四川省綿陽南山中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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南山中學(xué)高二（上）線上期末測試卷數(shù)學(xué)試卷考試時間：120分鐘一、單選題（共12個題，每個題5分，共60分．每個題有且只有一個選項符合題意）1.過點和的直線斜率等于1，那么的值等于（）A.1或3B.4C.1D.1或4【答案】C【解析】【分析】利用已知兩點坐標(biāo)，過兩點的直線的斜率公式建立方程，解出即可.【詳解】由題知，，解得，故選：2.已知兩條直線和，若，則實數(shù)的值為（）A.或1B.C.1D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意得，解方程得或，再檢驗即可得答案.【詳解】解：因為直線和，所以，解得或，當(dāng)時，直線和重合，不滿足；當(dāng)時，直線和，滿足平行.所以故選：B3.已知雙曲線的漸近線方程為，則（）A.5B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程的特點確定m為負(fù)，再求出雙曲線漸近線方程作答.【詳解】在雙曲線中，，其實半軸長，虛半軸長，因雙曲線的漸近線方程為，于是得，解得，所以.故選：B4.為了貫徹落實黨中央精準(zhǔn)扶貧決策，某市將其低收入家庭的基本情況經(jīng)過統(tǒng)計繪制如圖，其中各項統(tǒng)計不重復(fù)．若該市老年低收入家庭共有900戶，則下列說法錯誤的是（　　）A.該市總有15000戶低收入家庭B.在該市從業(yè)人員中，低收入家庭共有1800戶C.在該市無業(yè)人員中，低收入家庭有4350戶D.在該市大于18歲在讀學(xué)生中，低收入家庭有800戶【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給出的統(tǒng)計圖表，對選項進行逐一判斷，即可得到正確答案.【詳解】解：由題意知，該市老年低收入家庭共有900戶，所占比例為6%，則該市總有低收入家庭900÷6%＝15000（戶），A正確，該市從業(yè)人員中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（戶），B正確，該市無業(yè)人員中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（戶），C正確，該市大于18歲在讀學(xué)生中，低收入家庭有15000×4%＝600（戶），D錯誤．故選：D.【點睛】 本題主要考查對統(tǒng)計圖表的認(rèn)識和分析，這類題要認(rèn)真分析圖表的內(nèi)容，讀懂圖表反映出的信息是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.5.拋物線的焦點坐標(biāo)為（）．A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】將已知拋物線方程整理成標(biāo)準(zhǔn)形式，從而可求出焦點坐標(biāo).【詳解】由可得，焦點在軸的正半軸上，設(shè)坐標(biāo)為，則，解得，所以焦點坐標(biāo)為.故選：C.6.圓與圓的位置關(guān)系為（）A.相交B.內(nèi)切C.外切D.相離【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩圓的位置關(guān)系的判定方法，即可求解.【詳解】由與圓，可得圓心，半徑，則，且，所以，所以兩圓相交.故選：A.7.如圖，已知拋物線，圓，過圓心的直線與拋物線和圓依次交于點，，，，則（） A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)題意得到直線過拋物線的焦點，設(shè)直線：，，，與拋物線聯(lián)立得到，再利用拋物線的焦半徑公式求解即可.【詳解】由拋物線：，得焦點為.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心為，半徑.設(shè)，，設(shè)直線：，將直線代入拋物線方程可得，即，，故.故選：B8.已知直線過點且斜率為1，若圓上恰有3個點到的距離為1，則的值為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線過點且斜率為1，寫出直線方程，再根據(jù)圓上恰有3個點到的距離為1，結(jié)合半徑，則由圓心到直線的距離為1求解.【詳解】因為直線過點且斜率為1，所以直線方程為， 即，因為圓上恰有3個點到的距離為1，所以圓心到直線的距離為1，即，解得.故選：D9.在區(qū)間內(nèi)隨機地各取一個數(shù)，則兩數(shù)差的絕對值不小于1的概率為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)所取兩數(shù)分別為，由題意知，在平面直角坐標(biāo)系中作出對應(yīng)平面區(qū)域，將概率轉(zhuǎn)化為面積比，即得解【詳解】設(shè)所取兩數(shù)分別為，由題意知，記四邊形面積為，陰影部分面積為如圖所示，所求概率.故選:A.10.某學(xué)校有男生400人，女生600 人．為調(diào)查該校全體學(xué)生每天睡眠時間，采用分層抽樣的方法抽取樣本，計算得男生每天睡眠時間均值為小時，方差為1，女生每天睡眠時間為7小時，方差為．若男、女樣本量按比例分配，則可估計總體方差為（）．A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用均值的計算公式以及方差的計算公式，準(zhǔn)確運算，即可求解.【詳解】由題意，總體的均值為，根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)，可得總體的方差為：.故選：D.11.已知拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點，為的焦點，是上第一象限內(nèi)的點，則取得最大值時，的面積為（）A.2B.3C.4D.6【答案】A【解析】【分析】由題意可確定拋物線方程，利用拋物線幾何性質(zhì)確定直線與相切時，取得最大值，然后，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立拋物線方程，令判別式等于零，求出點坐標(biāo)，即可求得答案.【詳解】由題意可知，，所以，則，，．過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為， 由拋物線的定義可知，，要使取得最大值，則取得最小值，需直線與相切．由題意知直線的斜率一定存在，故設(shè)直線的方程為，由消去可得，，所以，解得，因為是上第一象限內(nèi)的點，所以，此時為，則，故，所以,故選：A.12.已知圓，，動圓滿足與外切且與內(nèi)切，若為上的動點，且，則的最小值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出點的軌跡為橢圓，可知為該橢圓的左焦點，利用橢圓的幾何性質(zhì)求出，再利用勾股定理可求得的最小值.【詳解】易知圓的圓心，圓的半徑為，圓的圓心，半徑為，，所以，圓內(nèi)含于圓，設(shè)圓的半徑為，則，故，故圓心的軌跡為橢圓，且該橢圓的焦點為、，設(shè)該橢圓的方程為，焦距為， 則，可得，，可得，，所以，點的軌跡方程為.，則且，由橢圓的幾何性質(zhì)可得，故.故選：B.【點睛】方法點睛：求動點的軌跡方程有如下幾種方法：（1）直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動點的軌跡方程；（2）定義法：如果能確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程；（3）相關(guān)點法：用動點的坐標(biāo)、表示相關(guān)點的坐標(biāo)、，然后代入點的坐標(biāo)所滿足的曲線方程，整理化簡可得出動點的軌跡方程；（4）參數(shù)法：當(dāng)動點坐標(biāo)、之間的直接關(guān)系難以找到時，往往先尋找、與某一參數(shù)得到方程，即為動點的軌跡方程；（5）交軌法：將兩動曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動曲線交點的軌跡方程.第II卷（非選擇題）二、填空題（共4個題，每個題5分，共20分）13.袋內(nèi)裝有質(zhì)地、大小完全相同的6個球，其中紅球3個、白球2個、黑球1個，現(xiàn)從中任取兩個球.對于下列各組中的事件A和事件B：①事件A：至少一個白球，事件B：都是紅球；②事件A：至少一個白球，事件B：至少一個黑球；③事件A：至少一個白球，事件B：紅球、黑球各一個；④事件A：至少一個白球，事件B：一個白球一個黑球.是互斥事件的是___________.（將正確答案的序號都填上）【答案】①③【解析】【分析】根據(jù)互斥事件的定義逐個辨析即可.【詳解】①“至少一個白球”與“都是紅球”不能同時發(fā)生，且不為對立事件，故為互斥事件；②“至少一個白球”與“至少一個黑球”均包含“一黑一白”的情況，故不為互斥事件；③“至少一個白球”與“紅球、黑球各一個”不能同時發(fā)生，且不為對立事件，故為互斥事件；④“至少一個白球”與“一個白球一個黑球”均包含“一黑一白”的情況，故不為互斥事件. 綜上，①③為互斥事件.故答案為：①③14.過點作圓圓的切線，則的方程是___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑即可列方程求解.【詳解】當(dāng)直線無斜率時，方程為：，顯然與圓不相切，故直線有斜率，設(shè)斜率為，則直線方程為：，由是圓的切線，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，解得，故直線方程為：故答案為：15.若坐標(biāo)原點和點分別為雙曲線的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則的最小值為________.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)雙曲線的焦點和雙曲線方程解得，設(shè)出點，代入曲線方程，求得橫縱坐標(biāo)關(guān)系，再根據(jù)題意坐標(biāo)表示，，代入后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求其最小值，則可求得的取值范圍.【詳解】解：由題意得：是已知雙曲線左焦點，即雙曲線方程為設(shè)點，則有，解得 ，，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性分析可知函數(shù)在上單調(diào)遞增當(dāng)時，取得最小值，故答案為：16.橢圓規(guī)是畫橢圓的一種工具，如圖1所示，在十字形滑槽上各有一個活動滑標(biāo)，，有一根旋桿將兩個滑標(biāo)成一體，，為旋桿上的一點且在，兩點之間，且，當(dāng)滑標(biāo)在滑槽內(nèi)做往復(fù)運動，滑標(biāo)在滑槽內(nèi)隨之運動時，將筆尖放置于處可畫出橢圓，記該橢圓為.如圖2所示，設(shè)與交于點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系.則橢圓的普通方程為______.【答案】【解析】【分析】由已知得出橢圓的長半軸長為3，短半軸長為1，可得出橢圓的方程.【詳解】由題意得：，，所以橢圓的長半軸長為3，短半軸長為1，所以橢圓的普通方程為，故答案為：.【點睛】本題考查求橢圓的方程，關(guān)鍵在于將生活中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為橢圓的長半軸長和短半軸長，屬于基礎(chǔ)題. 三、解答題（17題10分，其余每個題12分．共70分）17.從1、2、3、4、5這5個數(shù)字中任取三個不同的數(shù)字，求下列事件的概率：（1）事件“三個數(shù)字中不含1和5”；（2）事件“三個數(shù)字中含1或5”．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）列舉出所有的基本事件以及事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求出事件的概率；（2）列舉出事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求出事件的概率．【小問1詳解】所有的基本事件有：，共10個基本事件，事件所包含的基本事件為，因此，；【小問2詳解】事件所包含的基本事件有：，共9個基本事件，因此，．18.已知拋物線：的焦點到頂點的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）已知過點的直線交拋物線于不同的兩點，，為坐標(biāo)原點，設(shè)直線，的斜率分別為，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）由拋物線的幾何性質(zhì)有焦點到頂點的距離為，從而即可求解；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)的方程為，，，聯(lián)立拋物線的方程，由韋達(dá)定理及兩點間的斜率公式即可求解.【小問1詳解】解：依題意，，解得，∴拋物線的方程為；【小問2詳解】解：當(dāng)直線的斜率不存在時，直線與拋物線僅有一個交點，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)的方程為，，，由消去可得，∵直線交拋物線于不同的兩點，∴，由韋達(dá)定理得，∴19.已知的頂點坐標(biāo)分別為，，．圓為的外接圓．（1）求圓的方程；（2）直線與圓相切，求直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積最小時的方程．【答案】（1）；（2）或或或.【解析】【分析】（1）假設(shè)圓的一般方程，代入可構(gòu)造方程組求得結(jié)果；（2）設(shè)，利用直線與圓相切和基本不等式可知當(dāng)直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積最小，由此得到，進而整理得到直線方程.【小問1詳解】 設(shè)圓方程為：，則，解得：，圓方程為：，即；【小問2詳解】由題意知：直線在軸的截距不為零，可設(shè)，即，與相切，，即（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），，即當(dāng)時，直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積最小，此時所有可能的結(jié)果為：或或或，方程為：或或或.20.某地市響應(yīng)中央“節(jié)能減排，低碳生活”的號召，近5年來開展系列的措施控制碳排放.環(huán)保部門收集到這5年內(nèi)新增碳排放數(shù)量，表中x代表年份，y代表新增碳排放量.x12345y6.15.24.943.8（1）根據(jù)線性相關(guān)系數(shù)，分析x與y之間是否具有較強的線性相關(guān)性；（2）求y關(guān)于x的回歸方程.參考數(shù)據(jù)：，，，參考公式：【答案】（1）與之間具有較強的線性相關(guān)性；（2）．【解析】【分析】（1）由表中數(shù)據(jù)求得，和，再由線性相關(guān)系數(shù)的計算公式求得的值，即可得解； （2）根據(jù)和的參考公式求得回歸系數(shù)，得解．【詳解】解：（1）由表中數(shù)據(jù)知，，，，所以線性相關(guān)系數(shù)，因為，所以與之間具有較強的線性相關(guān)性；（2），所以，所以關(guān)于的回歸方程為．21.有甲、乙兩個班級進行數(shù)學(xué)考試，若規(guī)定成績在85分及以上為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀，統(tǒng)計成績后，得到如下的列聯(lián)表.優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班10乙班30總計105已知從105個學(xué)生中隨機抽取1人，其數(shù)學(xué)成績?yōu)閮?yōu)秀的概率為.（1）請根據(jù)已知條件補全上面的列聯(lián)表；（2）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，判斷是否有95%的把握認(rèn)為“學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與班級有關(guān)”；（3）若按下面的方法從甲班數(shù)學(xué)成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生中抽取1人：把甲班數(shù)學(xué)成績?yōu)閮?yōu)秀的10名學(xué)生按2到11進行編號，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點數(shù)之和為被抽取人的編號（注：出現(xiàn)的點數(shù)之和為12時，被抽取人的編號為2）.試求抽到4號或9號的概率.附： 0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828參考公式：，.【答案】（1）表見解析；（2）有95%的把握；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)條件可得甲、乙兩班數(shù)學(xué)成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)為，然后可完善表格；（2）根據(jù)公式算出的值，然后可得答案；（3）利用列舉法求解即可.【詳解】（1）由題意知，甲、乙兩班數(shù)學(xué)成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)為，所以乙班數(shù)學(xué)成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)為30－10＝20，甲、乙兩班數(shù)學(xué)成績?yōu)榉莾?yōu)秀的人數(shù)為105－30＝75，甲班數(shù)學(xué)成績?yōu)榉莾?yōu)秀的人數(shù)為75－30＝45，所以甲班總?cè)藬?shù)10＋45＝55，乙班總?cè)藬?shù)為20＋30＝50.補全列聯(lián)表如下：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班104555乙班203050總計3075105（2）根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，得到，因此有95%的把握認(rèn)為“學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與班級有關(guān)”.（3）先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點數(shù)記為，則樣本空間，共包含36個樣本點，設(shè)“抽到4號或9號”為事件A，則A＝{（1，3），（2，2），（3，1），（3，6），（4，5），（5，4），（6，3）}，共包含7個樣本點，所以. 22.已知橢圓：的左右焦點分別為，，過且與軸垂直的直線與橢圓交于，兩點，的面積為﹐點為橢圓的下頂點，．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）橢圓上有兩點，(異于橢圓頂點且與軸不垂直)．當(dāng)面積最大時，直線與的斜率之積是否為定值，若是，求出該定值，若不是，請說明理由．【答案】（1）；（2），理由見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件可得，，，解方程求出的值即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，，直線的方程為：與橢圓方程聯(lián)立，可得、、，由弦長公式計算，點到直線的距離，由基本不等式可得的面積最大時與滿足的關(guān)系，代入中計算即可求解.【小問1詳解】由題意可得：在中，，即，所以，橢圓：中，令可得，所以，可得，所以，所以，因為，，所以，可得，所以，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：. 【小問2詳解】設(shè)直線的方程為：，，，由可得：，，即，，，所以，點到直線的距離，所以的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，，所以當(dāng)?shù)拿娣e最大時，直線與的斜率之積是.