山西省大同市第一中學2023-2024學年高一上學期12月月考數(shù)學Word版含解析.docx

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2023-2024高一年級12月學情檢測數(shù)學試卷一、單選題（本大題共8小題，每題4分，共32分）1.設(shè)集合，，則（）A.B.C.D.2.已知，，，則，，大小關(guān)系為（）A.B.C.D.3.下列結(jié)論中錯誤的是（）A.終邊經(jīng)過點角的集合是B.將表的分針撥慢10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)是；C.，，則；D.若是第三象限角，則是第二象限角．4.已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是A.B.C.D.5.下列命題中正確的是（）A.命題“，都有”的否定是“，使得”B.函數(shù)的零點有2個C.用二分法求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點近似值，至少經(jīng)過3次二分后精確度達到0.1D.函數(shù)在上只有一個零點，且該零點在區(qū)間上6.“碳中和”是指企業(yè)、團體或個人通過植樹造林、節(jié)能減排等形式，抵消自身產(chǎn)生二氧化碳排放量，實現(xiàn)二氧化碳“零排放”．某地區(qū)二氧化碳的排放量（億噸）與時間（年）滿足函數(shù)關(guān)系式，已知經(jīng)過4年，該地區(qū)二氧化碳的排放量為 （億噸）．若該地區(qū)通過植樹造林、節(jié)能減排等形式抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放量為（億噸），則該地區(qū)要實現(xiàn)“碳中和”，至少需要經(jīng)過（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.13年B.14年C.15年D.16年7.已知函數(shù)，若對任意的，存在，使得，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.8.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有個不等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是A.B.C.D.二、多選題（本大題共4小題，每題4分，共16分，有多個選項符合題目要求，全部選對的得4分，有錯選的得0分，部分選對得2分）9.若，則（）A.B.C.D.10.若關(guān)于x的不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，則a的值可能為（）A.B.C.D.111.若正實數(shù)，滿足，則下列不等式恒成立的是（）A.B.C.D.12.已知奇函數(shù)是定義在R上的減函數(shù)，且，若，則下列結(jié)論成立的是（） AB.C.D.三、填空題（本大題共4小題，每題4分，共16分）13.計算：______.14.已知函數(shù)（且）在上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是___________________．15.已知函數(shù)，若且，則的取值范圍是___________．16.已知函數(shù)，（，a為常數(shù)）有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍是_________.四、解答題（本大題共4小題，共36分）17.已知α為第一象限角，且tanα＝.(1)求的值；(2)求2sinα－cosα的值.18.已知函數(shù)（）的最大值與最小值分別為3和．求a的取值范圍．19.已知函數(shù)是奇函數(shù).（1）求的值，判斷的單調(diào)性并用定義證明之﹔（2）解不等式：.20.已知定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足．（1）求函數(shù)和解析式；（2）求函數(shù)，的最小值． 2023-2024高一年級12月學情檢測數(shù)學試卷一、單選題（本大題共8小題，每題4分，共32分）1.設(shè)集合，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)交集的定義可得.【詳解】因為，又，所以.故選：B2.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),即可比較大小.【詳解】由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知所以故選:D【點睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),函數(shù)值大小的比較,屬于基礎(chǔ)題.3.下列結(jié)論中錯誤的是（） A.終邊經(jīng)過點的角的集合是B.將表的分針撥慢10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)是；C.，，則；D.若是第三象限角，則是第二象限角．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)終邊相同的角的集合的概念以及特征可判斷AC；定義根據(jù)角的概念可判斷B；由象限角的概念可判斷D.【詳解】終邊經(jīng)過點，則該終邊為第一象限的角平分線，即角的集合是，故A正確；將表的分針撥慢10分鐘，則旋轉(zhuǎn)的角度為，即分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)是，故B正確；表示終邊為一三象限、二四象限的角平分線的角的集合，表示終邊為一三象限、二四象限的角平分線以及坐標軸上的角的集合，即，故C正確；由于為第三象限角，所以，故，所以是第二或第四象限角，故D錯誤；故選：D4.已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是A.B.C.D.【答案】B【解析】【詳解】，選B.5.下列命題中正確的是（） A.命題“，都有”的否定是“，使得”B.函數(shù)的零點有2個C.用二分法求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點近似值，至少經(jīng)過3次二分后精確度達到0.1D.函數(shù)在上只有一個零點，且該零點在區(qū)間上【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定判斷A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的圖象判斷B，根據(jù)二分法的性質(zhì)判斷C，根據(jù)零點存在性定理及函數(shù)單調(diào)性判斷D.【詳解】選項A：命題“，都有”的否定是“，使得”，選項A錯誤；選項B：函數(shù)的零點的個數(shù)即與圖象交點的個數(shù)，根據(jù)圖象可知函數(shù)的零點有3個，選項B錯誤；選項C：因為區(qū)間的長度為，次二分后長度為，次二分后長度為，次二分后長度為，次二分后長度為，所以至少需要次二分后，才能使精確度達到，選項C錯誤；選項D：由對數(shù)函數(shù)和反比例函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，又，，所以由零點存在性定理可知函數(shù)在上只有一個零點，且該零點在區(qū)間上，選項D正確；故選：D 6.“碳中和”是指企業(yè)、團體或個人通過植樹造林、節(jié)能減排等形式，抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放量，實現(xiàn)二氧化碳“零排放”．某地區(qū)二氧化碳的排放量（億噸）與時間（年）滿足函數(shù)關(guān)系式，已知經(jīng)過4年，該地區(qū)二氧化碳的排放量為（億噸）．若該地區(qū)通過植樹造林、節(jié)能減排等形式抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放量為（億噸），則該地區(qū)要實現(xiàn)“碳中和”，至少需要經(jīng)過（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.13年B.14年C.15年D.16年【答案】D【解析】【分析】由條件列式先確定參數(shù)，再結(jié)合對數(shù)運算解方程.【詳解】由題意可得，即，所以，令，即，故，即，可得，即．故選：D7.已知函數(shù)，若對任意的，存在，使得，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】對任意的，存在，使得，只需要即可.【詳解】對任意的，存在，使得，則，因為當時，單調(diào)遞增，所以， 又因當時，單調(diào)遞減，所以，所以由解得，故選：A.8.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有個不等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是A.B.C.D.【答案】C【解析】【詳解】畫出的圖象，如圖，設(shè)，原方程化為，①由圖知，要使方程個不等的實數(shù)根方程，只需在有上有兩個不等的根，則，解得，故選C.【方法點睛】本題主要考查分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)、方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合思想的應用，屬于難題.數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題的一種重要思想方法，是中學數(shù)學四種重要的數(shù)學思想之一，尤其在解決選擇題、填空題是發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運用這種方法的關(guān)鍵是運用這種方法的關(guān)鍵是正確作出函數(shù)圖象以及熟練掌握函數(shù)圖象的幾種變換，充分利用數(shù)形結(jié)合的思想方法能夠使問題化難為簡，并迎刃而解. 二、多選題（本大題共4小題，每題4分，共16分，有多個選項符合題目要求，全部選對的得4分，有錯選的得0分，部分選對得2分）9.若，則（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】直接用冪函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可.【詳解】對于A，因為，所以冪函數(shù)在上是增函數(shù)，又，所以，故A正確；對于B，因為，所以，所以冪函數(shù)在上是減函數(shù)，又，所以，所以，故B正確；對于C，因為，所以，所以，因為，所以，所以，所以，故C錯誤；對于D，由選項C可知，又，所以，所以，故D錯誤；故選：AB10.若關(guān)于x的不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，則a的值可能為（）A.B.C.D.1【答案】BCD【解析】【分析】分類討論求出不等式的解集，進而確定出的取值范圍即可．【詳解】不等式可化為，顯然，當時，原不等式的解集為，由于解集中恰有兩個整數(shù)，則，解得， 當時，原不等式的解集為，由于解集中恰有兩個整數(shù)，則，解得，因此的取值范圍是,,，故選：BCD．11.若正實數(shù)，滿足，則下列不等式恒成立的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)基本不等式的性質(zhì)判斷四個選項即可.【詳解】A選項：由，所以當且僅當時等號成立，所以，故A正確；B選項：因為，故B正確；C選項：，當且僅當時等號成立，故C錯誤；D選項：因為，所以，所以，故D正確；故選：ABD.12.已知奇函數(shù)是定義在R上的減函數(shù)，且，若，則下列結(jié)論成立的是（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】 【分析】根據(jù)為奇函數(shù)且單調(diào)遞減，得到，即可判定AC，代入結(jié)合函數(shù)的奇偶性即可判定B,根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D．【詳解】為奇函數(shù)，則，所以，因為在R上單調(diào)遞減，，故，所以，A錯誤，C正確；,B正確；因為為R上的奇函數(shù)，所以，即，D正確．故選：BCD．三、填空題（本大題共4小題，每題4分，共16分）13.計算：______.【答案】5【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)以及對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.【詳解】，故答案為：14.已知函數(shù)（且）在上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是___________________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)復合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】為開口向上，且對稱軸為的二次函數(shù)，要使（且）在上是減函數(shù)，則需滿足：或，解得， 故答案為：15.已知函數(shù)，若且，則的取值范圍是___________．【答案】【解析】分析】【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖所示．∵時，，∴，即，則，∴，且，∴，即的取值范圍是，故答案為.16.已知函數(shù)，（，a為常數(shù)）有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍是_________.【答案】【解析】【分析】確定函數(shù)解析式，當時有1個零點，當時有2個零點，解得答案.【詳解】，函數(shù)有3個零點， 當時有1個零點，故或，解得或；當時有2個零點，，故，解得；綜上所述：.故答案為：.四、解答題（本大題共4小題，共36分）17.已知α為第一象限角，且tanα＝.(1)求的值；(2)求2sinα－cosα的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）分子分母同除以，利用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系化弦為切，代入計算即得；（2）根據(jù)利用商數(shù)關(guān)系得到，結(jié)合平方關(guān)系，并注意到角所在的象限，解方程組求得α的正余弦，進而得解.【詳解】（1）原式.（2）因為，所以.又，所以.因為為第一象限角，所以，，故18.已知函數(shù)（）的最大值與最小值分別為3和．求a的取值范圍． 【答案】【解析】【分析】應用對數(shù)運算性質(zhì)得，換元法令，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求最值對應的，進而求參數(shù)范圍.【詳解】，令，則可化為，函數(shù)的最大值與最小值分別為和，所以或時；時，又，則，故，∴，解得，∴的取值范圍為19.已知函數(shù)是奇函數(shù).（1）求的值，判斷的單調(diào)性并用定義證明之﹔（2）解不等式：.【答案】（1），是上的遞增函數(shù)，證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的定義域是和奇函數(shù)的定義得，可解得，得出函數(shù)的解析式，先將函數(shù)的解析式變形為，判斷出的單調(diào)性.再取，且，作差，并判斷其符號，可得證函數(shù)的單調(diào)性；即，故是上的遞增函數(shù).（2）利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解得不等式為，再由絕對值不等式，指數(shù)不等式求得原不等式的解集． 【詳解】（1）由已知得函數(shù)定義域是，則有，所以，解得，即，此時滿足題意.，由此可判斷出是上的遞增函數(shù).以下用定義證明：，且，則，所以，即，故是上的遞增函數(shù).（2）由得，所以或，即：或或或，所以不等式的解集為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的綜合應用，解決的關(guān)鍵在于運用函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，層層轉(zhuǎn)化不等式求解．20.已知定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足．（1）求函數(shù)和的解析式；（2）求函數(shù)，的最小值．【答案】（1），（2）答案見解析【解析】【分析】（1）利用奇偶性得到關(guān)系式，結(jié)合題意可求出函數(shù)和的解析式；（2）求出的解析式，結(jié)合換元法及二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論求解最小值.【小問1詳解】 由定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，則，，∵①，∴，即②，聯(lián)立①②解得：，.【小問2詳解】，令，可知在上單調(diào)遞增，則，又，令，當，即時，在時單調(diào)遞增，則；當，即時，在時單調(diào)遞減，在時單調(diào)遞增，則；當，即時，在時單調(diào)遞減，則；綜上，當時，的最小值為0；當時，的最小值為；當時，的最小值為．