湖南省雅禮中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期月考（二）數(shù)學(xué)答案Word版.docx

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大聯(lián)考雅禮中學(xué)2024屆高三月考試卷（二）數(shù)學(xué)試卷本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共8頁．時量120分鐘，滿分150分．第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算和共軛復(fù)數(shù)的定義求解.【詳解】．故選:C.2.全集，集合，，則陰影部分表示的集合是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定的條件利用韋恩圖反應(yīng)的集合運算直接計算作答.【詳解】韋恩圖的陰影部分表示的集合為，而全集，集合，，所以.故選：C3.函數(shù)的部分圖象大致是（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性和特殊點即得.【詳解】易知的定義域為，因為，所以為奇函數(shù)，排除答案B，D；又，排除選項C．故選:A．4.在邊長為3的正方形ABCD中，點E滿足，則（）A.3B.C.D.4【答案】A【解析】【分析】建立直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，得到，，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運算計算即可.【詳解】以B為原點，BC，BA所在直線分別為x，y軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，由題意得， 所以，，所以.故選：A.5.某?？萍忌缋?D打印技術(shù)制作實心模型．如圖，該模型的上部分是半球，下部分是圓臺．其中半球的體積為，圓臺的上底面半徑及高均是下底面半徑的一半．打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量約為（）（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由題意可知所需要材料的體積即為半球體積與圓臺體積之和，先求出圓臺的體積，再利用組合體的體積乘以打印所用原料密度可得結(jié)果.【詳解】設(shè)半球的半徑為，因為，所以，由題意圓臺的上底面半徑及高均是3，下底面半徑為6，所以，所以該實心模型的體積為，所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為故選：C6.已知數(shù)列為等比數(shù)列，其前n項和為，，則“公比”是“對于任意，”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】 【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式以及前項和公式，分別驗證充分性以及必要性即可得到結(jié)果.詳解】若，且公比，則，所以對于任意，成立，故充分性成立；若，且，則，所以由對于任意，，推不出，故必要性不成立；所以“公比”是“對于任意，”的充分不必要條件.故選:A7.若存在實數(shù)a，對任意的x∈[0，m]，都有(sinx－a)·(cosx－a)≤0恒成立，則實數(shù)m的最大值為()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知不等式得到，要求y＝sinx和y＝cosx圖象不在y＝a＝的同一側(cè)，利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的性質(zhì)進行解答即可．【詳解】在同一坐標(biāo)系中，作出y＝sinx和y＝cosx的圖象，當(dāng)m＝時，要使不等式恒成立，只有a＝，當(dāng)m＞時，在x∈[0，m]上，必須要求y＝sinx和y＝cosx的圖象不在y＝a＝的同一側(cè).∴由圖可知m的最大值是.故選：C. 8.已知函數(shù)的定義域為R，，且在上遞增，則的解集為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)可得關(guān)于直線對稱，根據(jù)可得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)圖象，根據(jù)圖象列不等式求解集即可.【詳解】解：函數(shù)，滿足，則關(guān)于直線對稱，所以，即，又在上遞增，所以在上遞減，則可得函數(shù)的大致圖象，如下圖：所以由不等式可得，或，解得或，故不等式的解集為.故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.對于實數(shù)，，，下列選項正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則，D.若，，則 【答案】ABD【解析】【分析】利用比較法、特例法逐一判斷即可.【詳解】對選項A，因為，所以，，所以，故A正確；對選項B，，，所以，因為，所以，即，故B正確；對選項C，令，，滿足，不滿足，，故C錯誤；對選項D，因為，，所以，故D正確．故選：ABD．10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.B.函數(shù)的最小正周期為C.函數(shù)的對稱軸方程為D.函數(shù)圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到【答案】AB【解析】【分析】利用二倍角公式及輔助角公式化簡函數(shù)，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖像性質(zhì)逐項判斷.【詳解】，所以A正確； 對于B，函數(shù)的最小正周期為，所以B正確；對于C，由，，得，，所以函數(shù)的對稱軸方程為，，所以C不正確；對于D，的圖象向右平移個單位長度，得，所以函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到，所以D不正確．故選：AB．11.設(shè)是公差為（）的無窮等差數(shù)列的前項和，則下列命題正確的是（）A.若，則是數(shù)列的最大項B.若數(shù)列有最小項，則C.若數(shù)列是遞減數(shù)列，則對任意的：，均有D.若對任意的，均有，則數(shù)列是遞增數(shù)列【答案】BD【解析】【分析】取特殊數(shù)列判斷A；由等差數(shù)列前項和的函數(shù)特性判斷B；取特殊數(shù)列結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性判斷C；討論數(shù)列是遞減數(shù)列的情況，從而證明D.【詳解】對于A：取數(shù)列為首項為4，公差為的等差數(shù)列，，故A錯誤；對于B：等差數(shù)列中，公差，，是關(guān)于n的二次函數(shù).當(dāng)數(shù)列有最小項，即有最小值，對應(yīng)的二次函數(shù)有最小值，對應(yīng)的函數(shù)圖象開口向上，，B正確；對于C：取數(shù)列為首項為1，公差為的等差數(shù)列，，，即恒成立，此時數(shù)列是遞減數(shù)列，而，故C錯誤；對于D：若數(shù)列是遞減數(shù)列，則，一定存在實數(shù)，當(dāng)時，之后所有項都為負(fù)數(shù)，不能保證對任意，均有. 故若對任意，均有，有數(shù)列是遞增數(shù)列，故D正確．故選：BD12.如圖所示，在棱長為2的正方體中，點，分別為棱，上的動點（包含端點），則下列說法正確的是（）A.四面體的體積為定值B.當(dāng)，分別為棱，的中點時，則在正方體中存在棱與平面平行C.直線與平面所成角的正切值的最小值為D.當(dāng)，分別為棱，的中點時，則過，，三點作正方體的截面，所得截面為五邊形【答案】ACD【解析】【分析】求出四面體的體積判斷A；把正方體的棱分成3類，再判斷各類中的一條即可判斷B；作出線面角，并求出其正切表達式判斷C；利用線線、線面平行的性質(zhì)作出截面判斷D.【詳解】點，在棱，上運動時，到距離始終為2，到平面的距離始終為2，所以四面體的體積恒為定值，A正確；在正方體中，棱可分為三類，分別是，及分別與它們平行的棱，又不與平面平行，則在正方體中，不存在棱與平面平行，B錯誤； 正方體棱長為2，如圖1，過作于，則有平面，于是與平面所成角即為，于是，又長度的最大值為，所以與平面所成角的正切值的最小值為，C正確；如圖2，取中點，連接，有，且，則四邊形是平行四邊形，有，過作的平行線交于點，此時，則，即為過，，三點的平面與平面的交線，連接，在上取點，使得，同證的方法得，在棱上取點，使，連接并延長交直線于，則，即，而，于是四邊形是平行四邊形，有，則為過，，三點的平面與平面的交線，連接，則可得五邊形即為正方體中過，，三點的截面，D正確．故選：ABD【點睛】方法點睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾何體的兩個平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個面平行；延長交線得交點，截面上的點中至少有兩個點在幾何體的同一平面上.第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若函數(shù)的圖象在處的切線斜率為3，則__________．【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)，利用求解即可. 【詳解】解：因為，所以，又函數(shù)的圖象在處的切線斜率為3，則，所以．故答案為：14.在平面直角坐標(biāo)系中，圓與軸的正半軸交于點，點，在圓上，若射線平分，，則點的坐標(biāo)為__________．【答案】【解析】【詳解】由題意可知圓的半徑為，設(shè)，由題意可知，，則點的橫坐標(biāo)為，點的縱坐標(biāo)為．故答案為：．15.已知函數(shù)的定義域為，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，則的最小值為_____________．【答案】【解析】【分析】由題意可得，再結(jié)合基本不等式即可得答案.【詳解】解：因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，即，① 又因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，②聯(lián)立①②可得，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，故函數(shù)的最小值為．故答案為：16.已知菱形中，對角線，將沿著折疊，使得二面角為120°，，則三棱錐的外接球的表面積為________.【答案】【解析】【分析】將沿折起后，取中點為，連接，，得到，在中由余弦定理求出的長，進一步求出的長,分別記三角形與的重心為、，記該幾何體的外接球球心為，連接，，證明與全等，求出，再推出，連接，由勾股定理求出，即可得出外接球的表面積.【詳解】將沿折起后，取中點為，連接，，則，，所以即為二面角的平面角，所以；設(shè)，則,在中，即解得，即，所以所以與是邊長為的等邊三角形.分別記三角形與的重心為、，則，；即；因為與都是邊長為的等邊三角形，所以點是的外心，點是的外心； 記該幾何體的外接球球心為，連接，，根據(jù)球的性質(zhì)，可得平面，平面，所以與都是直角三角形，且為公共邊，所以與全等，因此，所以；因為，，，且平面，平面，所以平面；又平面，所以，連接，則外接球半徑為，所以外接球表面積為.故答案為：【點睛】思路點睛：求解幾何體外接球體積或表面積問題時，一般需要結(jié)合幾何體結(jié)構(gòu)特征，確定球心位置，求出球的半徑，即可求解；在確定球心位置時，通常需要先確定底面外接圓的圓心，根據(jù)球心和截面外接圓的圓心連線垂直于截面，即可確定球心位置；有時也可將幾何體補型成特殊的幾何體（如長方體），根據(jù)特殊幾何體的外接球，求出球的半徑.四、解答題：本題共6小題，共70分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知正項數(shù)列的前項和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析. 【解析】【分析】（1）利用的關(guān)系，結(jié)合已知條件以及等差數(shù)列的通項公式即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)（1）中所求，利用裂項求和法求得，即可證明.【小問1詳解】依題意可得，當(dāng)時，，，則；當(dāng)時，，，兩式相減，整理可得，又為正項數(shù)列，故可得，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以.【小問2詳解】證明：由（1）可知，所以，，所以成立18.在中，角、、所對的邊分別為、、，已知.（1）求；（2）若，的內(nèi)切圓半徑為，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡可得出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用三角形的面積公式可得出，結(jié)合余弦定理可求得的值，即可求得的周長.【小問1詳解】 解：因為，由正弦定理可得，①因為，所以，代入①式整理得，又因為、，，則，所以，又因為，解得.【小問2詳解】解：由（1）知，，因為內(nèi)切圓半徑為，所以，即，所以，②，由余弦定理得，所以③，聯(lián)立②③，得，解得，所以的周長為.19.如圖，在三棱柱中，，，，，且平面．（1）求證：；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】 【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和判斷定理可得平面，從而即可證明；（2）建立以為原點，分別以，，所在直線為，，軸的空間坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【小問1詳解】證明：因平面，平面，所以，因為，四邊形是平行四邊形，所以四邊形是菱形，所以．又因為，平面，平面，所以平面，因為平面，所以．【小問2詳解】解：以為原點，分別以，，所在直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，所以，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，可得，，所以，設(shè)平面的一個法向量為， 則，取，可得，，所以，設(shè)二面角的大小為，因為，所以，所以二面角的正弦值為．20.如圖，已知橢圓上一點，右焦點為，直線交橢圓于點，且滿足，．（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓相交于兩點，求四邊形面積的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知得，由且，知，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線的方程為，與橢圓聯(lián)立求出，求出點到直線 的距離為，，聯(lián)立直線與橢圓方程結(jié)合弦長公式求出，求出四邊形的面積，整理化簡利用二次函數(shù)求出最值.【詳解】（1）為橢圓上一點，又，可得，，即所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.（2）由（1）知，，直線的方程為，聯(lián)立，整理得：，解得：，設(shè)點，到直線的距離為和，則，，直線與橢圓相交于兩點，聯(lián)立，整理得：，解得：..設(shè)四邊形面積為，則.設(shè)，則， 當(dāng)，即，即時，四邊形面積有最大值.【點睛】思路點睛：解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：（1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；（2）強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．21.如圖所示，是圓錐的一部分(A為圓錐的頂點)，是底面圓的圓心，，是弧上一動點（不與、重合），滿足．是的中點，．（1）若平面，求的值；（2）若四棱錐的體積大于，求三棱錐體積的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）取的中點，連接，證明出，可得出， ，然后在中利用正弦定理可求得的值；（2）計算得出四邊形的面積，結(jié)合可求得的取值范圍，設(shè)三棱錐的體積為，三棱錐的體積為，計算得出，結(jié)合正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得結(jié)果.【小問1詳解】解：取的中點，連接，為的中點，則，平面，平面，則平面，由題設(shè)，當(dāng)平面時，因為，所以，平面平面，平面，則平面，因為平面，平面平面，則，所以，，，在中，由正弦定理可得，故.【小問2詳解】解：四棱錐的體積，其中表示四邊形的面積，則，所以，，可得， ，則，故，解得.設(shè)三棱錐的體積為，三棱錐的體積為，由于是的中點，則.22.混管病毒檢測是應(yīng)對單管病毒檢測效率低下的問題，出現(xiàn)的一個創(chuàng)新病毒檢測策略，混管檢測結(jié)果為陰性，則參與該混管檢測的所有人均為陰性，混管檢測結(jié)果為陽性，則參與該混管檢測的人中至少有一人為陽性．假設(shè)一組樣本有N個人，每個人患病毒的概率相互獨立且均為．目前，我們采用K人混管病毒檢測，定義成本函數(shù)，這里X指該組樣本N個人中患病毒的人數(shù)．（1）證明：；（2）若，．證明：某混管檢測結(jié)果為陽性，則參與該混管檢測的人中大概率恰有一人為陽性．公眾號：高中試卷君【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由均值的性質(zhì)及基本不等式即可證明.（2）由二項分布的概率及條件概率化簡即可證明.【小問1詳解】由題意可得滿足二項分布，由知，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；【小問2詳解】記（混管中恰有1例陽性|混管檢測結(jié)果為陽性），（混管中恰有i例陽性）=，，令，， 則，當(dāng)時，，為單調(diào)遞減，當(dāng)時，，為單調(diào)遞增，所以，且，，所以當(dāng)，即，兩邊取自然對數(shù)可得，所以當(dāng)，時，所以，則．故某混管檢測結(jié)果為陽性，則參與該混管檢測的人中大概率恰有一人為陽性.