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《備戰(zhàn)2024年高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)真題分類匯編新教材通用07 立體幾何初步（解析版）.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
專題07立體幾何初步考點(diǎn)一：簡單幾何體的表面積和體積1．（2023·北京）已知三棱柱的體積為12，則三棱錐的體積為（????）A．3B．4C．6D．8【答案】B【詳解】三棱錐與三棱柱等底等高，則三棱錐的體積是三棱柱體積的，即三棱錐的體積為4.故選：B2．（2023·河北）將一塊棱長為60cm的正方體石塊，磨制成一個(gè)球形石塊，則最大球形石塊的體積是（?。????）A．B．C．D．【答案】B【詳解】由題意可得，該問題相當(dāng)于求正方體內(nèi)切球體積，易知當(dāng)石塊直徑等于正方體棱長時(shí)其體積最大，即最大球形石塊的半徑為30cm，根據(jù)球的體積公式可得.故選：B3．（2023春·福建）已知球體O的半徑為2，則球體O的表面積為（????）A．B．C．D．【答案】C【詳解】設(shè)球體O的半徑為，所以由球體O的表面積公式可得.故選：C.4．（2022·北京）如圖，在直三棱柱中，是等腰直角三角形．若，則該直三棱柱的體積為（????）A．6B．12C．18D．24【答案】D【詳解】因?yàn)樵谥比庵?，是等腰直角三角形，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
，則為直角，故可得：,故選：D5．（2022春·天津）已知圓錐的底面半徑是1，高是2，則這個(gè)圓錐的體積為（????）A．B．C．D．【答案】A【詳解】由題意知，圓錐底面積為，圓錐的高，則圓錐的體積為.故選：A6．（2021·北京）如圖，在三棱錐中，，則三棱錐的體積為（????）A．1B．2C．6D．12【答案】B【詳解】解：因?yàn)?，所以即為三棱錐高，所以.故選：B.7．（2021春·天津）如圖，圓柱的底面半徑是2，高是3，則這個(gè)圓柱的體積是（????）??A．B．C．D．【答案】D【詳解】由圓柱的體積公式可得，該圓柱的體積為：.故選：D8．（2023·山西）在三棱錐中，平面BCD，，則三棱錐的外接球的表面積的最小值為（????）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
A．B．C．D．【答案】B【詳解】設(shè)底面的外接圓的半徑為r，，則在中，，可得，所以，設(shè)底面三角形的外心為，過作底面的垂線，由于平面BCD，故所作垂線與的中垂線的交點(diǎn)即為三棱錐外接球的球心，設(shè)外接球的半徑為R，而，則外接球的半徑為，即當(dāng)即時(shí)，三棱錐的外接球的半徑取得最小值，此時(shí)三棱錐的外接球表面積取得最小值：,故選：B9．（2022春·浙江）某廣場(chǎng)設(shè)置了一些石凳供大家休息，每個(gè)石凳都是由正方體截去八個(gè)一樣的四面體得到的（如圖，從棱的中點(diǎn)截）.如果被截正方體的棱長是4（單位：），那么一個(gè)石凳的體積是（單位：）.【答案】【詳解】正方體的體積為，正方體截去的八個(gè)四面體是全等的正三棱錐，截去的一個(gè)正三棱錐的體積為，則石凳的體積為.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
故答案為：.10．（2022春·貴州）已知長方體的三條棱長分別為1，，，則該長方體外接球的表面積為．（結(jié)果用含的式子表示）【答案】【詳解】由題意得，長方體的體對(duì)角線即為外接球直徑，設(shè)外接球半徑為，則，則外接球的表面積為.故答案為：.11．（2021春·福建）半徑為的球的體積為．【答案】【詳解】根據(jù)球的體積公式．【點(diǎn)睛】球的體積公式12．（2021秋·青海）如圖，在圓柱內(nèi)有一個(gè)球，該球與圓柱的上下底面及母線均相切，已知圓柱的底面半徑為3，則圓柱的體積為．【答案】【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，球的半徑為．由條件有：，圓柱的高為，所以圓柱的體積為．故答案為：考點(diǎn)二：空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系1．（2023·北京）四棱錐如圖所示，則直線PC（????）A．與直線AD平行B．與直線AD相交學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
C．與直線BD平行D．與直線BD是異面直線【答案】D【詳解】根據(jù)異面直線的定義，不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線，可以判斷直線PC與直線AD、直線BD是異面直線.故選：D.2．（2023·河北）已知m，n是兩條不同的直線，是平面，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（????）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若m，n與所成的角相等，則【答案】A【詳解】由線面垂直的性質(zhì)定理可得垂直于同一平面的兩直線平行，即A正確；若，，可知m，n的位置關(guān)系可以是平行、相交或異面，即B錯(cuò)誤；若，，則直線可以在平面內(nèi)，所以C錯(cuò)誤；由線面角的定義可知，若m，n與所成的角相等，則m，n的位置關(guān)系可以是平行、相交或異面，即D錯(cuò)誤.故選：A3．（2023·山西）已知三條不重合的直線，，，三個(gè)不重合的平面，，，則（????）A．若，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，，則【答案】C【詳解】對(duì)于A中，若，，則或，所以A項(xiàng)不正確；對(duì)于B中，若，，，則或與相交，所以B項(xiàng)不正確；對(duì)于C中，設(shè)，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作，垂足分別為，由面面垂直的性質(zhì)定理，可得，又因?yàn)椋傻茫訡項(xiàng)正確；對(duì)于D中，若，，，，只有相交時(shí)，才有，所以D項(xiàng)不正確.故選：C.4．（2023·江蘇）已知直線平面，直線平面，則與不可能（????）A．平行B．相交C．異面D．垂直【答案】B【詳解】直線平面，直線平面，則與可能平行，異面和垂直，若與相交，，則，，直線平面，故，即與有交點(diǎn)，這與題設(shè)矛盾.故選：B學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
5．（2023春·浙江）下列說法正確的是（????）A．一個(gè)平面里有三個(gè)不同的點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等，則這兩個(gè)面平行B．和同一條直線都相交的兩條直線一定相交C．經(jīng)過空間中三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面D．經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面【答案】D【詳解】對(duì)于A,一個(gè)平面里有三個(gè)不同的點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等，則這兩個(gè)面可能相交也可能平行，例如在正方體中,平面中的點(diǎn)到平面的距離均相等，但是平面與平面相交，不平行，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B,和同一條直線都相交的兩條直線不一定相交，例如正方體中均與相交，但是不相交，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，經(jīng)過空間中三個(gè)不共線的點(diǎn)有且只有一個(gè)平面，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D,兩條相交直線可以確定一個(gè)平面,因此經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面，故D正確，故選：D??6．（2023春·福建）已知四棱錐底面為正方形，平面，則（????）??A．B．C．平面D．平面【答案】B【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)槠矫妫矫?，則，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，因?yàn)?，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，則，故為銳角，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)槠矫?，平面，則，B對(duì)；學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
對(duì)于C選項(xiàng)，若平面，且平面，則、平行或重合，矛盾，假設(shè)不成立，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，若平面，則與平面無公共點(diǎn)，這與平面矛盾，假設(shè)不成立，D錯(cuò).故選：B.7．（2023·廣東）已知α和β是兩個(gè)不同平面，A:，B:α和β沒有公共點(diǎn)，則A是B的（????）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】兩個(gè)平面平行的定義是：兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面平行，因此是的充要條件．故選：C．8．（2023春·新疆）已知直線和兩個(gè)不重合的平面，則下列命題正確的是（????）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】D【詳解】若，則不一定平行，還可以相交，故A錯(cuò)誤；若，則，故B錯(cuò)誤；若，則不一定平行，還可以相交，故C錯(cuò)誤；若，則必存在直線，且，而，所以，所以，故D正確.故選：D9．（2022·北京）在空間中，設(shè)是不同的直線，是不同的平面，則下形命題中真命題是（????）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】B【詳解】若，則或與相交或與是異面直線，故A錯(cuò)誤；若，則，故B正確；若，則或與相交，故C錯(cuò)誤；若，則或與相交，故D錯(cuò)誤.故選：B.10．（2022秋·廣東）已知直線與平面，則下列結(jié)論成立的是（????）A．若直線垂直于平面內(nèi)的一條直線，則B．若直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，則C．若直線平行于平面內(nèi)的一條直線，則D．若直線與平面沒有公共點(diǎn)，則學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
【答案】D【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若直線垂直于平面內(nèi)的一條直線，則或與相交（不一定垂直）或，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，若直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，則與的位置關(guān)系不確定，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，若直線平行于平面內(nèi)的一條直線，則或，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，若直線與平面沒有公共點(diǎn)，則，D對(duì).故選：D.11．（2022春·廣西）如圖，正方體中，分別是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正解的是（????）A．B．C．與相交D．與相交【答案】B【詳解】由分別是的中點(diǎn)可得，又易得，則.故選：B.12．（2022春·貴州）如圖，在正方體中，直線與的位置關(guān)系是（????）A．相交B．平行C．異面不垂直D．異面垂直【答案】B【詳解】在正方體中，且，所以四邊形為平行四邊形，所以.故選：B13．（2021秋·浙江）已知平面和直線，則下列說法正確的是（????）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
【答案】C【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，若，則或相交，故A選項(xiàng)不正確；對(duì)于B選項(xiàng)，若，則或相交，故B選項(xiàng)不正確；對(duì)于C選項(xiàng)，若，則，為面面垂直的判定定理，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，若，則，故D選項(xiàng)不正確.故選：C.14．（2021春·貴州）如圖，正方體中，E為的中點(diǎn)，則下列直線中與平面AEC平行的是（????）A．B．C．D．EO【答案】C【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)橹本€與平面AEC交于點(diǎn)，故不平行；對(duì)于B，因?yàn)橹本€與平面AEC交于點(diǎn)，故不平行；對(duì)于C，在正方體中，因?yàn)镋為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，又平面AEC，平面AEC，所以平面AEC；對(duì)于D，因?yàn)槠矫鍭EC，故不平行.故選：C.15．（2021秋·貴州）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線與平面DAA1D1的位置關(guān)系是（????）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
A．直線與平面平行B．直線與平面垂直C．直線與平面相交但不垂直D．直線在平面【答案】A【詳解】連接，由正方體的性質(zhì)可得且，所以為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，故選：A16．（多選）（2021·湖北）已知，是平面外的兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（???）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則【答案】BC【詳解】解：對(duì)于A，直線和可以相交或者異面，故A錯(cuò)，對(duì)于B,，假設(shè)，，又，故，則，故B對(duì),學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
對(duì)于C,因?yàn)?，，又，則，故C對(duì),對(duì)于D,直線可以與平面平行，故D錯(cuò).故選：BC.17．（2023·北京）如圖，在正方體中，是正方形ABCD及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合．給出下列三個(gè)結(jié)論：①，；②，；③，與不垂直．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】①②③【詳解】對(duì)于①，平面，，，故①正確；對(duì)于②，當(dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)時(shí)，，,是平行四邊形，,,，，故②正確；對(duì)于③，平面過作平面的平行面與平面的交線在正方形ABCD外，，與不垂直,故③正確.故答案為：①②③.18．（2022春·廣西）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，，則這個(gè)三棱錐的四個(gè)面中，是直角三角形的個(gè)數(shù)有個(gè).學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
【答案】【詳解】由于平面，所以，所以三角形和三角形是直角三角形.由于，所以，三角形是直角三角形.由于，所以平面，所以，所以三角形是直角三角形.所以三棱錐四個(gè)面中，是直角三角形的個(gè)數(shù)有個(gè).故答案為：19．（2021·北京）如圖，在正方體中，E是的中點(diǎn).給出下列三個(gè)結(jié)論：①；②；③線段的長度大于線段的長度.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.【答案】①②③【詳解】連接、、，并設(shè)正方體的棱長為.對(duì)于①，由于，可知平面，①正確；對(duì)于②，由于，又是的中點(diǎn)，易知，②正確；對(duì)于③，、、是正方體的面對(duì)角線，可知，因此是等邊三角形，而是等邊三角形邊上的高線，因此，③正確.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
故答案為：①②③考點(diǎn)三：異面直線所成角1．（2023春·湖南）如圖，在正方體中，異面直線AC與所成的角為（????）??A．B．C．D．【答案】D【詳解】由題意，正方體中得，故異面直線AC與所成的角，即正方形對(duì)角線與的夾角，故選：D2．（2023·云南）在正方體中，異面直線與所成角的大小為（????）A．B．C．D．【答案】C【詳解】連結(jié)、，如下圖：學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
在正方體中，且；四邊形為平行四邊形，則；又在正方體中，為等邊三角形，就是異面直線與所成角,，異面直線與所成角的大小為.故選：C.3．（2021春·河北）如圖，在正方體中，分別是，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（????）A．B．C．D．【答案】B【詳解】取的中點(diǎn)，連接，．為正方體，．又，分別是，的中點(diǎn)，，異面直線與所成的角為．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
設(shè)正方體的棱長為，平面，，,，在中，．故選：B4．（2021秋·浙江）如圖，正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（????）A．B．C．D．【答案】A【詳解】取的中點(diǎn)，連接由分別為的中點(diǎn)，則且在正方體中且,所以且所以四邊形為平行四邊形，所以則（或其補(bǔ)角）為異面直線與所成角.設(shè)正方體的棱長為2，則在中，,所以故選：A5．（2021春·福建）如圖的正方體中，異面直線與所成的角是（????）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】D【詳解】在正方體中，平面，平面，異面直線與所成的角是.故選：D.考點(diǎn)四：直線與平面所成角1．（2023·江蘇）如圖，正方體中，直線與平面所成角的正切值為（????）A．1B．C．D．【答案】C【詳解】如圖所示：連接，因?yàn)槠矫妫示€與平面所成角，設(shè)正方體棱長為1，則，.故選：C學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
2．（2022秋·浙江）如圖，正方體中，N是棱的中點(diǎn)，則直線CN與平面所成角的正弦值等于（????）A．B．C．D．【答案】B【詳解】連接、交于,由正方形的性質(zhì)可得，又平面，平面，，又與在平面內(nèi)相交，所以平面是與平面所成的角，設(shè)正方體的棱長為2，則，，，故選：B.3．（2021秋·浙江）如圖，在三棱錐中，，分別為棱的中點(diǎn)，記直線與平面所成角為，則的取值范圍是（????）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
A．B．C．D．【答案】C【詳解】由，，將底面補(bǔ)全為正方形ABCG，如下圖示，O為ABCG對(duì)角線交點(diǎn)且，又有，，∴面，而面，故面面，若H為DG的中點(diǎn)，連接FH，又為棱的中點(diǎn)，則且，而，，有平行且相等，即為平行四邊形.∴可將平移至，直線與平面所成角為，且中，令，，即，∴△中，，即，∵，即，∴，解得（舍去），綜上有，故選：C4．（2021秋·貴州）如圖，在三棱錐中，⊥底面，，則直線與平面所成角的大小為學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
A．B．C．D．【答案】B【詳解】由題意可知，⊥底面，所以為直線與平面所成角，，所以三角形為等腰直角三角形，所以，故選B考點(diǎn)五：二面角1．（2023·河北）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，是等邊三角形，平面底面，，四棱錐的體積為，E為PC的中點(diǎn)．平面與平面所成二面角的正切值是（????）A．2B．C．D．1【答案】B【詳解】分別取的中點(diǎn)為，連接，設(shè)，則.因?yàn)槭堑冗吶切危?，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，底面，因?yàn)樗睦忮F的體積為，所以，解得.則，，所以，，又因?yàn)榈酌鏋榫匦?，所以，所以為平面與平面所成二面角的平面角，.故選：B學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
考點(diǎn)六：立體幾何解答題1．（2023·北京）閱讀下面題目及其解答過程．如圖，在直三棱柱中，，D，E分別為BC，的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：．解：（1）取的中點(diǎn)F，連接EF，F(xiàn)C，如圖所示．在中，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，所以，．由題意知，四邊形為①．因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以，．所以，．所以四邊形DCFE為平行四邊形，所以．又②，平面，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
所以，平面．（2）因?yàn)闉橹比庵?，所以平面ABC．又平面ABC，所以③．因?yàn)?，且，所以④．又平面，所以．因?yàn)棰荩裕陨项}目的解答過程中，設(shè)置了①~⑤五個(gè)空格，如下的表格中為每個(gè)空格給出了兩個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)符合邏輯推理．請(qǐng)選出符合邏輯推理的選項(xiàng)，并填寫在答題卡的指定位置（只需填寫“A”或“B”）．空格序號(hào)選項(xiàng)①A．矩形?????????????????B．梯形②A．平面???B．平面③A．???????????B．④A．平面???B．平面⑤A．???????????B．【答案】（1）①A；②A；（2）③B；④A；⑤B【詳解】①根據(jù)直棱柱的結(jié)構(gòu)特征及給定的條件知：結(jié)論為四邊形為矩形，填A(yù)；②由線面平行的判定條件，條件中缺平面，填A(yù)；③由線面垂直的性質(zhì)知：結(jié)論為，填B；④由線面垂直的判定知：結(jié)論為平面，填A(yù)；⑤根據(jù)及所得結(jié)論為，條件應(yīng)為，填B.故答案為：A，A，B，A，B2．（2023·山西）如圖所示，三棱柱，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱底面，點(diǎn)分別是棱，上的點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，．??(1)求證平面；學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
(2)求與所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)與所成角的余弦值為.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，??∵分別為的中點(diǎn)，∴，，由，且，∴，且，∴四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，∴平面；（2）因?yàn)?，所以為直線與所成角，中，，直角梯形中，，過作，為垂足，如圖所示，??則，，，，，所以為等腰三角形，則，中，，所以，中，，所以學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
所以與所成角的余弦值為.3．（2023·江蘇）如圖，三棱錐的底面和側(cè)面都是邊長為2的等邊三角形，分別是的中點(diǎn)，.(1)證明：平面；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）因?yàn)槭堑冗吶切危堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)椋矫?，所以平面，因?yàn)榈酌婧蛡?cè)面都是邊長為2的等邊三角形，所以4．（2023春·福建）如圖，長方體，，.(1)求三棱錐的體積；(2)證明：平面.【答案】(1)(2)證明見解析學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
【詳解】（1）解：在長方體中，平面，且，因?yàn)?，，則，，因此，三棱錐的體積為.（2）證明：在長方體中，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，因?yàn)槠矫?，平面，因此，平?5．（2023春·湖南）如圖，P為圓錐的頂點(diǎn)，O為底面圓的圓心，AC為底面圓的直徑，B是底面圓周上不同于A，C的任意一點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別為母線PB，PC的中點(diǎn).??(1)求證：平面ABC；(2)若，，求圓錐PO的體積.【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）由于D，E分別為母線PB，PC的中點(diǎn),所以,由于平面ABC,平面ABC,所以平面ABC（2）AC為底面圓的直徑，B是底面圓周上不同于A，C的任意一點(diǎn)，所以,又，所以,因此底面圓的半徑為,故圓錐PO的體積為，6．（2023·廣東）如圖，圓的直徑為4，直線PA垂直圓所在的平面，C是圓上的任意一點(diǎn).(1)證明BC⊥面PAC；學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
(2)若求PB與面PAC的夾角.【答案】(1)證明見解析；(2)．【詳解】（1）證明：平面，平面，∴，同理，是圓直徑，在圓周上，因此，又，平面，∴平面；（2）由（1）平面，∴是與平面所成的角，又平面，∴，由已知，，所以，∴與平面所成的角是．7．（2023·云南）如圖，四棱錐的底面是邊長為1的正方形，平面.(1)求四棱錐的體積；(2)求證：平面.【答案】(1)(2)證明見詳解【詳解】（1）已知四棱錐的底面是邊長為1的正方形，由平面得四棱錐的高為，所以四棱錐的體積；（2）因?yàn)樗睦忮F的底面是正方形，所以,因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，平面，平面，所以平?8．（2023春·新疆）在三棱錐中，底面，，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn)．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
(1)證明：平面；(2)證明．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）在中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn)，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．?）因?yàn)榈酌?，平面，則，又平面，因此平面，而平面，于是，由（1）知，所以.9．（2022·北京）閱讀下面題目及其解答過程．如圖，已知正方體．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：直線與平面不平行．解：（Ⅰ）如圖，連接．因?yàn)闉檎襟w，所以平面．所以①___________．因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以②__________．因?yàn)?，所以③____________．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
所以．（Ⅱ）如圖，設(shè)，連接．假設(shè)平面．因?yàn)槠矫?，且平面平面④____________，所以⑤__________．又，這樣過點(diǎn)有兩條直線都與平行，顯然不可能．所以直線與平面不平行．以上題目的解答過程中，設(shè)置了①~⑤五個(gè)空格，如下的表格中為每個(gè)空格給出了兩個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)符合推理，請(qǐng)選出符合推理的選項(xiàng)，并填寫在答題卡的指定位置（只需填寫“A”或“B”）．空格序號(hào)選項(xiàng)①A．??????????????B．②A．???????????????B．③A．平面????????B．平面④A．????????????????????B．⑤A．??????????????B．與為相交直線【答案】（Ⅰ）①A??②B??③B；（Ⅱ）④A??⑤A【詳解】要證明，可通過證明平面來證得，要證明平面，可通過證明來證得，所以①填A(yù)，②填B，③填B.平面與平面的交線為，所以④填A(yù)，由于平面，因?yàn)槠矫?，且平面平面，根?jù)線面平行的性質(zhì)定理可知，，所以⑤填A(yù).10．（2022秋·廣東）如圖，PA是圓柱的母線，AB是底面圓的直徑，C是底面圓周上異于A．B的一點(diǎn)，且．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
(1)求證：平面PAC(2)若M是PC的中點(diǎn)，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）∵PA為圓柱母線，∴平面ACB，∵平面，∴，∵AB為底面圓直徑，∴，∵平面APC，平面APC，，∴平面PAC.（2）∵平面APC，平面平面APC，∴平面ACM，BC為三棱錐的高，，∵，M為PC中點(diǎn)，∴，，，∴.11．（2022秋·福建）如圖，在三棱錐中，平面平面(1)求證：PA；(2)若，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
，所以平面，又平面，所以PA；（2）解：由（1）知平面，所以，又，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以三棱錐的體積.12．（2022春·天津）如圖，四棱錐的底面是正方形，平面ABCD，M，N分別是BC，PC的中點(diǎn).??(1)求證：平面PDB；(2)求證：平面PDB.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）因?yàn)镸，N分別是BC，PC的中點(diǎn)，故.又平面，平面，故平面PDB.（2）因?yàn)槠矫鍭BCD，且平面，故.又因?yàn)樗睦忮F的底面是正方形，則.又，平面，故平面PDB.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
????13．（2022·山西）如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，為中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；【詳解】證明：（1）設(shè)與交于點(diǎn)，接，底面是菱形，為中點(diǎn)，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，，面，平面平面．（2）底面是菱形，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
，底面，底面，，且，平面．平面．平面，．14．（2022春·浙江）如圖，在四棱錐中，底面是梯形，，平面，點(diǎn)是棱上的一點(diǎn)．(1)若，求證：平面；(2)若是的中點(diǎn)，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：連接交于，連接，因?yàn)椤嗡浴?，所以，因?yàn)椋?所以∥,因?yàn)槠矫嫫矫嫠浴纹矫鎸W(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
（2）過作于，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以過作于，連接，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫妫运允嵌娼堑钠矫娼牵环猎O(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，所以學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
15．（2022·湖南）在直三棱柱中，，為中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若，求四棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1），為中點(diǎn)，,在直三棱錐中，平面,平面.，又,平面（2），為中點(diǎn)，，由（1）知，四棱錐的高即為，又，所以，.16．（2022春·廣西）如圖，AB是底面的直徑，C為上異于A、B的點(diǎn)，PC垂直于所在平面，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
D、E分別為PA、PC的中點(diǎn).(1)求證：DE∥平面ABC.(2)求證：平面BDE⊥平面PBC.【答案】(1)證明詳見解析(2)證明詳見解析【詳解】（1）由于分別是的中點(diǎn)，所以，由于平面平面，所以平面.（2）依題意平面，所以.由于是圓的直徑，所以,由于，所以平面，由于，所以平面，由于平面，所以平面平面.17．（2022春·貴州）如圖，直三棱柱中，，M為棱上一點(diǎn)．(1)求三棱錐的體積；(2)求證：．【答案】(1)；(2)證明見解析（1）由直三棱柱可得平面，又，可得學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
，則；（2）由題意得，平面，平面，則，又，，平面，則平面，又平面，則.18．（2021·北京）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面.(1)求證：平面；(2)求證：平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）由底面是正方形，又平面，平面，平面（2）平面，平面，又底面是正方形，又，平面，平面19．（2021春·天津）如圖，長方體中，底面是正方形．??(1)求證：平面；(2)求證：平面．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）在長方體中，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）因?yàn)榈酌媸钦叫?，所以，又，所以，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
又平面，平面，所以，又，平面，所以平面.20．（2021秋·吉林）如圖，三棱柱中，平面ABC，AB=3，AC=4，BC=5.(1)求證：平面；(2)若異面直線與所成的角為30°，求三棱柱的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）平面ABC，平面ABC，有.AB=3，AC=4，BC=5，有，由勾股定理得.，平面，∴平面（2）由，異面直線與所成的角即為，，又平面ABC，平面ABC，∴，則，得，，所以三棱柱的體積.21．（2021·吉林）如圖，在正方體中，、分別為?的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求證：平面.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【詳解】證明：（1）連結(jié)，由正方體得，平面.又平面，又四邊形是正方形，∴，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
而，∴平面，又平面，∴.（2）連結(jié)，由?分別為?的中點(diǎn)得，且∴四邊形是平行四邊形，∴又平面，平面，∴平面.22．（2021春·福建）如圖，在三棱錐中，E，F(xiàn)分別是AB，AP的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若三棱錐的各棱長均為2，求它的表面積.【答案】(1)證明過程見解析；(2)【詳解】（1）因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，AP的中點(diǎn)，所以EF是三角形ABP的中位線，所以EF//PB，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）若三棱錐的各棱長均為2，則該三棱錐為正四面體，四個(gè)面是全等的等邊三角形，故它的表面積為23．（2021秋·福建）如圖，在三棱錐中，已知△ABC和△PBC均為正三角形，D為BC的中點(diǎn)．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
(1)求證：平面；(2)若，，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）因?yàn)椤鰽BC和△PBC為正三角形，D為BC的中點(diǎn)，所以,又,所以平面（2）因?yàn)椤鰽BC和△PBC為正三角形，且，所以,又，所以正三角形的面積為，所以.24．（2021秋·河南）如圖，在三棱柱中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).（1）求證：平面；學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
（2）若平面ABC，，，，，求三棱柱的體積.【答案】（1）見解析（2）【詳解】證明：（1）設(shè)，連接DE.因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危訣是的中點(diǎn).在中，因?yàn)椋?，所?又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?解：（2）因?yàn)槠矫鍭BC.所以為三棱柱的高.的面積.所以三棱柱的體積.25．（2021·湖北）如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)．求證：（1）平面；（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）.【詳解】（1）如圖所示：學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
，連接BD與AC交于點(diǎn)O，連接OE，因?yàn)镋，O為中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面；（2），，.26．（2021秋·廣東）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底邊ABCD是邊長為2的菱形，PA=AC=2，PA⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別為PD，BC的中點(diǎn).（1）求三棱錐P-ABD的體積；（2）證明：EF∥平面PAB（參考公式：錐體的體積公式為V=，其中S是錐體的底面積，h是錐體的高）【答案】（1）；（2）證明見詳解；【詳解】（1）因?yàn)樵谒睦忮FP-ABCD中，底邊ABCD是邊長為2的菱形，且AC=2，所以則，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
又PA⊥平面ABC，所以.（2）取線段PA中點(diǎn)H，連接HE,BH,因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PD，BC的中點(diǎn)，所以,,則,所以四邊形為平行四邊形，所以,又面,面,所以面.27．（2021秋·廣西）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)專著，書中將底面為矩形且一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”.如圖，在陽馬中，平面，為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若，求證：.【答案】(1)證明見詳解(2)證明見詳解【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，∵分別為的中點(diǎn)，則，平面，平面，∴平面.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
（2）∵平面，平面，∴，又∵為矩形，則，且平面，∴平面，由平面，可得，若，且為的中點(diǎn)，則，平面，，則平面，平面，故.28．（2021春·貴州）如圖，三棱柱中，底面ABC，，且．(1)求直線與平面ABC所成角的大?。?2)求證：平面．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）解：因?yàn)榈酌?，底面，所以，所以為在底面的射影，所以為直線與平面所成角，又，所以，即直線與平面所成角為；（2）證明：因?yàn)榈酌?，底面，所以，又，且，平面，所以平面?9．（2021·貴州）如圖，在正方體中，為的中點(diǎn).學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
（1）求證：平面；（2）判斷與平面的位置關(guān)系，并說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）平面，理由見解析.【詳解】（1）四邊形是正方形，，在正方體中，平面，平面，，，因此，平面；（2）平面，理由如下：證明：設(shè)，連接，、分別為、的中點(diǎn)，，平面，平面，因此，平面.30．（2021秋·青海）如圖，在三棱錐中，側(cè)棱底面，，、分別是棱、的中點(diǎn)．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）證明：．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析.【詳解】證明：（Ⅰ）∵，分別是，的中點(diǎn)，∴．又平面，平面，∴平面．（Ⅱ）∵側(cè)棱底面，∴，又由，，∴平面，∴，又∵，∴．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
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