江西省鷹潭市2023屆高三一模數(shù)學(xué)（文） Word版含解析.docx

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鷹潭市2023屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（文科）第Ⅰ卷一、單選題：本大題12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】首先求集合，再求.【詳解】由題意可知，，且，所以.故選：D2.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足：，則虛部等于（）A.1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先由已知得，計(jì)算求出復(fù)數(shù)，再求出其共軛復(fù)數(shù)，從而可求得其虛部.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以的虛部等于，故選：C3.在中，D為線(xiàn)段上一點(diǎn)，且，則（）A.2B.0.5C.D.【答案】C【解析】 【分析】根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算，用表示，求得，即得答案.【詳解】由題意得，故,結(jié)合可得，故，故選：C4.如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員5場(chǎng)比賽得分的莖葉圖，已知甲的成績(jī)的極差為31，乙的成績(jī)的平均值為24，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.B.C.乙的成績(jī)的中位數(shù)為D.乙的成績(jī)的方差小于甲的成績(jī)的方差【答案】C【解析】【分析】結(jié)合莖葉圖的數(shù)據(jù)分布特點(diǎn)，以及統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的極差、平均數(shù)、中位數(shù)、方差，依次分析選項(xiàng)，即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A(yíng)，甲得分的極差為31，，解得：，A正確；對(duì)于B，乙的平均數(shù)為，解得，B正確；對(duì)于C，乙的數(shù)據(jù)為：12、25、26、26、31，其中位數(shù)是26，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，甲的平均數(shù)，與乙的平均數(shù)相同，但根據(jù)莖葉圖可得乙得分比較集中，則乙得分的方差小于甲得分的方差，D正確；故選：C．5.已知的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖象，且的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則的最小值為（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】化簡(jiǎn)，根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換可得的表達(dá)式，結(jié)合其性質(zhì)，求得的表達(dá)式，即可求得答案.【詳解】由題意可得，故，由于的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則為偶函數(shù)，故,即，故的最小值為，故選：B6.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為，點(diǎn)P為C上一點(diǎn)，過(guò)P作的垂線(xiàn)，垂足為A，若AF的傾斜角為，則（）A.6B.5C.4D.3【答案】A【解析】【分析】畫(huà)出圖形，得到，求出，再利用焦半徑公式求出.【詳解】由題意，得，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，設(shè)準(zhǔn)線(xiàn)與軸交于點(diǎn)K，，則，如圖，因?yàn)锳F的傾斜角為150°，所以，故，所以， 故，解得，所以.故選：A.7.已知，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用輔助角公式求得，然后利用二倍角公式計(jì)算即可.【詳解】，則，則，故選：D.8.使，的否定為假命題的一個(gè)充分不必要條件是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由題意知命題的否定為假命題，則命題為真命題，求出真命題成立的情況下的取值范圍，再由選項(xiàng)即可判斷出充分不必要條件.【詳解】由題使，的否定為假命題，知，為真命題，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以是為真命題的充要條件，是為真命題的既不充分也不必要條件，是為真命題的既不充分也不必要條件，是為真命題的充分不必要條件.故選：D.9.函數(shù)部分圖象如圖所示，則的解析式可能為（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】通過(guò)函數(shù)奇偶性的定義對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)進(jìn)行判斷，再取圖象上的特殊點(diǎn)進(jìn)行排除即可.【詳解】由圖可知，在上的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以在上為偶函數(shù)，故應(yīng)先判斷各選項(xiàng)中函數(shù)的奇偶性.對(duì)A，，為偶函數(shù)，故A選項(xiàng)的函數(shù)為其定義域內(nèi)的偶函數(shù).同理：對(duì)C、D選項(xiàng)的均為其定義域內(nèi)的偶函數(shù)，只有選項(xiàng)的為其定義域內(nèi)的奇函數(shù)，從而排除選項(xiàng)B.又，對(duì)A選項(xiàng)：，所以排除A.而由圖可知，對(duì)C選項(xiàng)：，，故排除C.故選：D.10.如圖，為正方體，下列錯(cuò)誤的是（） A.平面B.平面平面．C.與共面D.異面直線(xiàn)與所成的角為90度【答案】C【解析】【分析】由線(xiàn)面平行的判定定理可判斷A；由面面垂直的判定定理可判斷B，由異面直線(xiàn)的定義可判斷C；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得，可判斷D.【詳解】對(duì)于A(yíng)，由正方體的性質(zhì)知：，平面，平面，所以平面，故A正確；對(duì)于B，由正方體的性質(zhì)知：平面，平面，平面，所以，又因?yàn)椋矫?，所以平面，平面，則平面平面，故B正確；對(duì)于C，平面，因?yàn)槠矫?，平面，平面，由異面直線(xiàn)的判定定理知與是異面直線(xiàn)，故C不正確；對(duì)于D，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，，，，，，，所以異面直線(xiàn)與所成的角為90度，故D正確.故選：C. 11.打印是快速成型技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運(yùn)用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過(guò)逐層打印的方式來(lái)構(gòu)造物體的技術(shù)，如圖所示的塔筒為打印的雙曲線(xiàn)型塔筒，該塔筒是由離心率為的雙曲線(xiàn)的一部分圍繞其旋轉(zhuǎn)軸逐層旋轉(zhuǎn)打印得到的，已知該塔筒（數(shù)據(jù)均以外壁即塔筒外側(cè)表面計(jì)算）的上底直徑為，下底直徑為，高為，則喉部（最細(xì)處）的直徑為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】畫(huà)出塔筒的軸截面；以為喉部對(duì)應(yīng)點(diǎn)，以所在直線(xiàn)為軸，過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線(xiàn)為軸，建立平面直角坐標(biāo)系；設(shè)出雙曲線(xiàn)的方程，根據(jù)題意寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；把點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線(xiàn)方程即可求出答案.【詳解】該塔筒的軸截面如圖所示，以為喉部對(duì)應(yīng)點(diǎn)，以所在直線(xiàn)為軸，過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線(xiàn)為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)與分別為上，下底面對(duì)應(yīng)點(diǎn).由題意可知，設(shè)，則， 設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為，因?yàn)殡p曲線(xiàn)的離心率為，所以.所以方程可化簡(jiǎn)為，將和的坐標(biāo)代入式可得，解得，則喉部的直徑為.故選：D.12.若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且存在唯一的整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由題意可知有兩個(gè)實(shí)根，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值，作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想即可求解.【詳解】由題意，得有兩個(gè)實(shí)根，設(shè)，則，令，解得， 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，且，又時(shí)，；時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示：直線(xiàn)與的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即分別為，由題意知，又，，因?yàn)榇嬖谖ㄒ坏恼麛?shù)，所以，又直線(xiàn)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖可知：，即.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)的取值范圍，常用的方法有：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13.觀(guān)察下列等式：，根據(jù)上述規(guī)律寫(xiě)出第九個(gè)等式為_(kāi)____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，分析題干所給的等式可得： ，進(jìn)而可得答案．【詳解】根據(jù)題意，分析題干所給的等式可得：則,故第九個(gè)等式為:.故答案為:.14.已知函數(shù)，若是從，，三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，是以，兩個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的概率為_(kāi)___________.【答案】##0.5【解析】【分析】這是古典概型的題目，，的取法共有種.再根據(jù)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，即導(dǎo)數(shù)有兩個(gè)不同的根，求出的所有情況，根據(jù)古典概型的概率公式解出結(jié)果.【詳解】解：，的取法共有種，又，由題意有個(gè)不等實(shí)根，則，因?yàn)椤⒕笥诹?，所以，而滿(mǎn)足的有，，共種，故所求的概率為.故答案為：.15.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，且A為銳角，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為_(kāi)__________． 【答案】【解析】【分析】根據(jù)正弦定理將表達(dá)式邊化角變形，結(jié)合正弦和角公式即可求得，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式求得，代入余弦定理表示出，代入中由基本不等式即可求得最小值，并求得取最小值時(shí)關(guān)系，進(jìn)而求得的值.【詳解】由正弦定理將變形可得，即，由可得，而是銳角，所以，則由余弦定理可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，故，故，所以.故答案為:16.直四棱柱的底面是菱形，其側(cè)面積是，若該直四棱柱有外接球，則該外接球的表面積的最小值為_(kāi)__________．【答案】【解析】【分析】由題意可確定直四棱柱的底面是正方形，設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為h，可推出，得出其外接球的表面積的表達(dá)式，利用基本不等式即可求得答案. 【詳解】因?yàn)橹彼睦庵牡酌媸橇庑危宜型饨忧?，所以其底面是正方形，設(shè)直四棱柱底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為h，則其側(cè)面積為，故，又該直四棱柱的外接球的半徑，所以其外接球的表面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故其外接球的表面積的最小值為，故答案為：三、解答題（共80分）17.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）對(duì)于任意的正整數(shù)，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，由可得，兩式作差變形可得，利用累乘法可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用奇偶分組求和法、裂項(xiàng)相消法、等比數(shù)列的求和公式可求得.【小問(wèn)1詳解】解：當(dāng)時(shí)，由可得，上述兩個(gè)等式作差可得，所以，，則， 所以，，也滿(mǎn)足，故對(duì)任意的，.【小問(wèn)2詳解】解：對(duì)于任意正整數(shù)，，所以，.18.數(shù)據(jù)顯示中國(guó)車(chē)載音樂(lè)已步入快速發(fā)展期，隨著車(chē)載音樂(lè)的商業(yè)化模式進(jìn)一步完善，市場(chǎng)將持續(xù)擴(kuò)大，下表為2018—2022年中國(guó)車(chē)載音樂(lè)市場(chǎng)規(guī)模（單位：十億元），其中年份2018—2022對(duì)應(yīng)的代碼分別為1—5．年份代碼x12345車(chē)載音樂(lè)市場(chǎng)規(guī)模y2.83.97.312.017.0（1）由上表數(shù)據(jù)知，可用指數(shù)函數(shù)模型擬合y與x的關(guān)系，請(qǐng)建立y關(guān)于x的回歸方程（a，b的值精確到0.1）；（2）綜合考慮2023年及2024年的經(jīng)濟(jì)環(huán)境及疫情等因素，某預(yù)測(cè)公司根據(jù)上述數(shù)據(jù)求得y關(guān)于x的回歸方程后，通過(guò)修正，把b-1.3作為2023年與2024年這兩年的年平均增長(zhǎng)率，請(qǐng)根據(jù)2022年中國(guó)車(chē)載音樂(lè)市場(chǎng)規(guī)模及修正后的年平均增長(zhǎng)率預(yù)測(cè)2024年的中國(guó)車(chē)載音樂(lè)市場(chǎng)規(guī)模．參考數(shù)據(jù)： 1.9433.821.71.6其中，．參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線(xiàn)的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為．【答案】（1）（2）十億元【解析】【分析】（1）由，兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)得到，設(shè)，，利用最小二乘法求解；（2）由（1）得到2023年與2024年這兩年的年平均增長(zhǎng)率和2022年中國(guó)車(chē)載音樂(lè)市場(chǎng)規(guī)模為17求解.【小問(wèn)1詳解】解：因，所以?xún)蛇呁瑫r(shí)取常用對(duì)數(shù)，得，設(shè)，所以，設(shè)，因?yàn)椋?，所以所?所以【小問(wèn)2詳解】由（1）知2023年與2024年這兩年的年平均增長(zhǎng)率，2022年中國(guó)車(chē)載音樂(lè)市場(chǎng)規(guī)模為17，故預(yù)測(cè)2024年的中國(guó)車(chē)載音樂(lè)市場(chǎng)規(guī)模（十億元）.19.如圖，三棱柱的所有棱長(zhǎng)都是2，平面，是的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）通過(guò)，得到證明.（2）是中點(diǎn)，連接，確定異面直線(xiàn)與所成角為，計(jì)算線(xiàn)段長(zhǎng)度，根據(jù)余弦定理計(jì)算得到答案.（3）過(guò)點(diǎn)作于，確定平面，再利用等體積法計(jì)算得到距離.【小問(wèn)1詳解】平面，平面，故，是等邊三角形，是中點(diǎn)，故，，面，故平面. 【小問(wèn)2詳解】如圖所示：是中點(diǎn)，連接，，則，，故.異面直線(xiàn)與所成角為，在中，，，，根據(jù)余弦定理：，故異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為.【小問(wèn)3詳解】過(guò)點(diǎn)作于，平面，平面，故，，面，故平面，.，，故，解得.20.已知函數(shù)，(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，.（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)m的值.【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）.【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)，令，得，分別討論和時(shí)，的正負(fù)，即可得的單調(diào)區(qū)間；（2）恒成立等價(jià)于恒成立，設(shè)，當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn) 是上的增函數(shù)，且，不符合題意，當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性和極小值，只需求即可，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，求得極值，綜合分析，即可得答案.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，則.令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）恒成立恒成立恒成立，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以是上的增函數(shù)，注意到，所以時(shí)，，不合題意；當(dāng)時(shí)，令，解得，若，則，若，則，所以是上的減函數(shù)，是上的增函數(shù)，故只需即可，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以是上的減函數(shù)，是上的增函數(shù)，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以，即恒成立，所以恒成立，所以時(shí)，滿(mǎn)足題意 【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，極（最）值的方法，并靈活應(yīng)用，難點(diǎn)在于，需合理構(gòu)造新函數(shù)，并根據(jù)新函數(shù)的極值，進(jìn)行推理和求解，屬中檔題.21.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸且焦點(diǎn)在軸上，拋物線(xiàn)：，若拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在橢圓上，且橢圓的離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）已知斜率存在且不為零的直線(xiàn)滿(mǎn)足：與橢圓相交于不同兩點(diǎn)?，與直線(xiàn)相交于點(diǎn).若橢圓上一動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足：，，且存在點(diǎn)，使得恒為定值，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求得橢圓的，代入公式即可求得橢圓的方程；（2）以設(shè)而不求的方法得到兩根和，再由條件，得到四邊形為平行四邊形，并以向量方式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，再與恒為定值進(jìn)行聯(lián)系，即可求得的值.【小問(wèn)1詳解】由條件可設(shè)橢圓：，因?yàn)閽佄锞€(xiàn)：的焦點(diǎn)為，所以，解得因?yàn)闄E圓離心率為，所以，則，故橢圓的方程為【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線(xiàn)：，，，把直線(xiàn)的方程代入橢圓的方程，可得，所以， 因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，得，即，得由在橢圓上可得，，即因?yàn)?，又所以，所以將代入得，所以，?【點(diǎn)睛】數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀(guān)化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問(wèn)題便迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷。請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．（選修44：極坐標(biāo)與參數(shù)方程）22.在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線(xiàn)，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為：（t為參數(shù)），直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C分別交于兩點(diǎn).（1）寫(xiě)出曲線(xiàn)C和直線(xiàn)l的普通方程；（2）若點(diǎn)，求的值.【答案】（1）;（2）【解析】【分析】（1）利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)方程得轉(zhuǎn)化公式即可得出曲線(xiàn)C的普通方程，消去直線(xiàn)l參數(shù)方程中的t即可得直線(xiàn)l的普通方程；（2）聯(lián)立直線(xiàn)l的參數(shù)方程和曲線(xiàn)C 的普通方程得出關(guān)于參數(shù)的一元二次方程，利用參數(shù)的幾何意義和韋達(dá)定理即可求得的值.【小問(wèn)1詳解】將等號(hào)兩邊同時(shí)乘以可得，所以；即；所以曲線(xiàn)C的普通方程為；將消去參數(shù)t可得，，整理得；即直線(xiàn)l的普通方程為【小問(wèn)2詳解】注意到在直線(xiàn)l上，直線(xiàn)傾斜角為，，，解得所以直線(xiàn)參數(shù)方程為為參數(shù)），聯(lián)立C的直角坐標(biāo)方程與l的參數(shù)方程得整理得，設(shè)方程的解為，則，，異號(hào).不妨設(shè)，，有.（選修4-5：不等式選講）23.已知關(guān)于的不等式有解． （1）求實(shí)數(shù)的最大值；（2）在（1）的條件下，已知為正數(shù)，且，求的最小值．【答案】（1）（2）36【解析】【分析】（1）利用絕對(duì)值不等式得，所以有解只需即可；（2）利用均值不等式求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立所以的最大值為3．因?yàn)椴坏仁接薪?，所以，解得，所以?shí)數(shù)的最大值．【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為36．