重慶市第八中學(xué)2024屆高三上學(xué)期入學(xué)測試數(shù)學(xué)Word版含解析.docx

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重慶八中高2024級高三（上）入學(xué)測試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若，則的值是（）A.0B.1C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)得到或，然后解方程根據(jù)元素的互異性進(jìn)行取舍即可.【詳解】因為，所以①或②，由①得或，其中與元素互異性矛盾，舍去，符合題意，由②得，符合題意，兩種情況代入得.故選：C.2.已知是定義在上的函數(shù)，，則“為增函數(shù)”是“為增函數(shù)”的（）A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】取特殊函數(shù)分別按照充分和必要條件判斷即可.【詳解】取，則在不單調(diào)；取單調(diào)遞增，但單調(diào)遞減，故“為增函數(shù)”是“為增函數(shù)”的既不充分也不必要條件.故選：D. 3.某大學(xué)有兩個圖書館，學(xué)生小李周六隨機(jī)選擇一圖書館閱讀，如果周六去圖書館，那么周日去圖書館概率為0.4；如果周六去圖書館，那么周日去圖書館的概率為0.6.小李周日去圖書館的概率為（）A.0.5B.0.24.C.0.16D.0.36【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)寫出對應(yīng)事件的概率，利用全概率公式求小李周日去圖書館的概率.【詳解】記事件表示小李周六去圖書館，事件表示小李周六去圖書館，事件表示小李周日去圖書館，則，其中與為互斥事件，依題意，由全概率公式得.故選：A4.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和對數(shù)函數(shù)定義域列不等式，然后解不等式即可.【詳解】令，由題意知：在區(qū)間上單調(diào)遞增且，，解得：，則實數(shù)的取值范圍是.故選：C.5.函數(shù)的圖象大致為（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式求得函數(shù)定義域，判斷函數(shù)奇偶性，再取幾個特殊值運(yùn)用排除法得到答案.【詳解】由題意知，，解得，所以定義域關(guān)于原點對稱，又因為，所以此函數(shù)為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱，排除A.當(dāng)時，，排除B.，函數(shù)只有1個零點，排除C.故選：D6.設(shè)，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】運(yùn)用換底公式，結(jié)合對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可【詳解】由在上單調(diào)遞減， 在單調(diào)遞增，.故選：A7.2023年1月31日，據(jù)“合肥發(fā)布”公眾號報道，我國最新量子計算機(jī)“悟空”即將面世，預(yù)計到2025年量子計算機(jī)可以操控的超導(dǎo)量子比特達(dá)到1024個.已知1個超導(dǎo)量子比特共有2種疊加態(tài)，2個超導(dǎo)量子比特共有4種疊加態(tài)，3個超導(dǎo)量子比特共有8種疊加態(tài)，，每增加1個超導(dǎo)量子比特，其疊加態(tài)的種數(shù)就增加一倍.若，則稱為位數(shù)，已知1024個超導(dǎo)量子比特的疊加態(tài)的種數(shù)是一個位的數(shù)，則（）（參考數(shù)據(jù)：）A.308B.309C.1023D.1024【答案】B【解析】【分析】由已知可推得當(dāng)有1024個超導(dǎo)量子比特時共有種疊加態(tài).兩邊同時取以10為底的對數(shù)，根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，根據(jù)已知數(shù)據(jù)，即可得出答案.【詳解】根據(jù)題意，得個超導(dǎo)量子比特共有種疊加態(tài)，所以當(dāng)有1024個超導(dǎo)量子比特時共有種疊加態(tài).兩邊取以10為底的對數(shù)得，所以.由于，故是一個309位的數(shù)，即.故選：B.8.若函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，則不等式的解集為（）AB.C.D.【答案】D【解析】 【分析】根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，判斷其奇偶性及單調(diào)性，解不等式即可.【詳解】令，因為為偶函數(shù)，即，故，為偶函數(shù)，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，因為，即，所以，故，解，所以不等式的解集為.故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.若隨機(jī)變量，則（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性可判斷ABC的正誤；根據(jù)方差的性質(zhì)可知D錯誤.【詳解】對于A，由正態(tài)分布曲線對稱性可知：，A正確；對于B，，，B正確；對于C，，，又，，C錯誤；對于D，，，D錯誤.故選：AB. 10.已知正數(shù)滿足，則下列說法一定正確的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】由已知等式可得，由，，結(jié)合基本不等式可知AB正誤；利用基本不等式可直接驗證CD正誤.【詳解】由，，得：；對于A，（當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號），A正確；對于B，（當(dāng)且僅當(dāng)，即，），B錯誤；對于C，（當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號），，解得：（當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號），C正確；對于D，（當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號），由C知：（當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號），（當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號），D正確.故選：ACD.11.若函數(shù)的定義域為，則（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】 【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性，由對稱軸和對稱中心分別判斷各個選項即可.【詳解】函數(shù)的定義域為R，，函數(shù)關(guān)于對稱，即，，的圖象關(guān)于點對稱.對于AB：的圖象關(guān)于點對稱，，但無法判斷，故B正確，A錯誤；對于D：的圖象關(guān)于直線對稱，且，，故D正確；對于C：的圖象關(guān)于直線對稱，的圖象關(guān)于點對稱，，即，，令，則，故C正確.故選：BCD.12.已知函數(shù)，則（）A.，使得有2個零點B.，使得有3個零點C.若有3個零點，則D.若有4個零點，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意，做出函數(shù)的圖像，然后將函數(shù)的零點問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點問題，結(jié)合圖像判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】令，則，則的圖像如下所示， 當(dāng)時，有兩個交點，當(dāng)時，有3個交點，當(dāng)時，有1個交點，當(dāng)時，有0個交點.由于直線的斜率為1，故當(dāng)，設(shè)斜率為1的切線的切點為，則，故切點為，切線方程為，當(dāng)，設(shè)斜率為1的切線的切點為，則，故切點為，切線方程為，在圖中做出在和的切線方程，如下圖，的零點即為函數(shù)與的交點，由圖可知：當(dāng)時，與有一個交點，且交點橫坐標(biāo)滿足，當(dāng)時，與有2個交點，目交點橫坐標(biāo)滿足，和，當(dāng)時，與有一個交點，且交點橫坐標(biāo)滿足，當(dāng)時，與有一個交點，且交點橫坐標(biāo)滿足，當(dāng)時，與有一個交點，且交點橫坐標(biāo)滿足，綜上可知：當(dāng)或時，有3個交點，當(dāng)時，有4個交點當(dāng)時，有2個交點.故選：ABD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.設(shè)集合，集合，若，則的取值范圍為________.【答案】 【解析】【分析】先得到，從而由交集為空集得到的取值范圍.【詳解】由題意得，故，因為，所以，故的取值范圍是.故答案為：14.在的展開式中，的系數(shù)為________.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】由，再寫出展開式的通項，從而求出的項，即可得解.【詳解】因為，又展開通項公式為，所以的展開式中，含有的為，故的系數(shù)為.故答案為：15.已知函數(shù)在區(qū)間上的值域為，則實數(shù)的值為________.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)圖象的變換得到函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)圖象求即可.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖，函數(shù)在上單減，在上為增函數(shù)，又，，， 若函數(shù)在區(qū)間上的值域為，則實數(shù).故答案為：3.16.已知函數(shù)，.若存在實數(shù)使成立，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】令，用分別表示出和，然后再用表示出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可．【詳解】解：不妨設(shè)，所以，所以，即，，故，令，則，故，所以在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，，故單調(diào)遞增，當(dāng)時，，故單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得極小值也就是最小值，此時，故的最小值為．故答案為：．【點睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在數(shù)列中，，且滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求的值.【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義、通項公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)絕對值的性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列前項和公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其公差為.，，；【小問2詳解】設(shè)數(shù)列的前項和為，則由（1）可得，由（1）知，令，得，當(dāng)時，，則；.18.如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，三角形為正三角形，且側(cè)面底面.分別為線段中點.（1）求證：平面；（2）在棱上是否存在點，使得平面平面？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在，【解析】【分析】（1）構(gòu)造三角形的中位線得到線線平行，再利用線面平行的判定定理即可得到線面平行； （2）法一：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面和平面的法向量，再利用兩平面垂直的向量法即可求出結(jié)果.法二：利用幾何法，先找出平面，使平面平面，再利用幾何關(guān)系即可求出結(jié)果.【小問1詳解】連接交于點，連接，因為四邊形是菱形，所以點為的中點.又因為為的中點，所以，又因為平面平面，所以平面.小問2詳解】設(shè)底面邊長為2，連接，由于為菱形，且，故，所以，故有，又三角形為正三角形，為中點，故，又側(cè)面底面，平面平面，面，所以平面，如圖，以為原點，方向分別為軸正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，設(shè)，則，則，設(shè)平面的法向量為，則有，得到，取，得，，所以， 又平面法向量可取為，由題可知，即，解得，故存在點使得平面平面，.法二：三角形為正三角形，是的中點，又側(cè)面底面，平面平面，面，所以平面，連接，取的中點，連接，則是的中位線，，所以平面，延長交于，又面，所以平面平面.因為，所以，又因為，所以，，故存在點，使得平面平面，.19.2022年卡塔爾世界杯決賽圈共有32支球隊參加，歐洲球隊有13支：其中有5支歐洲球隊闖入8強(qiáng).比賽進(jìn)入淘汰賽階段后，必須要分出勝負(fù).淘汰賽規(guī)則如下：在比賽常規(guī)時間90分鐘內(nèi)分出勝負(fù)；比賽結(jié)束，若比分相同.則進(jìn)入30分鐘的加時賽.在加時賽分出勝負(fù)，比賽結(jié)束，若加時賽比分依然相同，就要通過點球大戰(zhàn)來分出最后的勝負(fù).點球大戰(zhàn)分為2個階段，第一階段：共5輪，雙方每輪各派1名球員，依次踢點球，以5輪的總進(jìn)球數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)，5輪合計踢進(jìn)點球數(shù)更多的球隊獲得比賽的勝利.如果第一階段的5輪還是平局，則進(jìn)入第二階段：在該階段雙方每輪各派1 名球員，依次踢點球，如果在一輪里，雙方都進(jìn)球或者雙方都不進(jìn)球，則繼續(xù)下一輪，直到某一輪里，一方罰進(jìn)點球，另一方?jīng)]罰進(jìn)，比賽結(jié)束，罰進(jìn)點球的一方獲得最終的勝利.（1）根據(jù)題意填寫下面的列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，判斷32支決賽圈球隊“闖入8強(qiáng)”與“是歐洲球隊”是否有關(guān).歐洲球隊其他球隊合計闖入強(qiáng)未闖入強(qiáng)合計（2）甲、乙兩隊在淘汰賽相遇，經(jīng)過120分鐘比賽未分出勝負(fù)，雙方進(jìn)入點球大戰(zhàn).已知甲隊球員每輪踢進(jìn)點球的概率為，乙隊球員每輪踢進(jìn)點球的概率為，每輪每隊是否進(jìn)球相互獨立，在點球大戰(zhàn)中，兩隊前3輪比分為，試求出甲隊在第二階段第一輪結(jié)束后獲得最終勝利的概率.參考公式：.【答案】（1）列聯(lián)表見解析，認(rèn)為“闖入8強(qiáng)”與“是歐洲球隊”無關(guān)（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意填寫列聯(lián)表，然后計算根據(jù)臨界值表判斷即可；（2）分別求出雙方進(jìn)入第二階段和第二階段第一輪甲隊進(jìn)球乙隊為進(jìn)球的概率，然后求甲隊在第二階段第一輪結(jié)束后獲得最終勝利的概率即可.【小問1詳解】下面為列聯(lián)表：歐洲球隊其他球隊合計進(jìn)入強(qiáng) 未進(jìn)入強(qiáng)合計零假設(shè)支決賽圈球隊闖入8強(qiáng)與是否為歐洲球隊無關(guān)，，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為“闖入8強(qiáng)”與“是歐洲球隊”無關(guān).【小問2詳解】記“雙方進(jìn)入第二階段比賽”為事件，“第二階段第一輪甲隊進(jìn)球乙隊未進(jìn)球”為事件，則“甲隊在第二階段第一輪結(jié)束后獲得最終勝利”為事件，有，要進(jìn)入第二階段比賽，即第一階段五輪為平局，比分可能為，則，，故.20.已知函數(shù).（1）若為的極小值點，求實數(shù)的值；（2）已知集合，集合，若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，由求出，再進(jìn)行檢驗即可；（2）轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，恒有，求導(dǎo)，分與兩種情況，求出滿足要求，時不合要求，從而得到答案.【小問1詳解】 ，由題可知，，當(dāng)時，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故滿足為極小值點.【小問2詳解】由題意，即當(dāng)時，恒有，即有，顯然，，當(dāng)，即時，恒成立，所以在單調(diào)遞增，，即時滿足恒成立；當(dāng)即時，由得，其中，由得，所以時，單調(diào)遞減，所以時，與題設(shè)矛盾.綜上，的取值范圍是.【點睛】方法點睛：對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，一般有三個方法，一是分離參數(shù)法,使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)，通過兩個函數(shù)圖像確定條件.21.已知雙曲線的右焦點為為雙曲線上一點.（1）求的方程；（2）設(shè)直線，且不過點，若與交于兩點，點關(guān)于原點的對稱點為，若，試判斷是否為定值，若是，求出值，若不是，請說明理由.【答案】（1） （2）存在，【解析】【分析】（1）利用焦點坐標(biāo)得到，再由點在雙曲線上，結(jié)合聯(lián)立方程即可得解；（2）利用設(shè)而不求得到關(guān)于的值，再由得到的關(guān)系式，從而整理得，分析式子即可得到，由此得解.【小問1詳解】由已知可得，故，因為在雙曲線上，所以，解得（負(fù)值舍去），所以的方程為；【小問2詳解】聯(lián)立直線與雙曲線的方程，可得，則且，所以且，設(shè)，則，由韋達(dá)定理可得，又，所以，，又，因為，所以，整理可得，則， 則，整理可得，因為不恒為0，所以應(yīng)有，解得，所以直線的斜率為定值3.【點睛】方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.22.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，求曲線與的公切線方程.【答案】（1）在上單調(diào)遞增.（2）【解析】【分析】（1）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)證明，由此判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)曲線在點與曲線在的切線相同，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，利用導(dǎo)數(shù)研究方程的解可求，由此求公切線方程. 【小問1詳解】當(dāng)時，令，有，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，即，所以在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】因為，所以，設(shè)曲線在點與曲線在的切線相同，則切線方程為，即，整理得.又切線方程也可表示為，即，整理得，所以，消整理得.令，令，因為，所以函數(shù)在在單調(diào)遞增， 又函數(shù)在在單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增，又，當(dāng)，，又得，所以，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，因此函數(shù)只有一個零點，即只有一個解，此時切線方程為，所以曲線與的公切線方程為.