重慶市第八中學(xué)2024屆高三高考適應(yīng)性月考卷（四）數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)在答題卡上填寫清楚．2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，在試題卷上作答無效．3．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．滿分150分，考試用時(shí)120分鐘．一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.若集合，則A的子集個(gè)數(shù)為（）A.4B.8C.16D.32【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式求集合并確定元素個(gè)數(shù)，即可判斷子集個(gè)數(shù).【詳解】由，即，所以，共有3個(gè)元素，故A的子集個(gè)數(shù)為個(gè).故選：B2.若復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)除法求，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)、虛部定義即可得答案.【詳解】由題設(shè)，則，所以復(fù)數(shù)z的虛部為.故選：B3.在中，為邊上的中線，，則（）A.B. C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)，以及向量加減法、數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，所以由已知可得，，所以，，所以?故選：A.4.阿鑫上學(xué)有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車.若阿鑫坐公交車用時(shí)X和騎自行車用時(shí)Y都服從正態(tài)分布，其密度曲線如圖所示，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.Y的數(shù)據(jù)較X更集中B.若有34min可用，那么坐公交車不遲到的概率大C.若有38min可用，那么騎自行車不遲到的概率大D.【答案】D【解析】 【分析】根據(jù)給定的正態(tài)分布密度曲線，結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性和性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】觀察圖象知，，對(duì)于A，密度曲線瘦高、的密度曲線矮胖，即隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差小于的標(biāo)準(zhǔn)差，即，因此Y的數(shù)據(jù)較X更集中，A正確；對(duì)于B，顯然，則當(dāng)有34min可用時(shí)，坐公交車不遲到的概率大，B正確；對(duì)于C，顯然，則當(dāng)有38min可用時(shí)，騎自行車不遲到的概率大，C正確；對(duì)于D，顯然，因此，D錯(cuò)誤.故選：D5.已知圓，圓，下列直線中不能與圓，同時(shí)相切的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式逐項(xiàng)驗(yàn)證即可.【詳解】由題意知：，所以圓的圓心為，半徑為1；圓的圓心為，半徑為2，對(duì)于A，圓的圓心到直線的距離為，與半徑相等，故滿足相切條件，圓的圓心到直線的距離為，與半徑相等，故也滿足相切條件，即直線是兩圓的一條公切線；對(duì)于B，圓的圓心到直線的距離為，與半徑相等，故滿足相切條件， 圓的圓心到直線的距離為，與半徑相等，故也滿足相切條件，即直線是兩圓的一條公切線；對(duì)于C，圓的圓心到直線的距離為，與半徑相等，故滿足相切條件，圓的圓心到直線的距離為，與半徑相等，故也滿足相切條件，即直線是兩圓的一條公切線；對(duì)于D，圓的圓心到直線的距離為，不滿足相切條件，即直線不可能是兩圓的公切線；故選：D.6.已知函數(shù)，則不等式的解集是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】判斷出函數(shù)奇偶性、單調(diào)性，可得，再解不等式可得答案.【詳解】由題意，函數(shù)，所以是偶函數(shù)，令，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以?所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)椴坏仁?，所以，解得，或，則不等式的解集是.故選：C.7.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，若，則的最小值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用輔助角公式化簡，結(jié)合其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，可推出輔助角的表達(dá)式，結(jié)合其意義求得a的值，再結(jié)合函數(shù)最值以及周期，即可求得答案.【詳解】由題意得，（），由于函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故，即，由于，故，故，最小正周期為， 由于，故中的一個(gè)為函數(shù)最大值，另一個(gè)為最小值，即的最小值為，故選：A8.已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)積為，且，則使得的最小正整數(shù)n的值為（）A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】【分析】由遞推關(guān)系可得，取對(duì)數(shù)并利用累乘法可求得的通項(xiàng)公式，再求出，利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】由題，，又，，，兩式相除可得，上式兩邊取對(duì)數(shù)，可得，即，，，化簡得，解得，又，即，所以的通項(xiàng)公式為，，要使，即，解得，且，所以滿足題意的最小正整數(shù)的值為6.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題要由遞推關(guān)系求出通項(xiàng)公式，再根據(jù)前項(xiàng)積求出.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20 分，在每個(gè)給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是滿足要求的，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.如圖，已知圓錐的軸截面為正三角形，底面圓O的直徑為2．E為線段的中點(diǎn)，C是圓O上異于A，B的一點(diǎn)，D為弦的中點(diǎn)，則（）A.平面B.平面平面C.線段長度的取值范圍為D.三棱錐體積的最大值是【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)線線平行即可求解A，根據(jù)線面垂直即可求證面面垂直，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可求解C，根據(jù)體積公式即可求解D.【詳解】由題意可知為邊長為2的等邊三角形，,由于E為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，所以,而平面,平面,故平面，A正確，由于是直徑，所以,分別為中點(diǎn)，所以,又平面，平面，所以平面，故平面，平面，所以平面平面，B正確，由于平面，平面，所以,故由于,所以，C正確，,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故體積最大值為，故D錯(cuò)誤，故選：ABC 10.設(shè)A，B是雙曲線上的兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中可以為線段中點(diǎn)的是（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】A選項(xiàng)由雙曲線的對(duì)稱性可直接判斷，B、C、D選項(xiàng)，首先根據(jù)點(diǎn)差法分析可得，結(jié)合雙曲線的漸近線斜率可判斷B，C、D可通過聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，利用判別式即可判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)殡p曲線關(guān)于y軸對(duì)稱，所以當(dāng)直線AB的方程為時(shí)，線段AB的中點(diǎn)為，故A正確；當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)，則的中點(diǎn)，可得，因?yàn)樵陔p曲線上，則，兩式相減得，所以.對(duì)于選項(xiàng)B：可得，則，即，雙曲線的漸近線方程為，由于與其中一條漸近線平行，故不可能有兩個(gè)交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：可得，則，即，聯(lián)立方程，消去y得，此時(shí)，故直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：，則，即， 聯(lián)立方程，消去y得，此時(shí)，故直線AB與雙曲線有交兩個(gè)交點(diǎn)，故D正確；故選：AD.11.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的部分圖像如圖所示，則（）A.在上有極小值B.在上有極大值C.在時(shí)取極小值D.在時(shí)取極小值【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)與的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)圖象判斷AB；對(duì)求導(dǎo)，結(jié)合與的大小關(guān)系，分析的單調(diào)性和極值，即可判斷CD.【詳解】根據(jù)與的關(guān)系可知：先增后減再增，先減后增，由圖象可知：在上有極大值，無極小值，故A錯(cuò)誤，B正確；因?yàn)椋瑒t，當(dāng)時(shí)，，則，可得，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則，可得， 所以在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則，可得，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，綜上所述：在時(shí)取極大值，在時(shí)取極小值，故C錯(cuò)誤，D正確；故選：BD.12.在數(shù)字通信中，信號(hào)是由數(shù)字“”和“”組成的序列．現(xiàn)連續(xù)發(fā)射信號(hào)次，每次發(fā)射信號(hào)“”的概率均為．記發(fā)射信號(hào)“1”的次數(shù)為，記為奇數(shù)的概率為，為偶數(shù)的概率為，則下列說法中正確的有（）A.當(dāng)，時(shí)，B.時(shí)，有C.當(dāng)，時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)概率最大D.時(shí)，隨著的增大而增大【答案】BCD【解析】【分析】由題意知發(fā)射信號(hào)“”的次數(shù)為和概率符合二項(xiàng)分布，然后對(duì)各項(xiàng)分別求解即可判斷.【詳解】由題意得發(fā)射信號(hào)“”的次數(shù)為和概率符合二項(xiàng)分布，對(duì)于A：當(dāng)，可取，所以，因?yàn)椋?，，所以，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，即每次發(fā)射信號(hào)“”和發(fā)射信號(hào)“”的概率相等，所以為奇數(shù)的概率和為偶數(shù)的概率相等，即，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)，，此時(shí)，， 當(dāng)取得概率最大時(shí)，即，即，解得，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D：由題知當(dāng)，發(fā)射信號(hào)“”的次數(shù)為和概率符合二項(xiàng)分布，由二項(xiàng)式的均值公式，當(dāng)概率一定時(shí)，越大則的值越大，所以能夠出現(xiàn)奇數(shù)的概率也增大，故D正確.故選：BCD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.若扇形的半徑為2，面積為，則扇形的周長為________．【答案】【解析】【分析】由扇形的面積公式求出弧長，代入扇形周長公式即可求解.【詳解】由題意設(shè)扇形圓心角所對(duì)弧長、半徑以及面積分別為，由題意，解得，所以扇形的周長為.故答案為：.14.已知數(shù)列滿足，，若，則數(shù)列的前2023項(xiàng)之和為________．【答案】1010【解析】【分析】首先求出數(shù)列是以3為周期的數(shù)列，再求前2023項(xiàng)和即可.【詳解】因?yàn)椋@然，，所以，又因?yàn)?，令可得，令可得，令可得?所以數(shù)列是以3為周期的數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則，故答案為：1010.15.知函數(shù)在上存在遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上有即可求解.【詳解】由題意得的定義域?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上存在遞增區(qū)間，即在區(qū)間上能成立，即，設(shè)，開口向上，對(duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，所以，則，即.故答案為：.16.已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為時(shí)，最大，則橢圓的離心率為________．【答案】##【解析】【分析】利用數(shù)型結(jié)合畫出圖，分別設(shè)，，從而得，然后結(jié)合基本不等式從而可求解. 【詳解】由題意得如圖，設(shè)直線與軸的交點(diǎn)設(shè)為，則，設(shè)，，，，所以，設(shè)，，得，則，，所以，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，由題意知，有最大值，所以，化簡得，即，解得或（舍）.又因?yàn)?，所?故答案為：. 【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用數(shù)型結(jié)合分別求出，然后利用基本不等式從而求解.四、解答題（共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求的前25項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用題中的已知條件求出數(shù)列的首項(xiàng)與公比，即可求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用（1）結(jié)論，分組并項(xiàng)求和可得解.【小問1詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比q，則，由得，又，則，又，得，解得，所以．【小問2詳解】由（1）得，則．18.在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，．（1）求證：；（2）求的取值范圍．【答案】（1）證明見解析 （2）【解析】【分析】（1）由題意，根據(jù)兩角和的余弦公式、二倍角的余弦公式和誘導(dǎo)公式化簡計(jì)算即可證明；（2）由（1）知，根據(jù)正弦定理、兩角和的正弦公式和二倍角的正、余弦公式化簡計(jì)算可得，結(jié)合C的范圍即可求解.【小問1詳解】因?yàn)?，所?所以，所以，所以．因?yàn)樵谥校?，所以，由，得．【小?詳解】在銳角中，，，因?yàn)?，得，C為銳角，故，故，令，又函數(shù)在上都單調(diào)遞增，則在上都單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以． 19.如圖甲是由梯形，組成的一個(gè)平面圖形，其中，，，，．如圖乙，將其沿，折起使得與重合，連接，直線與平面所成角為60°．（1）證明：；（2）求圖乙中二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先證明平面，找到直線與平面所成角為60°，再計(jì)算得到，，，利用勾股定理的逆定理即可證明;（2）以，,的方向分別為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，利用向量法求出二面角即可.【小問1詳解】證明：由圖甲，，可得圖乙中，又，，EB,EF含于面BEF,所以平面則直線與平面所成角為，所以在中，，，故有，．在甲中作，則，，故，，，則有，即．【小問2詳解】解：在乙中作于O，由（1）知，平面，平面，故，又因?yàn)?，故平面，且由?）知， 過點(diǎn)作，易判斷,則可以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，,的方向分別為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，因?yàn)槠矫?，所以平面法向量可以記為，設(shè)平面的法向量為，則有可取，記二面角的平面角為，則，故．20.已知函數(shù)滿足．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．【答案】20.答案見解析21.．【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，然后令，再求導(dǎo)，從而求解.（2）利用分離常數(shù)得在區(qū)間上恒成立，從而只需求出的最大值，即可求解.【小問1詳解】 因?yàn)?，定義域?yàn)椋昧?，則，當(dāng)，得，當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間．【小問2詳解】由題意在區(qū)間上恒成立，即恒成立，即在區(qū)間上恒成立，令，，只需因，令，，有，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為．21.混凝土的抗壓強(qiáng)度x較容易測(cè)定，而抗剪強(qiáng)度y不易測(cè)定，工程中希望建立一種能由x推算y的經(jīng)驗(yàn)公式，下表列出了現(xiàn)有的9對(duì)數(shù)據(jù)，分別為，，…，．x141152168182195204223254277y23.124.227.227828.731.432.534.836.2 以成對(duì)數(shù)據(jù)的抗壓強(qiáng)度x為橫坐標(biāo)，抗剪強(qiáng)度y為縱坐標(biāo)作出散點(diǎn)圖，如圖所示．（1）從上表中任選2個(gè)成對(duì)數(shù)據(jù)，求該樣本量為2的樣本相關(guān)系數(shù)r．結(jié)合r值分析，由簡單隨機(jī)抽樣得到的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)是否一定能確切地反映變量之間的線性相關(guān)關(guān)系？（2）根據(jù)散點(diǎn)圖，我們選擇兩種不同的函數(shù)模型作為回歸曲線，根據(jù)一元線性回歸模型及最小二乘法，得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程分別為：①，②．經(jīng)驗(yàn)回歸方程①和②的殘差計(jì)算公式分別為，，．（?。┣?；（ⅱ）經(jīng)計(jì)算得經(jīng)驗(yàn)回歸方程①和②的殘差平方和分別為，，經(jīng)驗(yàn)回歸方程①的決定系數(shù)，求經(jīng)驗(yàn)回歸方程②的決定系數(shù)．附：相關(guān)系數(shù)，決定系數(shù)，．【答案】（1），答案見解析（2）（?。?；（ⅱ）0.9847【解析】【分析】（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式即可求解，由相關(guān)系數(shù)的定義結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)即可求解，（2）根據(jù)殘差公式以及決定系數(shù)的計(jì)算公式即可求解.【小問1詳解】不妨設(shè)選擇的成對(duì)數(shù)據(jù)分別為，，則 ．又由表格數(shù)據(jù)得，當(dāng)時(shí)，，則．因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)樣本點(diǎn)都在一條直線上，則樣本量為2的樣本相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值都是1（在樣本相關(guān)系數(shù)存在的情況下），顯然據(jù)此推斷兩個(gè)變量完全線性相關(guān)是不合理的．樣本相關(guān)系數(shù)可以反映變量之間相關(guān)的正負(fù)性及線性相關(guān)的程度，但由于樣本數(shù)據(jù)的隨機(jī)性，樣本相關(guān)系數(shù)往往不能確切地反映變量之間的相關(guān)關(guān)系．一般來說，樣本量越大，根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)推新變量之間相關(guān)的正負(fù)性及線性相關(guān)的程度越可靠，而樣本量越小，則越不可靠．【小問2詳解】（?。ㄖ本€經(jīng)過數(shù)據(jù)的中心）．（ⅱ）∵，∴，則，越大，越接近于1，則模型的擬合效果越好，因此經(jīng)驗(yàn)回歸方程②的擬合效果更好，為最優(yōu)模型．22.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線，圓，F(xiàn)為拋物線E的焦點(diǎn)，過F作圓M的切線，切線長為．（1）求拋物線E的方程； （2）已知A，B，C是拋物線E上的三點(diǎn)，A不與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，直線，與圓M相交所得的弦長均為3，直線與直線垂直，求A的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）或．【解析】【分析】（1）根據(jù)勾股定理即可求解，（2）求解直線方程，根據(jù)圓的弦長公式可得，根據(jù)一元二次方程根的情況可得，進(jìn)而可得直線與直線.的斜率，根據(jù)垂直關(guān)系即可求解小問1詳解】易知，，故．故切線長，解得，故拋物線．【小問2詳解】已知A，B，C為拋物線上三點(diǎn)，設(shè)，，．則直線：，圓心M到直線的距離，直線與圓M相交所得的弦長為，故，即，即．化簡得，同理，．即b，c是方程的兩根，故，故直線的斜率， ，且A點(diǎn)不與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，故直線的斜率，直線與直線垂直，故，即，解得，即A點(diǎn)坐標(biāo)為或．