四川省 2023-2024學年高二上學期10月月考數(shù)學 Word版含解析.docx

《四川省 2023-2024學年高二上學期10月月考數(shù)學 Word版含解析.docx》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。

德陽中學高2022級高二上期10月月考數(shù)學試題一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項涂在答題卡相應位置上．1.已知集合，集合，則（????）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據對數(shù)函數(shù)的性質解不等式得到集合，然后求并集即可.【詳解】由對數(shù)函數(shù)的性質，，．故選：B．2.求值：（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先利用誘導公式化同角，再利用兩角差的正弦公式即可得解.【詳解】.故選：A.3.已知為平面的一個法向量，為內的一點，則點到平面的距離為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據給定條件，利用點到平面的向量求法，列式計算作答. 【詳解】依題意，，而為平面的一個法向量，所以點到平面的距離.故選：A4.將2個不同的小球隨機放入甲、乙、丙3個盒子，則2個小球在同一個盒子的概率為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求出將2個不同的小球隨機放入甲、乙、丙3個盒子的方法總數(shù)以及2個小球在同一個盒子的方法總數(shù)，由古典概率的公式代入即可得出答案.【詳解】將2個不同的小球隨機放入甲、乙、丙3個盒子，共有：種方法，2個小球在同一個盒子有種情況，所以2個小球在同一個盒子的概率為.故選：D.5.在長方體中，設為棱的中點，則向量可用向量表示為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用空間向量的線性運算求解即可.【詳解】如圖所示， 故選:D.6.若圓被直線平分，則的最小值為（）A.B.C.4D.9【答案】D【解析】【分析】由題意可得圓心在直線，即得，將化為，展開后利用基本不等式即可求得答案.【詳解】由題意圓被直線平分，即圓心在直線上，故，即，故，當且僅當，結合，即時去等號，即的最小值為為9，故選：D7.直線的傾斜角的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據傾斜角與斜率的關系求解即可.【詳解】由題意知,若a=0,則傾斜角為,若,則, ①當時，(當且僅當時，取“”)，②當時，(當且僅當時，取“”)，，故，綜上，，故選：C.8.已知正三棱錐的外接球是球，正三棱錐底邊，側棱，點在線段上，且，過點作球的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】設的中心為，球O的半徑為R，在中，利用勾股定理求出，余弦定理求出，再由勾股定理求出，過點E作球O的截面，當截面與OE垂直時，截面的面積最小，當截面過球心時，截面面積最大.【詳解】如下圖，設的中心為，球O的半徑為R，連接，OD，，OE，則，在中，，解得R＝2，所以，因為BE＝DE，所以，在中，，所以，過點E作球O的截面，當截面與OE垂直時，截面的面積最小， 此時截面的半徑為，則截面面積為，當截面過球心時，截面面積最大，最大面積為4π.故選：D【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵點是過點E作球O的截面，當截面與OE垂直時，截面的面積最小，當截面過球心時，截面面積最大.二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得5分，選對但不全得2分，有選錯的得0分．9.已知直線，則（）A.直線過定點B.當時，C.當時，D.當時，兩直線之間的距離為1【答案】CD【解析】【分析】根據給定的直線的方程，結合各選項中的條件逐一判斷作答.【詳解】依題意，直線，由解得：，因此直線恒過定點，A不正確；當時，直線，而直線，顯然，即直線不垂直，B不正確； 當時，直線，而直線，顯然，即，C正確；當時，有，解得，即直線，因此直線之間的距離，D正確.故選：CD10.已知函數(shù)，則下列結論正確的是（）A.的最小正周期為B.C.是圖象的一條對稱軸D.將的圖象向左平移個單位后，得到的圖象關于原點對稱【答案】BC【解析】【分析】根據兩角和的正弦公式化簡可得表達式，判斷B；利用正弦函數(shù)周期公式即可判斷A；將代入中驗證可判斷C；根據三角函數(shù)圖象的平移可得平移后函數(shù)解析式，結合其奇偶性可判斷D.【詳解】由題意得，B正確；則其最小正周期為，A錯誤；將代入中，得，則是圖象的一條對稱軸，C正確；將的圖象向左平移個單位后，得到的圖象，而函數(shù)不是奇函數(shù)，其圖象不關于原點對稱，D錯誤，故選：BC 11.如圖，在正方體中，為的中點（）A.平面B.C.若正方體的棱長為1，則點到平面的距離為D.直線與平面所成角的正弦值為【答案】ABC【解析】【分析】利用線線平行可判定A項，利用線面垂直可判定B項，利用等體積法轉化可判定C項，利用線面角的定義結合C項結論可判定D項.【詳解】對于A項，連接BD交AC于O點，連接OE，易知OE為的中位線，即，∵面，面，∴平面，故A正確；對于B項，連接，由正方體的性質易知，又面，∴面，而面，即，故B正確；對于C項，由正方體的性質知：點到平面的距離等于點D到平面的距離，設該距離為 ，若正方體棱長為1，則，，故C正確；對于D項，假設D點在面ACE的投影為M，連接AM，則AD與面ACE的夾角為，由C選項結論可知若正方體棱長為1，則有，故D錯誤.故選：ABC12.已知圓M：，點P是直線l：上一動點，過點P作圓M切線PA，PB，切點分別是A，B，下列說法正確的有（）A.圓M上恰有一個點到直線l的距離為B.切線長PA的最小值為1C.四邊形AMBP面積的最小值為2D.直線AB恒過定點【答案】BD【解析】【分析】利用圓心到直線的距離可判斷A，利用圓的性質可得切線長利用點到直線的距離可判斷B，由題可得四邊形AMBP面積為，可判斷C，由題可知點A，B，在以為直徑的圓上，利用兩圓方程可得直線AB的方程，即可判斷D.【詳解】由圓M：，可知圓心，半徑，∴圓心到直線l：的距離為，圓M上恰有一個點到直線l的距離為，故A錯誤；由圓的性質可得切線長，∴當最小時，有最小值，又，∴，故B正確；∵四邊形AMBP面積為，∴四邊形AMBP面積的最小值為1，故C錯誤； 設，由題可知點A，B，在以為直徑的圓上，又，所以，即，又圓M：，即，∴直線AB的方程為：，即，由，得，即直線AB恒過定點，故D正確.故選：BD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分．13.已知，，則向量與的夾角為______.【答案】##【解析】【分析】運用空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】，故答案為：14.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，則角B的大小是______.【答案】##30°【解析】【分析】由結合余弦定理，可求，進而可求B.【詳解】因為，所以，由余弦定理的推論，得因為，所以．故答案為：．15.已知復數(shù)，其中，，則復數(shù)是純虛數(shù)的概率為 __________.【答案】##0.25【解析】【分析】由純虛數(shù)得出的取值，即可求出復數(shù)是純虛數(shù)的概率.【詳解】由題意，中，，，∵復數(shù)為純虛數(shù)∴，∴復數(shù)是純虛數(shù)的概率為：，故答案為：.16.已知圓上的動點M和定點A，，則的最小值為_____．【答案】【解析】【分析】找到定點，連接易證，即可得，轉化為求最小值，判斷對應的位置，即可求最小值.【詳解】若，又A，，則，所以且，則，即，故，當共線時目標式值最小，所以最小值為.故答案為： 四、解答題：本大題共6小題，共計70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知直線過點和，直線：．（1）若直線關于直線的對稱直線為，求直線的方程．（2）已知直線是過點的直線，點到直線的距離為，求直線的方程.【答案】（1）（2）或．【解析】【分析】（1）求得直線上一點關于直線的對稱點，結合與的交點求得直線的方程.（2）根據直線的斜率是否存在進行分類討論，結合點到直線的距離求得直線的方程.【小問1詳解】直線的方程為，即，取直線上的一點，設關于直線的對稱點為，則，解得.由解得，所以直線過點和點，所以直線的方程為，即.【小問2詳解】直線斜率不存在時，可得，點與直線的距離為，符合題意.當直線斜率存在時，設直線斜率為，故可得直線的方程為，即，因為點到直線的距離為， 即，解得，故可得直線的方程為，即，綜上所述，直線的方程為：或．18.圓，直線.（1）證明：不論取什么實數(shù)，直線與圓相交；（2）求直線被圓截得的線段的最短長度，并求此時的值.【答案】（1）證明見解析（2）當時，最短弦長為【解析】【分析】（1）證得直線恒過圓內定點即可.（2）當時被圓截得的線段的最短長度，求此時的弦長與的值.【小問1詳解】因為直線的方程可化為，所以過直線與交點.又因為點到圓心的距離，所以點在圓內，所以過點的直線與圓恒交于兩點.【小問2詳解】由（1）可知：過點的所有弦中，弦心距，因為弦心距?半弦長和半徑構成直角三角形，所以當時，半弦長的平方的最小值為，所以弦長的最小值為.此時，.因為，所以，解得， 所以當時，得到最短弦長為.19.甲、乙、丙三人獨立地破譯某個密碼，甲譯出密碼的概率為，乙譯出密碼的概率為，丙譯出密碼的概率為，求：（1）其中恰有一人破譯出密碼的概率；（2）密碼被破譯的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設出事件，根據互斥事件概率加法公式、對立事件概率公式，以及獨立事件概率的乘法公式即可得出答案；（2）根據已知結合獨立事件概率的乘法公式，求出密碼不能破譯的概率，進而根據對立事件概率公式，即可得出答案.【小問1詳解】記密碼被甲、乙、丙3人獨立地破譯分別為事件A、、，則，，，，，，記“恰有一人破譯出密碼”為事件，由已知可得，.【小問2詳解】記“密碼被破譯出”為事件，因為，所以.20.在中，角，，的對邊分別為，，，且． （1）求的值；（2）若，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角結合兩角和的正弦公式化簡，即可得答案；（2）結合（1）的結論由正弦定理可得，利用余弦定理即可求得a的值，再利用三角形面積公式即可求得答案.【小問1詳解】因為，由正弦定理得，即，又因為，可得，所以，可得．【小問2詳解】由（1）得，由正弦定理得，由余弦定理得，即，又由，解得，則，此時存在且唯一確定，因為則可得所以；21.如圖，在四棱臺中，底面是菱形，，，平面. （1）證明：BDCC1；（2）棱上是否存在一點，使得二面角的余弦值為若存在，求線段的長；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在，【解析】【分析】（1）連接,根據題意證得和，利用線面垂直的判定定理，證得平面，進而證得；（2）取中點，連接，以為原點，建立空間直角坐標系，假設點存在，設點，求得平面和的一個法向量和，結合向量的夾角公式，列出方程，求得，即可求解.【小問1詳解】證明:如圖所示，連接,因為為棱臺，所以四點共面，又因為四邊形為菱形，所以，因為平面，平面，所以，又因為且平面，所以平面，因為平面，所以.【小問2詳解】解：取中點，連接，因為底面是菱形，且，所以是正三角形，所以，即，由于平面，以為原點，分別以為軸、軸和軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則 假設點存在，設點的坐標為，其中，可得設平面的法向量，則，取，可得，所以.又由平面的法向量為，所以，解得由于二面角為銳角，則點在線段上，所以，即故上存在點，當時，二面角的余弦值為.22.已知點M（1，0），N（1，3），圓C：，直線l過點N．（1）若直線l與圓C相切，求l的方程；（2）若直線l與圓C交于不同的兩點A，B，設直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，證明：為定值．【答案】（1）或（2）證明見解析【解析】【分析】（1）先判斷直線l不存在斜率時符合題意；再設直線l的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，列式求解即可．（2）設出直線l的方程，與圓的方程聯(lián)立，得到關于的一元二次方程，再利用根與系數(shù)的關系及直線的斜率公式進行證明． 【小問1詳解】解：若直線l的斜率不存在，則l的方程為，此時直線l與圓C相切，故符合條件；若直線l的斜率存在，設斜率為k，其方程為，即，由直線l與圓C相切，圓心（0，0）到l的距離為1，得，解得，所以直線l的方程為，即，綜上所述，直線l的方程為或；【小問2詳解】證明：由（1）可知，l與圓C有兩個交點時，斜率存在，此時設l的方程為，聯(lián)立，得，則，解得，設A（x1，y1），B（x2，y2），則，，（1）所以， 將（1）代入上式整理得，故為定值．