湖北省武漢市武鋼三中2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則下列結(jié)論中正確的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先利用一元二次不等式求解集合B，然后利用集合的關(guān)系及交并補(bǔ)運(yùn)算逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】因?yàn)榛颍?，所以集合不是的子集，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，因?yàn)?，，所以集合不是的子集，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，，故選項(xiàng)D正確.故選：D.2.某企業(yè)為了解員工身體健康情況，采用分層隨機(jī)抽樣的方法從該企業(yè)的營銷部門和研發(fā)部門抽取部分員工體檢.已知該企業(yè)營銷部門和研發(fā)部門的員工人數(shù)之比是，且被抽到參加體檢的員工中，營銷部門的人數(shù)比研發(fā)部門的人數(shù)多72，則參加體檢的人數(shù)是（）A.90B.96C.108D.144【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)列方程求解即.【詳解】設(shè)參加體檢的人數(shù)有人，則，解得，即參加體檢的人數(shù)是人.故選：C.3.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是一個(gè)正方形的3個(gè)頂點(diǎn)，則這個(gè)正方形的第4個(gè)頂點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義可得對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，利用正方形性質(zhì)，根據(jù)向量相等，即可求得答案.【詳解】由，設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)，設(shè)正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)是，則其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，結(jié)合對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置特征知：，又，∴,，∴，故這個(gè)正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是.故選：B4.已知點(diǎn)在棱長為2的正方體表面上運(yùn)動(dòng)，是該正方體外接球的一條直徑，則的最小值為（）A.-2B.-8C.-1D.0【答案】A【解析】【分析】通過基底法，得到，再通過立體圖得到的值以及的最小值，最終代入數(shù)據(jù)得到最小值.【詳解】如圖為棱長為2的正方體外接球的一條直徑，為球心，為正方體表面上的任一點(diǎn)， 則球心也就是正方體的中心，所以正方體的中心到正方體表面任一點(diǎn)的距離的最小值為正方體的內(nèi)切球的半徑，它等于棱長的一半，即長度為1，的長為正方體的對(duì)角線長，為，我們將三角形單獨(dú)抽取出來如下圖所示：，所以的最小值為.故選：A.5.李明開發(fā)小程序發(fā)布經(jīng)過天后，用戶人數(shù)，其中為常數(shù).已知小程序發(fā)布經(jīng)過10天后有2000名用戶，則用戶超過500000名至少經(jīng)過的天數(shù)為（）取）A.31B.32C.40D.50【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意列出不等式，取對(duì)數(shù)求解不等式即可. 【詳解】由題意，時(shí)，，即，令，即，即，取常用對(duì)數(shù)可得，，即，故選：D6.設(shè)函數(shù)，若，且，則下列不等式恒成立是A.B.C.D.【答案】D【解析】【詳解】試題分析：由已知可得：是偶函數(shù)，在區(qū)間上遞增，且在區(qū)間上均為正數(shù)，所以在區(qū)間上遞增，因?yàn)椋裕?，故?yīng)選.考點(diǎn)：1、函數(shù)的單調(diào)性；2、函數(shù)的奇偶性.7.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)了橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線，經(jīng)橢圓反射，其反射光線必經(jīng)過橢圓的另一焦點(diǎn)．設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，若從橢圓右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過橢圓上的點(diǎn)A和點(diǎn)B反射后，滿足，且，則該橢圓的離心率為（）．A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】由題意，作圖，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，可設(shè)線段的表示，根據(jù)齊次方程的思想，可得答案.【詳解】由題意，可作圖如下：則，，即，可設(shè)，，，由，則，即，，在中，，則.故選：D.8.在數(shù)列中給定，且函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)有唯一零點(diǎn)，函數(shù)且，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求導(dǎo)利用函數(shù)零點(diǎn)定義即可求得，得到數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列.再利用引入輔助角公式對(duì)化簡，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷新函數(shù)的單調(diào)性并結(jié)合題意進(jìn)而求解即可.【詳解】因?yàn)橛形ㄒ坏牧泓c(diǎn)，且為偶函數(shù)，則，可得，，所以數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列. 又，令，則為奇函數(shù)，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，由題意得，則，∵數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，其中，則，假設(shè)，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)且在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，所以，∵，∴，與已知矛盾，故不成立；假設(shè)，同理可得，與已知矛盾，故不成立；綜上，．故選：A二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.科學(xué)研究已經(jīng)證實(shí)：人的智力、情緒和體力分別以天、天和天為周期，均可按進(jìn)行變化．記智力曲線為，情緒曲線為，體力曲線為，則（）A.第天時(shí)情緒曲線處于最高點(diǎn)B.第天到第天時(shí)，智力曲線與情緒曲線不相交C.第天到第天時(shí)，體力曲線處于上升期D.體力曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】AC 【解析】【分析】設(shè)人的智力曲線、情緒曲線和體力曲線用，，，根據(jù)周期求出對(duì)應(yīng)的解析式，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷ACD，對(duì)于B，設(shè)，利用零點(diǎn)存在定理可判斷.【詳解】設(shè)人的智力曲線、情緒曲線和體力曲線用，，，所以，，.A項(xiàng)：第天時(shí)，，故處于最高點(diǎn)，A正確；B項(xiàng)：設(shè)，因?yàn)?，，故利用零點(diǎn)存在定理可得存在，使得，故此時(shí)智力曲線與情緒曲線相交，B錯(cuò)誤；C項(xiàng)：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以根?jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得此時(shí)單調(diào)遞增，故處于上升期，C正確；D項(xiàng)：因?yàn)椋?，體力曲線不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，D錯(cuò).故選：AC.10.若的三個(gè)內(nèi)角均小于，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小，點(diǎn)被人們稱為費(fèi)馬點(diǎn).根據(jù)以上性質(zhì)，已知是平面內(nèi)的任意一個(gè)向量，向量滿足，且，則的取值可以是（）A.10B.C.3D.【答案】AB【解析】【分析】設(shè)，，，由題意可得所求為點(diǎn)到 三點(diǎn)的距離之和，由費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，取得最小值，然后求解即可.【詳解】因?yàn)?，，設(shè)，，，則，即為點(diǎn)到三點(diǎn)的距離之和，則是等腰銳角三角形，如圖：??由費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)可知，當(dāng)點(diǎn)滿足時(shí)，點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小，因?yàn)椋?，故，則的最小值是.故選：AB11.設(shè)為正實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，，則【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)已知條件及不等式的性質(zhì)逐一判斷選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，由及為正實(shí)數(shù)，可知，，則， 由，可得，所以，故A正確；對(duì)于B，若，則，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，故C正確；對(duì)于D，若，則，故D錯(cuò)誤.故選：AC12.已知函數(shù)，則（）A.是奇函數(shù)B.的最大值大于C.，D.，【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)分別判斷各選項(xiàng).【詳解】的定義域?yàn)?，，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，故選項(xiàng)B正確；，故選項(xiàng)C正確；，，，當(dāng)時(shí)，，，而在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)D正確，故選：BCD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知隨機(jī)變量，，且，則__________. 【答案】##0.5【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布及正態(tài)分布的期望求解即可.【詳解】，，，，，，解得，故答案為：14.在數(shù)列中，若，前項(xiàng)和，則的最大值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，求得，得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由數(shù)列中，因?yàn)?，且，可得，解得，所以，則為的二次函數(shù)，對(duì)稱軸為，故當(dāng)或6時(shí)取得最大值，又由，所以的最大值為.故答案為：.15.已知直線，拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為.若過點(diǎn)的圓與直線相切，且與直線交于點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，直線的斜率為__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)：，聯(lián)立方程根據(jù)韋達(dá)定理得到，根據(jù)向量運(yùn)算得到，解方程組代入斜率公式計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示：拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，， 設(shè)，，，，：，則，即，，故，，即，即，故，；或，；.故答案為：.16.已知函數(shù)，若有且僅有兩個(gè)整數(shù)，滿足，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________．【答案】【解析】【分析】先對(duì)全分離，即，構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)求單調(diào)性判斷最值點(diǎn)，若有且僅有兩個(gè)整數(shù)使得不等式成立，只需大于最小值點(diǎn)附近的兩個(gè)整數(shù)處的函數(shù)值，且小于等于該整數(shù)處相鄰的整數(shù)點(diǎn)處函數(shù)值，列出不等式，解出即可.【詳解】解：若，即， 因?yàn)?，所以，即，記，故只需有且僅有兩個(gè)整數(shù)使得成立即可，所以，記，所以，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以，使得，即，在上，即，單調(diào)遞減，在上，即，單調(diào)遞增，所以有最小值，因?yàn)?，且，，而，若使有且僅有兩個(gè)整數(shù)，只需即可，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：該題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于難題，關(guān)于不等式成立問題的方法有：（1）對(duì)不等式進(jìn)行全分離，使分母較簡單或容易判斷正負(fù)，以便少分類討論；（2）構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)求單調(diào)性，判斷極值點(diǎn)，在草稿紙上畫出草圖；（3）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，建立不等式，解出即可.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.如圖，在中，，點(diǎn)與點(diǎn)分別在直線的兩側(cè)，且. （1）求的大??；（2）求BD長度的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理可解得，即可得解；（2）由正弦定理及余弦定理求出，利用正弦型函數(shù)求最大值即可.【小問1詳解】在中，設(shè)，則，由及正弦定理，得，即，解得，因?yàn)?，所以或（舍去?【小問2詳解】在中，設(shè)，則由余弦定理可得，即，由正弦定理可得，所以.在中，由余弦定理可得，即 ，當(dāng)時(shí)，得長度取得最大值，最大值為，18.已知數(shù)列滿足，（1）記，求證：等比數(shù)列；（2）若，求.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由可知結(jié)合可得進(jìn)而可證為等比數(shù)列；（2）由（1）結(jié)論可先求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式，再根據(jù)求出的通項(xiàng)公式，則可求.【小問1詳解】證明：且，又，為以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）知：，， 又，，所以.19.如圖，三棱錐和三棱錐均為棱長為的正四面體，且四點(diǎn)共面，記直線與的交點(diǎn)為.（1）證明：平面平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接與的交點(diǎn)為，連接，可證得，進(jìn)而證，再證四邊形是菱形得，從而可證；（2）過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則平面，分別求得，，再以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，再利用面面角的向量求法即可求解.【小問1詳解】如圖，連接與的交點(diǎn)為，連接， 因?yàn)槿忮F和三棱錐均為棱長為的正四面體，所以，，，則，則，所以，所以，因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，又，所以四邊形是菱形，則，因?yàn)椋矫?，所以平面，又平面，所以平面平面；【小?詳解】過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則平面，又三棱錐是正四面體，所以是的中心.在中，，在中，，又，所以，所以，由（1）知兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示， 則，，，，故，，設(shè)平面的法向量為，則，即令，則，，得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，即令，則，，得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則，所以，故二面角的正弦值為.20.2023年3月華中師大一附中舉行了普通高中體育與健康學(xué)業(yè)水平合格性考試．考試分為體能測(cè)試和技能測(cè)試，其中技能測(cè)試要求每個(gè)學(xué)生在籃球運(yùn)球上籃、羽毛球?qū)哌h(yuǎn)球和游泳3個(gè)項(xiàng)目中任意選擇一個(gè)參加．某男生為了在此次體育學(xué)業(yè)考試中取得優(yōu)秀成績，決定每天訓(xùn)練一個(gè)技能項(xiàng)目．第一天在3個(gè)項(xiàng)目中任意選一項(xiàng)開始訓(xùn)練，從第二天起，每天都是從前一天沒有訓(xùn)練的2個(gè)項(xiàng)目中任意選一項(xiàng)訓(xùn)練．（1）若該男生進(jìn)行了3天的訓(xùn)練，求第三天訓(xùn)練的是“籃球運(yùn)球上籃”的概率；（2）設(shè)該男生在考前最后6天訓(xùn)練中選擇“羽毛球?qū)哌h(yuǎn)球”的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）分布列見解析；【解析】【分析】（1）根據(jù)乘法原理，結(jié)合古典概型計(jì)算求解即可； （2）由題知的可能取值為，再依次求對(duì)應(yīng)的概率，列分布列，求期望即可.【小問1詳解】解：當(dāng)?shù)谝惶煊?xùn)練的是“籃球運(yùn)球上籃”且第三天也是訓(xùn)練“籃球運(yùn)球上籃”為事件；當(dāng)?shù)谝惶煊?xùn)練的不是“籃球運(yùn)球上籃”且第三天是訓(xùn)練“籃球運(yùn)球上籃”為事件；由題知，三天的訓(xùn)練過程中，總共的可能情況為種，所以，，，所以，第三天訓(xùn)練是“籃球運(yùn)球上籃”的概率.【小問2詳解】解：由題知，的可能取值為，所以，考前最后6天訓(xùn)練中，所有可能的結(jié)果有種，所以，當(dāng)時(shí)，第一天有兩種選擇，之后每天都有種選擇，故；當(dāng)時(shí)，第一天選擇“羽毛球?qū)哌h(yuǎn)球”，則第二天有2種選擇，之后每天只有1種選擇，共2種選擇；第二天選擇“羽毛球?qū)哌h(yuǎn)球”，則第一天有2種選擇，第三天2種，后每天只有1種選擇，共4種選擇；第三天選擇“羽毛球?qū)哌h(yuǎn)球”，則第一天有2種選擇，第二天有1種選擇，第三天1種，第四天有2種選擇，之后每天只有1種選擇，共4種選擇；第四天選擇“羽毛球?qū)哌h(yuǎn)球”，則第一天有2種選擇，第二天，第三天，第四天，第六天有1種，第五天有2種選擇，共4種選擇；第五天選擇“羽毛球?qū)哌h(yuǎn)球”，則第一天有2種選擇，第二天，第三天，第四天，第五天有1種，第六天有2種選擇，共4種選擇；第六天選擇“羽毛球?qū)哌h(yuǎn)球”，則第一天有2種選擇，第二天，第三天，第四天，第五天，第六天都有1種選擇，共2種選擇；綜上，當(dāng)時(shí)，共有種選擇，所以，；當(dāng)時(shí)，第一天，第三天，第五天，選擇“羽毛球?qū)哌h(yuǎn)球”，有種選擇；第一天，第三天，第六天，選擇“羽毛球?qū)哌h(yuǎn)球”，有種選擇 第一天，第四天，第六天，選擇“羽毛球?qū)哌h(yuǎn)球”，有種選擇；第二天，第四天，第六天，選擇“羽毛球?qū)哌h(yuǎn)球”，有種選擇；所以，當(dāng)時(shí)，共有種選擇，所以，；所以，當(dāng)，所以，的分布列為：所以，.21.已知、、是直線上的三點(diǎn)，且，，切直線于點(diǎn)，又過、作異于的兩切線，設(shè)這兩切線交于點(diǎn).（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)、是的軌跡上的不同兩點(diǎn)且不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若，的斜率分別為，，問：是否存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，的面積是定值？如果存在，求出的值；如果不存在，說明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)圓切線的性質(zhì)，利用橢圓的定義可判斷動(dòng)點(diǎn)軌跡為橢圓，適當(dāng)建系可得軌跡方程；（2）假設(shè)直線的斜率存在，設(shè)直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用根于系數(shù)關(guān)系，求得弦的長度，再利用點(diǎn)到直線距離可得到的距離，可得三角形面積，根據(jù)面積為定值可得的值，再驗(yàn)證當(dāng)直線斜率不存在時(shí)成立.【小問1詳解】 如圖所示，設(shè)過、異于的兩切線分別切于、兩點(diǎn)，兩切線交于點(diǎn)，由切線的性質(zhì)可知：，，，故，故由橢圓定義知，點(diǎn)的軌跡是以、為兩焦點(diǎn)的橢圓，以所在的直線為軸，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：；【小問2詳解】設(shè)存在這樣的常數(shù)，使，的面積為定值.當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，得，，即，，， ，，點(diǎn)到直線的距離為，所以，，又，即，即，得，所以，若面積為定值，則，解得，此時(shí)，現(xiàn)驗(yàn)證當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，若，面積為定值.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)，，則，又，解得，，此時(shí)面積，滿足上述定值， 綜上所述，存在常數(shù)，使，的面積為定值.【點(diǎn)睛】(1)解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．(2)涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．22.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，對(duì)進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；（2）由題意，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，多次構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性以及特殊點(diǎn)，即可求解.【小問1詳解】，則，當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得；所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.綜上，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.【小問2詳解】由題意得對(duì)任意恒成立，令，則. 若，當(dāng)時(shí)，.令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，即，令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，即，所以當(dāng)時(shí)，，則，所以區(qū)間上單調(diào)遞增，且，即恒成立.當(dāng)時(shí)，，存在實(shí)數(shù)，使得，均有，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，不符合題意.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：常見的放縮不等式：①(僅當(dāng)取等號(hào))；②(僅當(dāng)取等號(hào))，(僅當(dāng)取等號(hào))，