浙江省浙南名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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2023學(xué)年高二年級(jí)第一學(xué)期浙南名校聯(lián)盟10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知：1．本卷共4頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3．所有答案必須寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效；4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙.一．單選題（每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1.若集合，，則=（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】首先求解集合，再求.【詳解】，其中，所以恒成立，即，那么.故選：D2.若直線經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，則有（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線所過(guò)的象限判斷斜率、截距的符號(hào)即可.【詳解】因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，所以直線的斜率，在y軸上的截距.故選：A3.已知直線與直線平行，則它們之間的距離為（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】將化為，再利用平行線間距離公式即可求解.【詳解】由可得，由平行線間距離公式可得：它們之間的距離為，故選：C4.如圖，某四邊形的直觀圖是正方形，且，則原四邊形的周長(zhǎng)等于（）A.2B.C.4D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合直觀圖還原出原圖，結(jié)合數(shù)據(jù)可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以直觀圖中正方形的邊長(zhǎng)為，結(jié)合直觀圖的特征，可得原圖如下， 因?yàn)橹庇^圖中，且與軸平行，所以原圖中且與軸平行，因?yàn)?，所以；由直觀圖的性質(zhì)可知，原圖中四邊形為平行四邊形，所以的周長(zhǎng)等于.故選：D.5.在三棱錐中，PA、AB、AC兩兩垂直，，，則三棱錐外接球的表面積為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體的外接球的半徑公式，即可求解.詳解】如圖，將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，三棱錐的外接球就是長(zhǎng)方體的外接球，所以，則三棱錐外接球的表面積.故選：C 6.已知圓C：，直線l橫縱截距相等且與圓C相切﹐則滿足條件的直線l有（）條.A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓的方程確定圓心和半徑，討論直線是否為0，結(jié)合相切關(guān)系及點(diǎn)線距離公式分別求出對(duì)應(yīng)切線方程即可.【詳解】由圓，則圓心，半徑，若截距為0，設(shè)，則，此時(shí)；若截距不為0，設(shè)，則，此時(shí)；綜上，共有3條件滿足條件的直線l.故選：C7.已知橢圓：，點(diǎn)，是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)，使得，則該橢圓的離心率的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】由P在上頂點(diǎn)時(shí)，最大，進(jìn)而得到，由求解.【詳解】如圖：當(dāng)P在上頂點(diǎn)時(shí)，最大，此時(shí)，則，所以，即，，所以，則，所以橢圓的離心率的取值范圍是，故選：A8.已知，從點(diǎn)射出的光線經(jīng)x軸反射到直線上，又經(jīng)過(guò)直線反射到點(diǎn)，則光線所經(jīng)過(guò)的路程為（）A.B.6C.D.【答案】C【解析】【分析】利用點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的求法，以及數(shù)形結(jié)合，即可求解.【詳解】直線的方程為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為， 則，得，即點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，由題意可知，如圖，點(diǎn)都在光線上，并且利用對(duì)稱性可知，，，所以光線經(jīng)過(guò)的路程.故選：C二．多選題（每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，有選錯(cuò)得0分，部分選對(duì)得2分）9.已知，為空間中不同的兩條直線，，為空間中不同的兩個(gè)平面，下列命題錯(cuò)誤的是（）A.若，，則B.若，，，則C.若，，則和為異面直線D.若，，且，則【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系，逐一檢驗(yàn)，可得答案.【詳解】對(duì)于A，由，，則或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，，，則或與異面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，，則無(wú)法確定直線與的位置關(guān)系，平行、相交、異面都有可能，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，，則與一定不相交； 假設(shè)與異面，由，，則，，，由與異面，則與相交，但這與平行公理矛盾，故D正確.故選：ABC.10.有一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，則（）A.的平均數(shù)等于的平均數(shù)B.的中位數(shù)等于的中位數(shù)C.的標(biāo)準(zhǔn)差不小于的標(biāo)準(zhǔn)差D.的極差不大于的極差【答案】BD【解析】【分析】綜合應(yīng)用平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差和極差的定義即可求得結(jié)果.【詳解】A中，取為1,2,2,2,2,2,2,11，的平均數(shù)為2，的平均數(shù)為3，故A錯(cuò)誤；B中，的中位數(shù)等于6個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后最中間2個(gè)數(shù)的平均數(shù)，的中位數(shù)為8個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后最中間2個(gè)數(shù)的平均數(shù)，兩者相等，故B正確；C中，取為1,2,2,2,2,2,2,11，的標(biāo)準(zhǔn)差為0，的標(biāo)準(zhǔn)差為，故C錯(cuò)誤；D中，極差為樣本數(shù)據(jù)的最大值減去最小值，所以的極差不大于的極差，故D正確，故選：BD.11.如圖，在正方體中，，點(diǎn)，分別在棱和上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），若，則下列命題正確的是（????） A.B.平面C.線段長(zhǎng)度的最大值為1D.三棱錐體積不變【答案】AD【解析】【分析】首先建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示條件中的垂直關(guān)系，即可判斷選項(xiàng)ABC；利用等體積轉(zhuǎn)化，即可判斷D.【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)，，且，，，，得，，所以，故，故A正確；，，，所以與不垂直，則不垂直與平面，故B錯(cuò)誤；，，，所以時(shí)，的最大值為，故C錯(cuò)誤；，故D正確. 故選：AD12.已知直線l1：，l2：，l3：，l4：.則（）A.存在實(shí)數(shù)α，使l1l2，B.存在實(shí)數(shù)α，使l2l3；C.對(duì)任意實(shí)數(shù)α，都有l(wèi)1⊥l4D.存在點(diǎn)到四條直線距離相等【答案】ACD【解析】【分析】利用直線平行、直線垂直的條件和點(diǎn)到直線的距離逐項(xiàng)檢驗(yàn)即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)A正確；，所以與不平行，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；恒成立，，故選項(xiàng)C正確；坐標(biāo)原點(diǎn)到四條直線距離均為1，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.三．填空題（每小題5分，共20分）13.復(fù)數(shù)，則z的實(shí)部為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再利用實(shí)部的含義求解.【詳解】因，所以的實(shí)部為.故答案為：.14.已知點(diǎn)是圓：上動(dòng)點(diǎn)，.若線段的中垂線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)_____.【答案】 【解析】【分析】根據(jù)橢圓定義以及其標(biāo)準(zhǔn)方程，可得答案.【詳解】由題意，可作圖如下：因?yàn)闉榫€段中垂線上一點(diǎn)，所以，則，顯然為圓：的半徑，則，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以定點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓，其中，，解得，故其軌跡方程為.故答案為：.15.已知圓，圓，若圓平分圓的周長(zhǎng)，則______.【答案】【解析】【分析】求出兩圓的相交弦所在直線的方程，將圓的圓心坐標(biāo)代入相交弦所在直線的方程，可判斷結(jié)果.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，將兩圓方程作差可得，因?yàn)閳A平分圓的周長(zhǎng)，則這兩圓相交，且相交弦所在直線的方程為，由題意可知，直線過(guò)圓心，所以，，解得.故答案為：. 16.如圖，正四面體的體積為，E、F、G、H分別是棱AD、BD、BC、AC的中點(diǎn)，則______，多面體體積為_(kāi)_____.【答案】①.2②.【解析】【分析】根據(jù)正四面體的體積公式，列式求棱長(zhǎng)；將多面體的體積分為，再根據(jù)錐體的體積公式，即可求解.【詳解】設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，如圖，點(diǎn)在底面的射影為等邊三角形的中心，連接，則，所以，三棱錐的體積，解得：，則； 如圖，連接，多面體體積，點(diǎn)到平面和平面的距離相等，都是，四邊形的面積為，三角形的面積為，所以.故答案為：2；四．解答題（本小題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱，且，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，設(shè)，，.（1）用向量，，表示向量；（2）求線段的長(zhǎng)度．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解， （2）根據(jù)向量的模長(zhǎng)公式，即可代入求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，為中點(diǎn)，，，，所以【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槠叫辛骟w中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱，且，所以，，，所以所以，即線段PM長(zhǎng)為18.已知的三邊長(zhǎng)互不相等，角，，的對(duì)邊分別為，，，其中，.（1）求證是直角三角形；（2）求的取值范圍.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理與二倍角公式整理等式，結(jié)合三角形的性質(zhì)，可得答案；（2）根據(jù)勾股定理以及基本不等式，可得答案.【小問(wèn)1詳解】證明：由，根據(jù)正弦定理，則，即，因?yàn)?，所以或，又的三邊長(zhǎng)互不相等，即且，所以為直角三角形.【小問(wèn)2詳解】 由，且為直角三角形，故，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，所以，又，故的取值范圍是.19.已知，的平分線方程為.（1）求所在直線方程；（2）求所在直線方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)斜率公式得到，然后根據(jù)點(diǎn)斜式方程寫(xiě)直線的方程即可；（2）聯(lián)立方程得到，然后根據(jù)正弦定理得到，設(shè)，利用兩點(diǎn)間距離公式列方程，解方程得到，然后寫(xiě)直線方程即可.小問(wèn)1詳解】，直線的方程為，，所在直線方程：.【小問(wèn)2詳解】 由解得，設(shè)，依題意，的平分線為直線，由正弦定理得，，由于，由此整理得,則，設(shè)，則，整理得，解得或（舍去），則，，直線的方程為，.20.已知橢圓C：的左?右焦點(diǎn)分別為，，離心率，過(guò)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn).的內(nèi)切圓的半徑為.（1）求橢圓的方程；（2）求直線l的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由橢圓的離心率公式即可求得；（2）結(jié)合三角形的面積公式及直線與橢圓的位置關(guān)系求解即可.【小問(wèn)1詳解】由題意得，，又，則，所以， 所以橢圓方程為【小問(wèn)2詳解】依題意可知直線與軸不平行，故可設(shè)直線的方程為，此時(shí)由于在橢圓內(nèi)部，所以直線與橢圓必有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)，由，消去并化簡(jiǎn)得，則，，所以設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則，因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，又因?yàn)?，因?yàn)椋?，則解得或（舍去），則，所以直線的方程為或. 21.如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，，點(diǎn)F在AC上，．（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）首先設(shè)，利用基底表示向量，利用，即可確定點(diǎn)的位置，根據(jù)線面平行的判斷定理，即可求解；（2）首先構(gòu)造二面角的平面角，再根據(jù)三邊求二面角的余弦值，即可求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，則，， 則，解得則F為AC的中點(diǎn)，由分別為的中點(diǎn)，于是，又平面平面，所以平面．【小問(wèn)2詳解】過(guò)點(diǎn)O作交于點(diǎn)，設(shè)，由，得，且，由(1)可知，則，所以，因此，所以所以為二面角的平面角因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)所以為的重心即有，又，所以，解得，同理得，因?yàn)?，所以，則， 從而，，在中，，于是所以平面與平面夾角的余弦值為22.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，設(shè)是第一象限內(nèi)上一點(diǎn)，，的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)，.（1）求周長(zhǎng)；（2）設(shè)，分別為，的內(nèi)切圓半徑，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義即可求解； （2）根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)及（1）可得，即可轉(zhuǎn)化為，根據(jù)三角形面積可化為，利用直線與橢圓聯(lián)立求出，代入化簡(jiǎn)后利用均值不等式即可求解.【小問(wèn)1詳解】，為橢圓的兩焦點(diǎn)，且，為橢圓上的點(diǎn)，由橢圓定義得，由題意，得，即的周長(zhǎng)為.【小問(wèn)2詳解】易知，，設(shè)，，，由條件知，，直線的方程為：，將其代入橢圓方程并整理可得，則，得，，故．當(dāng)時(shí)，直線的方程為：，將其代入橢圓方程并整理可得，同理，可得，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.若軸時(shí)，易知，，， 此時(shí)，綜上，的最大值為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解決直線與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：（1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；