重慶市南開中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期12月第四次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)Word版含解析.docx

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數(shù)學(xué)試題注意事項：1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.（）A.B.C.D.2.設(shè)集合，則集合的真子集個數(shù)為（）A.32B.31C.16D.153.已知直線a、b與平面、，下列命題正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，，則D.若，，則4.已知，，，則向量與的夾角等于（）A.B.C.D.5.已知實數(shù)a、b、c滿足：，則下列關(guān)系不可能成立的是（）A.B.C.D.6.如圖，將鋼琴上的12個鍵依次記為，，…，.設(shè)，若且，則稱，為原位大三和弦.現(xiàn)隨機按下兩個白鍵和一個黑鍵，則恰好按下的是一個原位大三和弦的概率為（） A.B.C.D.7.設(shè)拋物線的準線與軸的交點為N，O為坐標(biāo)原點，經(jīng)過O、N兩點的圓C與直線相切，圓C與拋物線E的另一個交點為P，若，則（）A.2或B.2或4C.或D.2或8.將一張如圖所示的兩直角邊長度分別為8和15的直角三角形硬紙片，沿虛線剪成四塊，這四塊紙片恰好可以通過折疊，拼接形成一個密封的直三棱柱模型，則所得直三棱柱模型的體積為（）A.30B.24C.20D.18二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5-分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分；9.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則下列說法正確的有（）A.函數(shù)是偶函數(shù)B.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C.函數(shù)是偶函數(shù)D.函數(shù)是奇函數(shù)10.在正方體中，為棱上任意一點（含端點），下列說法正確的有（）A.直線與直線一定異面B.直線與直線一定垂直C.直線可能與平面平行D.直線可能與平面垂直11.已知數(shù)列和都是等差數(shù)列，，，，設(shè)集合，，，若將集合中的元素從小到大排列，形成一個新數(shù)列，下列結(jié)論正確的有（）A.B.C.D.數(shù)列的前20項和為610 12.如圖，雙曲線的左右焦點分別為和，點、分別在雙曲線的左、右兩支上，為坐標(biāo)原點，且，則下列說法正確的有（）A.雙曲線的離心率B.若且，則的漸近線方程為C.若，則D.若，則三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若直線與直線平行，則實數(shù)的值為__________.14.已知，則__________.15.已知直線與圓交于A、B兩點，則弦長的最大值為__________.16.已知函數(shù)，曲線的一個對稱中心為，一條對稱軸為，則的最小值為__________.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（本小題滿分10分）已知的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且，，（1）求的面積；（2）設(shè)為線段上一點，且，求的值.18.（本小題滿分12分）為了有針對性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某中學(xué)需要了解性別因素是否對學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，為此隨機抽取了40名學(xué)生，按照性別和體育鍛煉情況整理得到如下的列聯(lián)表：性別鍛煉合計 不經(jīng)常經(jīng)常女生51015男生52025合計103040（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為性別因素會影響學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性？（2）如果將表中的數(shù)據(jù)都擴大為原來的倍，在相同的檢驗標(biāo)準下，得到與（1）中不一樣的結(jié)論.（i）求的最小值；（ii）如果抽樣方式不變，你認為（1）和（2）的結(jié)論哪個更可靠，并說明理由.附：，其中0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82819.（本小題滿分12分）在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，面，為棱的中點，經(jīng)過、、三點的平面交棱于點.（1）求證：平面；（2）若直線與平面所成角大小為，求平面與平面所成角的余弦值.20.（本小題滿分20分）已知數(shù)列滿足，，，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）記數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，是否存在常數(shù)，使得，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，，. （1）若曲線在點處的切線與曲線也相切，求實數(shù)的值.（2）若不等式對任意的恒成立，求的取值范圍.（…為自然對數(shù)的底數(shù)）22.（本小題滿分12分）橢圓的左右焦點為和，為橢圓的中心，過作直線、，分別交橢圓于、和、，且的最大值為，的最小值為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)線段、的中點分別為、，記的面積為，的面積為，若直線、的斜率為、且，求證：為定值，并求出這個定值. 重慶市高2024屆高三第四次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題參考答案與評分細則123456789101112CDCBDAABADBCDACDACD一、單項選擇題：1.C【解析】.2.D【解析】A集合，又，的真子集個數(shù)為：.3.C【解析】A選項沒說；B選項平面內(nèi)存在與直線不平行的直線；D選項要滿足直線垂直于兩平面的交線.4.B【解析】，，.5.D【解析】令，畫出，，，圖象可知：當(dāng)在①位置時，當(dāng)在②位置時，當(dāng)在③位置時，.6.A【解析】隨機按下兩個白鍵和一個黑鍵的方法數(shù)為：，原位大三和弦的組合有，，，，，其中滿足兩個白鍵和一個黑鍵的只有， 兩種情況，故恰好按下的是一個原位大三和弦的概率為.7.A【解析】設(shè)圓心，半徑為，已知，，在中，由正弦定理得，，.又圓與直線相切，當(dāng)時，則圓心到直線距離，得；當(dāng)時，則圓心到直線距離.即，或（舍），綜上或.8.B【解下】易知兩塊全等的小三角形作為直三棱柱的底面，剩下兩部分拼接成直三棱柱的側(cè)面.、分別為、中點，，即直三棱柱的高為4，又底面三角形周長恰好為長度，，故，恰好滿足題意， 直三棱柱體積為.二、多項選擇題9.AD【解析】對于A：令，，為偶函數(shù)，A，正確.對于B：向左移1個單位得到圖像，故對稱中心為，B錯誤.令，，為奇函數(shù)，故C錯D對.10.BCD【解析】對于A：當(dāng)P與重合時，，A錯對于B：垂直于所在平面，故，B正確對于C：當(dāng)P與重合時，，面，，C正確對于D：當(dāng)與重合時，面，D正確11.ACD【解析】對于A：由，，解得，，所以，，所以A對；對于B、C：令，所以當(dāng)，時，，且相鄰公共項之間依次有，，，所以當(dāng)時，所以B錯，C對；對于D：由B可知，記前項和為，則約前20項和為，1，2，3，4時，用以D對.12.ACD【解析】對于A：，兩漸近線夾角小于，，，A正確；對于B：時為等腰直角三角形，，又點在雙曲線上，代入雙曲線方程得，，漸近線方程為，B錯； 對于C：在雙曲線上取B關(guān)于原點的對稱點M，連接，，，.，，又，.又，為中點，，必有，，三點共線為角平分線，，C正確；對于D：作上取一點使得，，，，，又，，，，D正確.三、填空題13.或【解析】兩直線平行，即，得或14.【解析】令，則，.15.【解析】已知圓的半徑，設(shè)圓心到直線距離（時取等），又，當(dāng)取最小時取得最大值，故時，.16.9【解析】為的一個對稱中心，為的一條對稱軸，，得 ，，代入①得，當(dāng)，時，.四、解答題17.（1）法一：由余弦定理得，整理得.因，解得，所以法二：由正弦定理得，因，故，所以為銳角，，故，所以（2）因，故，所以，，法一：法二：.18.解：（1）：學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性與學(xué)生性別沒有關(guān)系.根據(jù)的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此認為成立，即學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性與學(xué)生性別沒有關(guān)系.（2）（i）當(dāng)表中的數(shù)據(jù)都擴大為原來的倍時，根據(jù)的獨立性檢驗，若推斷不成立，即在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性與學(xué)生性別有關(guān)系.則有：，解得，又，故的最小值為8. （ii）在抽樣方式不變的情況下，（2）中的結(jié)論更可靠.這是因為對于隨機樣本而言，頻率具有隨機性，我們的推斷可能犯錯誤，樣本容量越小，犯錯誤的可能性會越大，因此在抽樣方式不變的前提下，樣本容量大的結(jié)果更可靠.19.解：（1），平面，平面，平面，又，平面，，又是的中點，是的中點，且，又，且，四邊形是平行四邊形，又平面，平面，平面.（2）連接，因且，，所以且，又平而，平而，故，又，所以平面，故為直線與平面所成角，從而，且.如圖，以，，為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，，所以平面與平面所成角的余弦值為.20.解：（1）當(dāng)時，又，故數(shù)列是以2為首項，公比為4的等比數(shù)列. （2）由（1）得，故，，所以故，即存在常數(shù)滿足題意.21.解：（1），，，，故切線方程為，即.設(shè)切線與曲線切于點，則，解得，.（2）法一：因為，敵記，，令，，故在并單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，.所以，故任單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，所以的取值范圍為.法二：取，由，得.下證：當(dāng)時，恒成立.記，因，戰(zhàn)在單調(diào)遞減， 所以，記，，，記，，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故，故，單調(diào)遞增，又，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，得證.綜上知，的取值范圍為.22解：（1）由已知得，解得，，故橢圓方程為，（2）由（1）得，，設(shè)直線，，其中，，則.由消去得：，，設(shè)，，，則，，，，即，同理可得法一：設(shè)直線的斜率為， 則.故直線的方程為，即將代入得，故直線恒過定點于是點與點到直線的距離之比等于，從而.法二：，故