浙江省A9協(xié)作體2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期暑假返校聯(lián)考數(shù)學(xué)Word版含解析.docx

《浙江省A9協(xié)作體2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期暑假返校聯(lián)考數(shù)學(xué)Word版含解析.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

浙江省A9協(xié)作體高二暑假返校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知：1．本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2．答題前務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙規(guī)定的地方.3．答題時(shí)，請(qǐng)按照答題紙上“注意事項(xiàng)”的要求，在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范答題，在本試卷紙上答題一律無(wú)效.4．考試結(jié)束后，只需上交答題卷.第Ⅰ卷一、單選題1.若，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A.B.1C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法求復(fù)數(shù)，進(jìn)而結(jié)合虛部的概念分析求解.【詳解】由題意可得：，所以復(fù)數(shù)的虛部為1.故選：B.2.如圖所示，等腰梯形是平面圖形用斜二測(cè)畫法得到的直觀圖，，則平面圖形的面積為（）A.B.12C.D.6【答案】A 【解析】【分析】根據(jù)直觀圖畫出原圖，由此計(jì)算出的面積.【詳解】在直觀圖中，，在原圖中，，，所以平面圖形的面積為.故選：A3.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件“第一枚骰子奇數(shù)面朝上”，事件“第二枚骰子偶數(shù)面朝上”，事件“兩枚骰子向上點(diǎn)數(shù)之和為”.則下列結(jié)論正確的是（）A.與對(duì)立B.與互斥C.D.與獨(dú)立【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對(duì)立事件、互斥事件、古典概率、相互獨(dú)立事件等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，事件“第一枚骰子奇數(shù)面朝上”，事件“第二枚骰子偶數(shù)面朝上”，兩個(gè)事件可以同時(shí)發(fā)生，即“第一枚骰子奇數(shù)面朝上，第二枚骰子偶數(shù)面朝上”，所以與不是對(duì)立事件，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，事件“第一枚骰子奇數(shù)面朝上”，事件“兩枚骰子向上點(diǎn)數(shù)之和為”，兩個(gè)事件可以同時(shí)發(fā)生，如“第一枚骰子為點(diǎn)，第二骰子為點(diǎn)”，所以與不是互斥事件，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.基本事件的總數(shù)為，事件“兩枚骰子向上點(diǎn)數(shù)之和為”，包含的基本事件為：，共個(gè)，所以，C選項(xiàng)錯(cuò)誤事件“第二枚骰子偶數(shù)面朝上”，則， 事件“第二枚骰子偶數(shù)面朝上，兩枚骰子向上點(diǎn)數(shù)之和為”，包含的基本事件為：，所以，所以，所以與獨(dú)立，所以D選項(xiàng)正確.故選：D4.已知向量，，若是在上的投影向量，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得，進(jìn)而結(jié)合投影向量的概念運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：，所以.故選：C.5.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為，，，，將該三角形繞AC邊旋轉(zhuǎn)得一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，則該旋轉(zhuǎn)體體積為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意利用余弦定理可得，進(jìn)而可得該旋轉(zhuǎn)體為大圓錐去掉小圓錐，結(jié)合圓錐的體積公式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，即，由余弦定理可得，且，可得，又因?yàn)椋?，則， 即，解得或（舍去），如圖，將該三角形繞AC邊旋轉(zhuǎn)得一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，則該旋轉(zhuǎn)體為大圓錐去掉小圓錐，可得，則，大圓錐的底面半徑為3，高為，體積為，小圓錐的底面半徑為3，高為，體積為，所以該旋轉(zhuǎn)體體積為.故選：B.6.一組數(shù)據(jù)由6個(gè)數(shù)組成，將其中一個(gè)數(shù)由4改為6，另一個(gè)數(shù)由12改為10，其余數(shù)不變，得到新的一組數(shù)據(jù)，則新的一組數(shù)的方差減去原一組數(shù)的方差的差為（）A.4B.3C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)方差的計(jì)算公式求得兩組數(shù)據(jù)的方差，進(jìn)而求得正確答案.【詳解】設(shè)原來(lái)的數(shù)據(jù)為，平均數(shù)為，方差為新的數(shù)據(jù)為，平均數(shù)為，方差為，所以. 故選：C7.如圖，點(diǎn)、、、、為正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則下列各圖中，不滿足直線平面的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合線面的位置關(guān)系以及線面平行的判定定理、面面平行的性質(zhì)可確定正確選項(xiàng)．【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，如下圖所示，在正方體中，且，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，平面，同理可證平面，因?yàn)?，、平面，所以，平面平面，因?yàn)槠矫?，故平面，故A滿足；對(duì)于B選項(xiàng)，如下圖所示，連接，在正方體中，且， 因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則且，所以四邊形為平行四邊形，故，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則，所以，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，平面，故B滿足；對(duì)于C選項(xiàng)，如下圖所示，在正方體中，取的中點(diǎn)，連接、、，因?yàn)榍遥?、分別為、的中點(diǎn)，所以且，故四邊形為平行四邊形，則，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以，，則，所以，、、、四點(diǎn)共面，因?yàn)榍?，則四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，則，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，平面，故C滿足；對(duì)于D選項(xiàng)，如下圖所示，在正方體中，取的中點(diǎn)，連接、、、、、，因?yàn)榍?，、分別為、的中點(diǎn)，則且， 所以四邊形為平行四邊形，則，因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，所以，故，所以，、、、四點(diǎn)共面，同理可證，故，同理可得，反設(shè)平面，因?yàn)?，且平面，則平面，但與平面有公共點(diǎn)，這與平面矛盾，故平面，故D不滿足．故選：D．8.五面體ABCDEF中，底面ABCD為矩形，，△ADE與都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，若點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)都在球O的球面上，則球O的表面積為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】找到球心及球心在平面ABCD上的投影，根據(jù)題干信息得到各邊長(zhǎng)，設(shè)出，利用半徑列出方程，求出，進(jìn)而求出半徑，外接球表面積.【詳解】連接AC，BD交于點(diǎn)N，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，則點(diǎn)N為矩形ABCD的外接圓圓心，連接，則平面ABCD，取AD，BC的中點(diǎn)分別為G，H，連接EG，F(xiàn)H，則，，可得，因?yàn)?，為等邊三角形，則，，且，平面EFHG，所以平面EFHG，且平面ABCD，可得平面平面EFHG，因?yàn)槠矫鍱FHG，且平面ABCD，所以平面EFHG，設(shè)，又因?yàn)?，則，，， 所以EF到平面ABCD的距離為，設(shè)，（若點(diǎn)O與E、F同側(cè)，則，若點(diǎn)O與E、F異側(cè)，則）則，設(shè)外接球的半徑為，因?yàn)?，則，即，解得:，所以，所以球O的表面積為.故選：A.二、多選題9.有一組樣本數(shù)據(jù)，另一組樣本數(shù)據(jù)，其中，c為非零常數(shù)，則（）A.兩組樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)相同B.兩組樣本數(shù)據(jù)方差相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)中位數(shù)相等D.兩組樣本數(shù)據(jù)極差相同【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、方差，極差的概念及性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】設(shè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、方差，極差分別為，樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、方差，極差分別為，因?yàn)?，且，?duì)于選項(xiàng)A：可知，且，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：可知，故B正確；不妨設(shè)因?yàn)?，則兩組數(shù)據(jù)相對(duì)大小關(guān)系不變，所以， 對(duì)于選項(xiàng)C：可知：，且，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：可知：，，即，故D正確；故選：BD.10.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，則（）A.的模長(zhǎng)為1B.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限C.D.復(fù)數(shù)滿足，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)乘法、復(fù)數(shù)模的幾何意義等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，，，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在第一象限，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，設(shè)，，表示點(diǎn)與的距離等于，所以點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上，由于到原點(diǎn)的距離為，所以以為圓心，半徑為的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以的最大值等于這個(gè)圓的直徑，所以D選項(xiàng)正確. 故選：ACD11.已知l，m，n是三條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，則（）A.已知，，，若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)空間中線面關(guān)系逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若，則，又因?yàn)?，，則，可得，且，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：例如正三棱柱中，為側(cè)面，為底面，符合條件，顯然底邊的棱與側(cè)面不垂直，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：若則∥，又因?yàn)椤?，所以∥，故C正確； 對(duì)于選項(xiàng)D：若，則或，故D錯(cuò)誤；故選：AC.12.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，則（）A若，則B.若，，則最大值為C.若，，，則滿足條件的三角形有兩個(gè)D.若，且，則為等邊三角形【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值、三角形的面積公式、正弦定理、余弦定理、向量運(yùn)算等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，若，如，，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，，余弦定理得，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由于三角形中，，所以，則，又，即，整理得，記得，所以的最大值為，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，若，，， 則，所以，所以滿足條件的三角形有兩個(gè)，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，表示方向的單位向量；表示方向的單位向量，根據(jù)平面向量加法的幾何意義可知與的角平分線共線，由可知的角平分線與垂直，所以三角形是等腰三角形.而，所以為銳角，且，所以三角形是等邊三角形.故選：BCD【點(diǎn)睛】三角形的面積公式有多種表現(xiàn)形式，如、、海倫公式等等，在解題的過(guò)程中，要選取合適的公式來(lái)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解.在解三角形的過(guò)程中，根據(jù)三角函數(shù)值求角，要注意解的個(gè)數(shù)是否唯一.第Ⅱ卷三、填空題13.復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則_________．【答案】3【解析】【分析】由根與方程的關(guān)系可得，解得即可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】由題意可得，將代入方程可得，整理得；由復(fù)數(shù)概念可得，解得，所以. 故答案為：314.某人在湖面之上2米處測(cè)得空中一氣球的仰角為30°，且測(cè)得湖中氣球倒影的俯角為60°，若不考慮水的折射和球的體積，則氣球離水面的高度為_(kāi)_____米．【答案】4【解析】【分析】結(jié)合題意作出示意圖，利用直角三角形中正切函數(shù)的定義得到關(guān)于氣球離水面的高度的方程，解之即可.【詳解】結(jié)合題意作出示意圖，易知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于湖面對(duì)稱，則，，，，故，在中，，即，在中，，，故，則，即，故，所以氣球離水面的高度為4.故答案為：4.15.在中，內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】【解析】分析】根據(jù)倍角公式結(jié)合正、余弦定理運(yùn)算求解. 【詳解】因?yàn)?，則，由正弦定理可得：，由余弦定理可得：，即，整理得，解得，所以的長(zhǎng)為.故答案為：.16.已知三棱錐中，，且與平面所成角余弦值為，當(dāng)取得最大值時(shí)，二面角的正弦值為_(kāi)_____．【答案】##0.6【解析】【分析】利用二面角的定義結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值解三角形即可.【詳解】如圖所示，作于E點(diǎn)，連接，作于F點(diǎn)，因?yàn)槊妫悦?，面，即，，又面，即面，故與平面所成角為，即，①先討論F在線段DE上時(shí)，不妨設(shè)， 則，易知，設(shè)，令，可得，即在上單調(diào)遞增，令，即此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，又易知二面角的平面角為，此時(shí).②如圖所示，當(dāng)F位于DE延長(zhǎng)線上時(shí)，同①，不妨設(shè)，則，易知，設(shè)，令，可得恒成立，即在上單調(diào)遞減，則無(wú)最值； 故答案為：.四、解答題17.已知向量與的夾角為，且，是單位向量.（1）分別求和的值；（2）若與共線，求.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用數(shù)量積的定義求解，根據(jù)求解；（2）由向量共線，結(jié)合平面向量基本定理列出方程組求解.【小問(wèn)1詳解】，.【小問(wèn)2詳解】若與共線，則存在，使得，即，又因?yàn)橄蛄颗c不共線，所以，解得，所以.18.杭州年第屆亞運(yùn)會(huì)將于年月日至月 日舉行．隨著亞運(yùn)會(huì)的臨近，亞運(yùn)會(huì)的熱度持續(xù)提升．為讓更多的人了解亞運(yùn)會(huì)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目和亞運(yùn)精神，某大學(xué)舉辦了亞運(yùn)會(huì)知識(shí)競(jìng)賽，并從中隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績(jī)，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）試根據(jù)頻率分布直方圖求出這名學(xué)生中成績(jī)低于分的人數(shù)；（2）試估計(jì)這名學(xué)生成績(jī)的第百分位數(shù)；（3）若采用分層抽樣的方法從成績(jī)?cè)?，，的學(xué)生中共抽取人參加志愿者活動(dòng)．現(xiàn)從這人中隨機(jī)抽取人分享活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，求抽取的人成績(jī)都在的概率．【答案】（1）18人（2）82.5（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖直接計(jì)算即可得解；（2）由百分位數(shù)的定義直接計(jì)算即可；（3）根據(jù)分層抽樣，列出基本事件，由古典概型的概率公式求解.【小問(wèn)1詳解】由頻率分布直方圖中數(shù)據(jù)可知：【小問(wèn)2詳解】成績(jī)小于80的頻率為，成績(jī)?cè)诘念l率為，因?yàn)?，所以這名學(xué)生成績(jī)的第百分位數(shù)在內(nèi)，所以隨機(jī)抽取的100名學(xué)生成績(jī)的第75百分位數(shù)為.【小問(wèn)3詳解】因?yàn)槌煽?jī)?cè)?，，的學(xué)生人數(shù)所占比例為3:2:1，所以從成績(jī)?cè)?，，所抽取人?shù)分別應(yīng)抽取3人，2人，1人. 記抽取成績(jī)?cè)?人為，成績(jī)?cè)跒?，共15種，抽取的2人成績(jī)都在的是，共3種，抽取的人成績(jī)都在的概率為.19.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．（1）求角A；（2）若，，的角平分線交BC于D，求AD的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）2【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理結(jié)合三角恒等變換運(yùn)算求解即可；（2）先利用余弦定理可得，再結(jié)合面積關(guān)系運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得：，且，即，又因?yàn)?，則，可知，可得，又因?yàn)?，所?【小問(wèn)2詳解】由余弦定理可得，即，則，且，解得：，根據(jù)面積關(guān)系可得， 即，解得：．20.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)面為等腰直角三角形，且，點(diǎn)為棱上的點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，，求證：平面平面．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）先證得平面，然后利用線面平行的性質(zhì)定理來(lái)證得.（2）通過(guò)證明平面來(lái)證得平面平面．【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈酌媸钦叫?，所以，平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫媾c交于點(diǎn)，平面，平面平面，所以．【小問(wèn)2詳解】側(cè)面為等腰直角三角形，且，即，，因?yàn)椋?，且兩直線在平面內(nèi)，可得平面，因?yàn)槠矫?，則．又因?yàn)椋?，且兩直線在平面內(nèi)，則平面，因?yàn)槠矫妫瑒t， 因?yàn)?，所以為等腰三角形，所以點(diǎn)為的中點(diǎn).又因?yàn)?，所以為等腰直角三角形，因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以面平?21.如圖，在中，，，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上且滿足，，點(diǎn)F在線段DE上．（1）若，求；（2）若，且求；（3）求的最小值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）設(shè)，，跟向量的線性運(yùn)算可得，結(jié)合平面向量基本定理列式求解；（2）先用表示，再根據(jù)垂直關(guān)系可求得，進(jìn)而可得結(jié)果；（3）取中點(diǎn)，根據(jù)題意分析可得，可知在上的垂足為F時(shí)，最小，運(yùn)算求解即可.【小問(wèn)1詳解】點(diǎn)F在線段上，則，使得，則，可得，又因?yàn)?，，則， 可得，解得，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知：，則，，由題意可知：，則，因?yàn)?，即，可得即，整理得，解得或，又因?yàn)?，所以，即，則，所以.【小問(wèn)3詳解】在中，由余弦定理可求得，所以，取中點(diǎn)，則，因?yàn)?，可知若最小，即最小，因?yàn)椋瑒t，由，，則為等邊三角形，可得， 根據(jù)中位線可知，∥，則，在中，根據(jù)余弦定理可得，所以，則，且，可知為銳角，又因?yàn)?，故過(guò)作的高線時(shí)，垂足點(diǎn)落在線段上，由題意可知：當(dāng)垂足點(diǎn)為F時(shí)，最小，最小值為，所以的最小值為.22.如圖1，在矩形中，已知，E為的中點(diǎn).將沿向上翻折，進(jìn)而得到多面體（如圖2）.（1）當(dāng)平面⊥平面，求直線與平面所成角的正切值；（2）在翻折過(guò)程中，求二面角的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在圖1中，可得，進(jìn)而可證面BCD，即是直線與平面所成角，運(yùn)算求解即可；（2）根據(jù)垂直關(guān)系分析可得是二面角的平面角，設(shè)，可得，結(jié)合三角恒等變換可得，進(jìn)而可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】在圖1中，連接交于點(diǎn)， 則，可知，可得，則，，因?yàn)槠矫嫫矫鍮CD，平面平面，平面，所以面BCD.則是直線與平面所成角，所以.【小問(wèn)2詳解】如圖2，過(guò)作，垂足為H，過(guò)H作，垂足為G，連接.由（1）可知：，，，平面，則平面，且平面，可得.且，，平面，所以平面.由平面，可得.且，，平面，所以平面，由平面，可得，所以是二面角的平面角，設(shè)， 由（1）可知：，在直角三角形中，，則，因?yàn)椋瑒t，可得，所以，在直角三角形中，.設(shè)，則，即，解得，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，又因，則，所以二面角的最大值為.