四川省成都列五中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期10月月考理數(shù) Word版含解析.docx

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2023-2024學(xué)年度高2021級(jí)（上）階段性考試（一）數(shù)學(xué)（理）試卷一、選擇題（每個(gè)小題都有4個(gè)選項(xiàng)，其中只有1個(gè)正確選項(xiàng)，請(qǐng)把正確選項(xiàng)直接填涂在答題卡相應(yīng)位置上.每小題5分，共60分.）1.某同學(xué)計(jì)劃2023年高考結(jié)束后，在A，B，C，D，E五所大學(xué)中隨機(jī)選兩所去參觀，則大學(xué)恰好被選中的概率為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】基本事件總數(shù)為，大學(xué)恰好被選中的基本事件為：，根據(jù)古典概型概率公式即可求解.【詳解】依題意，在A，B，C，D，E五所大學(xué)中隨機(jī)選兩所去參觀的基本事件總數(shù)為：，大學(xué)恰好被選中的基本事件為：，所以大學(xué)恰好被選中的概率為：.故選：B.2.設(shè)集合，集合，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由題意逐一考查所給的選項(xiàng)運(yùn)算結(jié)果是否為即可.【詳解】由題意可得，則，選項(xiàng)A正確；，則，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，則或，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；或，則或，選項(xiàng)D錯(cuò)誤； 故選：A.3.已知復(fù)數(shù)（x，）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，z的實(shí)部和虛部分別是雙曲線C的實(shí)軸長和虛軸長，若，則雙曲線C的焦距為（）A.8B.4C.D.2【答案】B【解析】【分析】利用雙曲線的定義和復(fù)數(shù)模的定義即可求得雙曲線C的焦距.【詳解】復(fù)數(shù)（x，）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則，又z的實(shí)部和虛部分別是雙曲線C的實(shí)軸長和虛軸長，，則雙曲線C的焦距為故選：B4.展開式中的系數(shù)為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】應(yīng)用二項(xiàng)式展開式分類計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋院械捻?xiàng)為，故選：C.5.函數(shù)的圖像大致為（）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)奇偶性判斷CD；根據(jù)特殊點(diǎn)判斷AB.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，即函?shù)為奇函數(shù)，故CD錯(cuò)誤；由可知，C錯(cuò)誤，A正確；故選：A6.將六位數(shù)“”重新排列后得到不同的六位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.B.C.216D.【答案】D【解析】【分析】由題意，分末尾是或，末尾是，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意，末尾是或，不同偶數(shù)個(gè)數(shù)為，末尾是，不同偶數(shù)個(gè)數(shù)為，所以共有個(gè).故選：D7.設(shè)，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】令求出，再令求出，即可得解.【詳解】因?yàn)?，令，可得?令，可得，所以.故選：A8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的，則（）A.輸出的S的最小值為，最大值為5B.輸出的S的最小值為，最大值為4C.輸出的S的最小值為0，最大值為5D.輸出的S的最小值為0，最大值為4【答案】A【解析】【分析】作出可行域，利用線性規(guī)劃與程序框圖判定即可.【詳解】作出不等式組表示的可行域，由圖可知，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，取得最大值4，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，取得最小值．因?yàn)?，且，所以輸出的的最小值為，最大值?．故選：A 9.某四面體的三視圖如圖所示（3個(gè)三角形都是直角邊為1的等腰直角三角形），該四面體的外接球的表面積為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三視圖還原幾何體，借助正方體可求外接球的半徑，從而得到面積.【詳解】由題意可知，幾何體是正方體一個(gè)角的三棱錐，它的外接球就是棱長為1的正方體的外接球，外接球的半徑為，所以外接球的表面積為.故選：A.10.2021年是鞏固脫貧攻堅(jiān)成果的重要一年，某縣為響應(yīng)國家政策，選派了6名工作人員到A、B、C三個(gè)村調(diào)研脫貧后的產(chǎn)業(yè)規(guī)劃，每個(gè)村至少去1人，不同的安排方式共有（）種．A.540B.480C.360D.240【答案】A【解析】【分析】把6名工作人員分別分為，1，，，2，，，2，三種情況討論，然后分別計(jì)算即可求解．【詳解】解：把6名工作人員分為1，1，4三組，則不同的安排方式共有：種，把6名工作人員分為2，2，2三組，不同的安排方式共有：種，把6名工作人員分為1，2，3三組，不同的安排方式共有：種， 綜上，不同的安排方式共有種，故選：A．11.設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分析可知，由已知可得對(duì)任意的恒成立，解得對(duì)任意的恒成立，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解之即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，，故對(duì)任意的，，對(duì)任意的，不等式恒成立，即，即對(duì)任意的恒成立，且為正數(shù)，則，可得，所以，，可得.故選：A.12.如圖，一個(gè)棱長1分米的正方體形封閉容器中盛有V升的水，若將該容器任意放置均不能使水平面呈三角形，則V的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】找到水最多和水最少的臨界情況，如圖分別為多面體和三棱錐，從而可得出答案. 【詳解】將該容器任意放置均不能使水平面呈三角形，則如圖，水最少臨界情況為，水面為面，水最多的臨界情況為多面體，水面為，因，，所以，即.故選：A.二、填空題（請(qǐng)把每個(gè)小題的答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上，每小題5分，共20分.）13.已知隨機(jī)變量，若，則___________.【答案】16【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布可得，結(jié)合方差的性質(zhì)運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，則，又因?yàn)椋?故答案為：16.14.已知向量，．若向量與垂直，則________．【答案】7【解析】【分析】首先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)得到，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得到方程，即可求得實(shí)數(shù)的值．【詳解】解：因?yàn)?，，所以，因?yàn)橄蛄颗c垂直，所以 ，解得，故答案為：7．15.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過作一條直線與雙曲線右支交于兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為，若，則該雙曲線的離心率為___________.【答案】##【解析】【分析】由得出，由定義結(jié)合勾股定理得出，再由勾股定理得出離心率.【詳解】解：如圖，因?yàn)?，則，設(shè)，則，則，由勾股定理可得，即，整理可得，因?yàn)?，解得，所以，，，由勾股定理可得，即，整理可得，因此，該雙曲線的離心率為.故答案為：16.若函數(shù)在上單減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______． 【答案】【解析】【分析】求出的單調(diào)減區(qū)間，由為減區(qū)間的子集求出的取值范圍.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，在為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，由得，故單調(diào)減區(qū)間為，因?yàn)樵谏蠁螠p，所以，解得.故答案為：三、解答題（解答須寫出必要的文字說明，推理過程和演算步驟）17.為了有針對(duì)性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某校需要了解學(xué)生是否經(jīng)常鍛煉與性別因素有關(guān)，為此隨機(jī)對(duì)該校100名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表．經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉總計(jì)男35女25總計(jì)100已知從這100名學(xué)生中任選1人，經(jīng)常鍛煉的學(xué)生被選中的概率為．附：.0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.828 （1）完成上面的列聯(lián)表；（2）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，判斷能否有90%的把握認(rèn)為該校學(xué)生是否經(jīng)常鍛煉與性別因素有關(guān)．【答案】（1）列聯(lián)表見解析（2）有90%的把握認(rèn)為該校學(xué)生是否經(jīng)常鍛煉與性別因素有關(guān)【解析】【分析】（1）根據(jù)概率計(jì)算這100名學(xué)生中經(jīng)常鍛煉的學(xué)生數(shù)，進(jìn)而填寫列聯(lián)表；（2）根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)求解即可.小問1詳解】解：設(shè)這100名學(xué)生中經(jīng)常鍛煉的學(xué)生有x人，則，解得．列聯(lián)表完成如下經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉總計(jì)男352560女152540總計(jì)5050100【小問2詳解】由（1）可知，，因?yàn)?，所以?0%的把握認(rèn)為該校學(xué)生是否經(jīng)常鍛煉與性別因素有關(guān)．18.為了不斷提高教育教學(xué)能力，某地區(qū)教育局利用假期在某學(xué)習(xí)平臺(tái)組織全區(qū)教職工進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)．第一學(xué)習(xí)階段結(jié)束后，為了解學(xué)習(xí)情況，負(fù)責(zé)人從平臺(tái)數(shù)據(jù)庫中隨機(jī)抽取了300名教職工的學(xué)習(xí)時(shí)間（滿時(shí)長15小時(shí)），將其分成六組，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）． 參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．（1）求a的值；（2）以樣本估計(jì)總體，該地區(qū)教職工學(xué)習(xí)時(shí)間近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本的平均數(shù)，經(jīng)計(jì)算知．若該地區(qū)有5000名教職工，試估計(jì)該地區(qū)教職工中學(xué)習(xí)時(shí)間在內(nèi)的人數(shù)；（3）現(xiàn)采用分層抽樣方法從樣本中學(xué)習(xí)時(shí)間在內(nèi)的教職工中隨機(jī)抽取5人，并從中隨機(jī)抽取3人作進(jìn)一步分析，分別求這3人中學(xué)習(xí)時(shí)間在內(nèi)的教職工平均人數(shù)．（四舍五入取整數(shù)）【答案】（1）（2）4093（3）1【解析】【分析】（1）由頻率之和等于1，得出；（2）計(jì)算平均數(shù)得出，再由正態(tài)分布的概率估計(jì)即可；（3）由分層抽樣得出的所有可能取值，再由超幾何分布求解.【小問1詳解】解：由題意得，解得．【小問2詳解】由題意知樣本的平均數(shù)為，所以．又，所以．則，所以估計(jì)該地區(qū)教職工中學(xué)習(xí)時(shí)間在內(nèi)的人數(shù)約為4093．【小問3詳解】對(duì)應(yīng)的頻率比為，即為， 所以抽取的5人中學(xué)習(xí)時(shí)間在內(nèi)的人數(shù)分別為2，3，設(shè)從這5人中抽取的3人學(xué)習(xí)時(shí)間在內(nèi)的人數(shù)為，則的所有可能取值為0，1，2，，所以．則這3人中學(xué)習(xí)時(shí)間在內(nèi)的教職工平均人數(shù)約為1．19.如圖，在圓錐中，為圓錐頂點(diǎn)，為圓錐底面的直徑，為底面圓的圓心，為底面圓周上一點(diǎn)，四邊形為矩形，且，．（1）若為的中點(diǎn)，求證：平面；（2）若與平面所成角為，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理，結(jié)合線面平行和面面平行的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】連接，在中，分別為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?，在矩形中，，同理可得平面，又，平面?所以平面平面，因?yàn)槠矫妫云矫?；【小?詳解】過點(diǎn)做交于點(diǎn)，連接由題可知平面，且，所以平面則，又，平面，所以平面，∴在平面內(nèi)射影為，則即為與平面所成的角，所以在中，由可知?jiǎng)t，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，過點(diǎn)垂直于平面為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即， 令，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，所以，所以，因?yàn)槎娼菫殇J二面角，所以二面角的余弦值為.20.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求拋物線方程;（2）若直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且滿足，求證:直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】（1）（2）定點(diǎn)，證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線過點(diǎn)，代入即可求出結(jié)果;（2）由題意直線方程可設(shè)為，將其與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，化簡求解，即可求出定點(diǎn).【小問1詳解】由題可知，拋物線的開口向右，設(shè)拋物線方程為，因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)，所以，解得所以，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:. 【小問2詳解】如圖，設(shè)直線的方程為:，聯(lián)立方程消有：由于交于兩點(diǎn)，設(shè)，則，即，，由.則.解得:，驗(yàn)證滿足條件.所以直線的方程為，即證直線恒過定點(diǎn).21.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，試討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：. 【答案】（1）在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)討論即可；（2）由函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)可得在上有兩個(gè)根，從而求得的取值范圍，再結(jié)合韋達(dá)定理可知，則原不等式轉(zhuǎn)化為證明，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性進(jìn)而證明即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)?，，令解得或，且?dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，綜上在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減.【小問2詳解】由已知，可得，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，即在上有兩個(gè)不等實(shí)根，令，只需，故，又，，所以，要證，即證，只需證，令，， 則，令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又，，由零點(diǎn)存在性定理得，使得，即，所以時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，則，又由對(duì)勾函數(shù)知在上單調(diào)遞增，所以所以，即得證.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性求參數(shù)；（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（極值），解決生活中的優(yōu)化問題；（4）利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，常用的思路層次有三個(gè)：其一直接構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明；其二直接做差構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明；其三先做適當(dāng)?shù)淖儞Q后再做差構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明.22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程； （2）已知點(diǎn)，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)，)，且直線與曲線交于A、兩點(diǎn)，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)參數(shù)方程消參即可得出直角坐標(biāo)方程；（2）轉(zhuǎn)化直線的參數(shù)方程與曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算即可.【小問1詳解】曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），則，即，兩式相減，可得曲線的直角坐標(biāo)方程：【小問2詳解】直線與曲線交于A、兩點(diǎn)，設(shè)A，兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，，直線的方程可轉(zhuǎn)化為，代入，得，則，則， 所以．