四川省瀘縣第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)（文） Word版含解析.docx

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瀘縣一中高2021級高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)（文史類）試卷本試卷共4頁.考試結(jié)束后，只將答題卡交回第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法運算法則求出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，從而得到，再由復(fù)數(shù)的乘法運算法則即可求出．【詳解】因為，所以，故選：B.2.設(shè)集合，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用不等式的解法化簡集合，求解函數(shù)定義域求出集合，再利用集合的補(bǔ)集和交集運算即可得出結(jié)論．【詳解】由，即，解得，所以，又，，，故選：C． 3.若x，y滿足約束條件，則的最小值為（）A.1B.7C.9D.10【答案】A【解析】分析】作出可行域，作直線，平移該直線可得最優(yōu)解．【詳解】作出可行域，如圖，作直線，直線中是直線的縱截距，代入得，即．平移直線，當(dāng)直線過點時取得最小值1．故選：A．4.已知命題，命題，則下列命題是真命題的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分別判斷命題與命題的真假，從而結(jié)合“且或非”的真假性即可得解.【詳解】對于命題，將代入，得，滿足要求，故為真命題，為假命題； 對于命題，取，則，不滿足要求，故為假命題，為真命題；所以為假命題，為假命題，為真命題，為假命題.故選：C.5.近期，我國多地紛紛進(jìn)入“甲流”高發(fā)期，某地、兩所醫(yī)院因發(fā)熱就診的患者中分別有、被確診為“甲流”感染，且到醫(yī)院就診的發(fā)熱患者人數(shù)是到醫(yī)院的四倍.現(xiàn)從到這兩所醫(yī)院就診的發(fā)熱患者中任選一人，則此人未感染“甲流”的概率是（）A.0.785B.0.666C.0.592D.0.235【答案】B【解析】【分析】設(shè)到醫(yī)院就診的發(fā)熱患者人數(shù)為人，到醫(yī)院就診的發(fā)熱患者人數(shù)為人，利用古典概型的概率公式計算可得.【詳解】設(shè)到醫(yī)院就診的發(fā)熱患者人數(shù)為人，到醫(yī)院就診的發(fā)熱患者人數(shù)為人，因為、兩所醫(yī)院因發(fā)熱就診的患者中分別有、被確診為“甲流”感染，所以從到這兩所醫(yī)院就診的發(fā)熱患者中任選一人，則此人未感染“甲流”的概率.故選：B6.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中，研究了二階等差數(shù)列．若是公差不為零的等差數(shù)列，則稱數(shù)列為二階等差數(shù)列．現(xiàn)有一個“三角垛”，共有40層，各層小球個數(shù)構(gòu)成一個二階等差數(shù)列，第一層放1個小球，第二層放3個小球，第三層放6個小球，第四層放10個小球，，則第40層放小球的個數(shù)為（）A.1640B.1560C.820D.780【答案】C【解析】【分析】首先由二階等差數(shù)列的定義，得到，再求和得到數(shù)列的通項公式，即可求.【詳解】設(shè)第層放小球的個數(shù)為，由題意，，……，數(shù)列是首項為 2，公差為1的等差數(shù)列，所以．故，故．故選：C．7.已知定義在R上的函數(shù)在上單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，則不等式的解集為（）．A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件，可得對稱軸為，且在上單調(diào)遞減.根據(jù)函數(shù)的對稱性與單調(diào)性，可得只需即可，解出不等式即可.【詳解】由題意可得，對稱軸為，且在上單調(diào)遞減.則由，可得出，即，即，解得或.所以，不等式的解集為.故選：B.8.“ChatGPT”以其極高的智能化引起世界關(guān)注.深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點的.在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時使用的學(xué)習(xí)率，表示初始學(xué)習(xí)率，表示衰減系數(shù)，表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，表示衰減速度.已知某個指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為，衰減速度為，且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為時，學(xué)習(xí)率為，則學(xué)習(xí)率衰減到以下（不含）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（參考數(shù)據(jù)：）（） A.75B.74C.73D.72【答案】C【解析】【分析】由已知可得，再由，結(jié)合指對數(shù)關(guān)系及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】由題設(shè)可得，則，所以，即，所以所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為次．故選：C．9.已知是第二象限，且，則的值為A.B.C.D.【答案】D【解析】【詳解】試題分析：考點：1．誘導(dǎo)公式；2．同角間的三角函數(shù)關(guān)系式；3．二倍角公式10.若雙曲線：的右焦點與拋物線：的焦點重合，則實數(shù)（）A.B.C.3D.-3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合知焦點在軸上，對雙曲線表達(dá)式進(jìn)行變形，求出，再令即可求解.【詳解】雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，所以雙曲線方程化為：， 再轉(zhuǎn)化：，所以，，所以，所以，所以平方得故選：D.11.已知函數(shù)的兩個極值點分別為，若過點和的直線在軸上的截距為，則實數(shù)的值為（）A.2B.C.或D.或2【答案】B【解析】【分析】由題意有兩個不同的零點，則求參數(shù)a范圍，再根據(jù)代入、確定已知點所在直線，進(jìn)而求截距并列方程求參數(shù)值.【詳解】由題意有兩個不同零點，則，所以，即或，由，即，而，同理有，所以、均上， 令，則，得，綜上，（舍）故選：B12.定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時，，設(shè)，，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先利用奇函數(shù)的性質(zhì)與得到，進(jìn)而化得，，，再由當(dāng)時，得到在上單調(diào)遞增且，故由可得，再由可得，從而得知.【詳解】因為是在上的奇函數(shù)，所以，故，所以，，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，又因為，所以，即，因為，所以，則，故，又因為，所以，故， 所以，故，綜上：，所以，即，故，因為，則，所以，即，綜上：.故選：A.【點睛】利用指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)比較實數(shù)或式子的大小，一方面要比較兩個實數(shù)或式子形式的異同，底數(shù)相同，考慮指數(shù)函數(shù)增減性，指數(shù)相同考慮冪函數(shù)的增減性，當(dāng)都不相同時，考慮分析數(shù)或式子的大致范圍，來進(jìn)行比較大小，另一方面注意特殊值的應(yīng)用，有時候要借助其“橋梁”作用，來比較大?。贗I卷非選擇題（90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，，且滿足，則_______.【答案】4【解析】【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示求解.【詳解】由已知，又，所以，．故答案為：4.14.若圓錐的軸截面是邊長為1的正三角形，則圓錐的側(cè)面積是______.（結(jié)果用含的式子表示）【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可得圓錐的底面半徑和母線長，進(jìn)而根據(jù)圓錐側(cè)面積公式求得結(jié)果．【詳解】解：圓錐的軸截面是邊長為1的正三角形，圓錐的底面半徑，母線，故圓錐的側(cè)面積． 故答案為：．15.過點且與曲線在點處的切線垂直的直線方程為__________．【答案】【解析】【詳解】，所以切線斜率，則直線斜率，所以直線方程為，即．16.在中，，D為BC邊上一點，且，則最小值為___________.【答案】【解析】【分析】將用表示，再平方可求得，再由結(jié)合二次函數(shù)得性質(zhì)即可得解.【詳解】由，得，則，所以，則，當(dāng)時，取等號，所以的最小值為. 故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：將用表示，再平方是解決本題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分.17如圖，平面四邊形中，對角線與相交于點，，，，.（1）求的面積；（2）求的值及的長度.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）根據(jù)勾股定理可得，結(jié)合再根據(jù)面積公式求解即可；（2）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得，再用同角三角函數(shù)的關(guān)系與二倍角公式可得，然后根據(jù)，利用兩角和的正弦公式求解，由正弦定理求解即可.【小問1詳解】∵，，，，;【小問2詳解】 ，，，則.，，，，又，在中，，由正弦定理可知，，.18.為慶祝神舟十四號載人飛船返回艙成功著陸，某學(xué)校開展了航天知識競賽活動，共有100人參加了這次競賽，已知所有參賽學(xué)生的成績均位于區(qū)間，將他們的成績（滿分100分）分成五組依次為，，，，，制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）試估計這100人的競賽成績的平均數(shù)；（2）采用按比例分配的分層抽樣的方法，從競賽成績在內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)抽取6人作為航天知識宣講使者，再從第四組和第五組的使者中隨機(jī)抽取2人作為組長，求這2人來自同一組的概率. 【答案】（1）73.5（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率的性質(zhì)求a，再根據(jù)平均數(shù)運算求解；（2）先根據(jù)分層抽樣求每組抽取的人數(shù)，再結(jié)合古典概型運算求解.【小問1詳解】依題意可得：，解得：，根據(jù)頻率分布直方圖知：每組的頻率依次為，則平均數(shù)的估計值為，所以這100人的競賽成績的平均數(shù)的估計值為73.5.【小問2詳解】由題意可知：競賽成績在，兩個組的人數(shù)之比為，若采用分層抽樣從中抽取6人，所以每組各抽學(xué)生人數(shù)分別為，分別記中所抽取的5人編號依次為1，2，3，4，5，中所抽取的1人編號為A，所以從6人中隨機(jī)抽取2人的情況為：，，，，，，，，，，，，，，共15種結(jié)果，其中這2人來自同一組（記為事件）的有10種，則所以這2人來自不同組的概率為.19.如圖；在直三棱柱中，，，，點D為AB的中點．（1）求證；（2）求三棱錐的體積． 【答案】（1）證明見解析（2）8【解析】【分析】（1）首先由勾股定理逆定理證得，再由平面證得，從而證得平面，即可證明；（2）過C作，F(xiàn)為垂足，首先證得平面，再由計算體積即可．【小問1詳解】在中，因為，，，所以，所以為直角三角形，即，又因為在直三棱柱中，平面，且平面，所以，又，平面，所以平面，又因為平面，所以．【小問2詳解】在中，過C作，F(xiàn)為垂足，由直三棱柱得平面平面，且平面平面，，平面， 所以平面，在中，，又因為，所以．20.已知橢圓：的離心率為，其中一個焦點在直線上.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于、兩點，線段的垂直平分線與軸交于點，求的橫坐標(biāo)取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)根據(jù)橢圓方程確定出焦點位置，再根據(jù)焦點在直線上求出的值，根據(jù)離心率即可求解出的值，從而可求解出橢圓的方程；(2)設(shè)出直線方程并聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理求解出線段的垂直平分線方程，從而求出的坐標(biāo)，即可確定出的橫坐標(biāo)的取值范圍.【詳解】(1)∵在上，∴當(dāng)時，，∴，∵，∴，∴，∴橢圓的方程為：.(2)設(shè)，，，即， ，∴.∴線段中點坐標(biāo)為，∴：，即.∴的坐標(biāo)為.∴.∴∴的橫坐標(biāo)取值范圍是.【點睛】本題考查直線與橢圓的綜合問題，著重考查了垂直平分線的應(yīng)用，難度一般.(1)橢圓的焦點與長軸的端點在同一坐標(biāo)軸上；(2)線段垂直平分線方程可通過中點坐標(biāo)(由韋達(dá)定理得到)以及斜率(與已知直線斜率之積為)得到.21.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個零點，，其中，記，證明：隨的增大而增大.【答案】（1）當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間為，，函數(shù)的減區(qū)間為 ；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）求出，記，討論的范圍，判斷的符號，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求解.（2）依題意得，，，利用指數(shù)與對數(shù)的互化可得，，兩式作差，由，求出，，求出，令，求出，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求證.【詳解】（1）顯然函數(shù)的定義域為，且，記，則，當(dāng)時，，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，有兩個大于零的根，.令，得，令，得，當(dāng)時，，有兩個小于零的根.故，單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間為，，函數(shù)的減區(qū)間為； （2）依題意得，，，所以，，故，又，，則，且，解得，，所以，令，，則.令，則，則單調(diào)遞增，故對任意的，，由此可得，故在單調(diào)遞增.因此隨著的增大而增大.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論的思想，屬于難題.（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分．（選修4-4極坐標(biāo)與參數(shù)方程）22.在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為，以極點為原點，極軸所在直線為軸，取同樣的單位長度建立平面直角坐標(biāo)系xoy，已知曲線的普通方程為.（1）寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和曲線的極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點，且曲線與曲線交于點兩點，求的值.【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化即可求解；（2）設(shè)出曲線的參數(shù)方程，與曲線的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立，利用參數(shù)的幾何意義即可求解.【小問1詳解】因為曲線的極坐標(biāo)方程為可化為，即，將代入可得，的直角坐標(biāo)方程為.又因為曲線的普通方程為可化為，將代入可得，的極坐標(biāo)方程，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程.【小問2詳解】直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將（為參數(shù)）代入得：.顯然，設(shè)點在直線上對應(yīng)的參數(shù)分別為，則，與的夾角為，.（選修4-5不等式選講） 23.已知函數(shù)（1）求不等式的解集；（2）若函數(shù)的最小值為m，且正數(shù)a，b，c滿足，求證：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）去絕對值后，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式可得答案；（2）利用絕對值三角不等式求出，再根據(jù)基本不等式可證不等式成立.【小問1詳解】由題意得：，∴，即，∴，∴不等式的解集為．【小問2詳解】∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，∴函數(shù)的最小值為1，即．∴，因為，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）.∴不等式得證．