù)；（2）為了進(jìn)一步了解學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情況，由頻率分布直方圖，成績在和的兩組中，用按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取名學(xué)生，①再從這名學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，求抽取的這名學(xué)生至少有人成績在內(nèi)的概率．②觀察樣本的指標(biāo)值，計算得中樣本的均值為55，方差為26，中樣本的均值為85，方差為11，計算的方差；【答案】（1）分；（2）①；②233. 【解析】【分析】（1）利用給定的頻率分布直方圖結(jié)合百分位數(shù)的意義，求出成績的第百分位數(shù)作答.（2）①利用分層抽樣求出成績在、內(nèi)的人數(shù)，再利用列舉法求出概率；②利用方差的定義，結(jié)合分層抽樣的方差計算方法求解作答.【小問1詳解】由頻率分布直方圖知，樣本數(shù)據(jù)中數(shù)學(xué)考試成績在分以下所占比例為，在分以下所占比例為，因此，第百分位數(shù)一定位于內(nèi)，由，可以估計樣本數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)約為分，據(jù)此可以估計該校高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)考試成績第百分位數(shù)約為分.【小問2詳解】①由頻率分布直方圖，得分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為，分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為，用分層隨機抽樣的方法抽取名學(xué)生，則需在分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽人，分別記為，需在分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽人，分別記為，，，設(shè)“從樣本中任取人，至少有人在分?jǐn)?shù)段內(nèi)”為事件，則樣本空間，共有個樣本點，而的對立事件，包含個樣本點，于是，則，所以抽取的這名學(xué)生至少有人在內(nèi)的概率為．②依題意，由①知，內(nèi)的樣本均值為，在內(nèi)的分?jǐn)?shù)為，在內(nèi)的分?jǐn)?shù)為，則，，因此的方差為 .21.如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，．（1）證明：平面；（2）若，求點到平面的距離．【答案】（1）證明見解析.（2）【解析】【分析】（1）先證明，然后利用線面垂直的判定定理證明即可.（2）利用等體積法即即可求解.【小問1詳解】解：∵平面平面，平面平面于,且，∴，平面，∴，又，∴，又，∴平面.【小問2詳解】解：由（1）得，，又，，，∴，,∴,又平面平面，平面平面于，∴點到平面的距離即為點到直線的距離， 故點到平面的距離為，則，設(shè)點到平面的距離為，∵∴，即，解得：，即點到平面的距離為.22.在中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若，請完成以下問題：（1）求角B的大小；（2）若為銳角三角形，，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦公式化簡即可作答.（2）利用正弦定理把表示為角的函數(shù)，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解作答.【小問1詳解】在中，由及正弦定理得：，，整理得，而，，于是，所以.【小問2詳解】在中，，，由正弦定理，得，同理，因此 由銳角，得，解得，則，，于是在上單調(diào)遞增，則所以的取值范圍為.