吉林省通化市梅河口市第五中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)Word版含解析.docx

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高三數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.2.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則（）A.B.C.D.3.已知函數(shù)，則“在區(qū)間上單調(diào)遞增”的一個充分不必要條件為（）A.B.CD.4.老張為鍛煉身體，增強體質(zhì)，計劃從下個月號開始慢跑，第一天跑步公里，以后每天跑步比前一天增加的距離相同.若老張打算用天跑完公里，則預(yù)計這天中老張日跑步量超過公里的天數(shù)為（）A.B.C.D.5.兩直線與平行，則它們之間距離為（　?。〢.B.C.D.6.已知直線與直線相交于點P，點，O為坐標(biāo)原點，則的最大值為（）A.B.C.1D.7.設(shè)拋物線的焦點為F，過F的直線l與拋物線交于點A，B，與圓交于點P，Q，其中點A，P在第一象限，則的最小值為（）A.B.C.D.8.設(shè)，，，則的大小關(guān)系正確的是（）AB.C.D. 二、多選題（每題5分，共計20分，少選2分，錯選0分）9.下列命題正確的是（）A.已知點，，若直線與線段有交點，則或B.是直線：與直線：垂直的充分不必要條件C.經(jīng)過點且在軸和軸上的截距都相等的直線的方程為D.已知直線，：，，和兩點，，如果與交于點，則的最大值是.10.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，公差為．已知，，，則（）A.B.數(shù)列的最大項為第9項C.時，的最小值為17D.11.已知拋物線，C的準(zhǔn)線與x軸交于K，過焦點F的直線l與C交于P、Q兩點，設(shè)的中點為M，過M作的垂線交x軸于D，下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.最小值為pD.12.如圖，正方體中，頂點在平面內(nèi)，其余頂點在的同側(cè)，頂點到的距離分別為，則（）A.平面B.平面平面C.直線與所成角比直線與所成角大 D.正方體棱長為三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知集合，若，則實數(shù)________．14.在三棱錐中，平面，則三棱錐的內(nèi)切球的表面積等于__________.15.已知函數(shù)的定義域為，且的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，則同時滿足下列三個條件的一個的解析式為__________.①，；②為奇函數(shù)；③在上單調(diào)遞減.16.已知，，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，若的值最小，則________．四、解答題；本題共6個小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知函數(shù)（1）求函數(shù)在的單調(diào)遞減區(qū)間;（2）求函數(shù)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值.18.設(shè)數(shù)列的前項和為，已知．?dāng)?shù)列是首項為，公差不為零的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若，數(shù)列的前項和為，且恒成立，求的取值范圍．19.1.某科研機構(gòu)為了研究某種藥物對某種疾病的治療效果，準(zhǔn)備利用小白鼠進行科學(xué)試驗．研究發(fā)現(xiàn)，藥物在血液內(nèi)的濃度與時間的關(guān)系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式給藥，則在注射后的4小時內(nèi)，藥物在白鼠血液內(nèi)的濃度（單位：毫克/升）與時間t（單位：小時）滿足關(guān)系式（，a為常數(shù)）；若使用口服方式給藥，則藥物在白鼠血液內(nèi)的濃度（單位：毫克/升）與時間t （單位：小時）滿足關(guān)系式現(xiàn)對小白鼠同時進行注射和口服該種藥物，且注射藥物和口服藥物的吸收與代謝互不干擾．假設(shè)同時使用兩種方式給藥后，小白鼠血液中藥物的濃度等于單獨使用每種方式給藥的濃度之和．（1）若，求4小時內(nèi)，該小白鼠何時血液中藥物的濃度最高，并求出最大值；（2）若要使小白鼠在用藥后4小時內(nèi)血液中的藥物濃度都不低于4毫克/升，求正數(shù)a的取值范圍．20.在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且滿足________.（1）求；（2）若的面積為，的中點為，求的最小值.21.已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時，求證：在上單調(diào)遞減；（2）若有兩個不相等的實數(shù)根．（?。┣髮崝?shù)的取值范圍；（ⅱ）求證：．22已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的極值；（2）若，求的值；（3）求證：. 高三數(shù)學(xué)一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，求得集合，，結(jié)合集合交集的概念及運算，即可求解.【詳解】由題意，集合，，根據(jù)集合交集的概念及運算，可得.故選：C.2.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法運算化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)純虛數(shù)的概念列方程即可得解.【詳解】，所以，解得，故選：A.3.已知函數(shù)，則“在區(qū)間上單調(diào)遞增”的一個充分不必要條件為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性并運用充分不必要條件的定義即可得到.【詳解】在區(qū)間上單調(diào)遞增等價于在區(qū)間上大于等于恒成立，即在上恒成立，即，故是的充分不必要條件，故D正確.故選：D.4.老張為鍛煉身體，增強體質(zhì)，計劃從下個月號開始慢跑，第一天跑步公里，以后每天跑步比前一天增加的距離相同.若老張打算用天跑完公里，則預(yù)計這天中老張日跑步量超過公里的天數(shù)為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由已知可得這天日跑步量成等差數(shù)列，再根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求解.【詳解】由已知可得這天日跑步量成等差數(shù)列，記為，設(shè)其公差為，前項和為，且則，即，解得，所以，由，得，解得，所以這天中老張日跑步量超過公里的天數(shù)為天，故選：B.5.兩直線與平行，則它們之間距離為（　　）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】 根據(jù)兩直線平行求得的值，利用平行線間距離公式求解即可.【詳解】與平行,,即直線為,即故選：B6.已知直線與直線相交于點P，點，O為坐標(biāo)原點，則的最大值為（）A.B.C.1D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件求出點P的軌跡，再借助幾何圖形，數(shù)形結(jié)合求解作答.【詳解】直線恒過定點，直線恒過定點，而，即直線與直線垂直，當(dāng)P與N不重合時，，，當(dāng)P與N重合時，，令點，則，，于是得，顯然點P與M不重合，因此，點P的軌跡是以原點為圓心，2為半徑的圓（除點M外），如圖，觀察圖形知，射線AP繞點A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到與圓O：相切時，最大，最大， 因，為切線，點為切點，，，則，所以最大值為，.故選：B【點睛】思路點睛：涉及在垂直條件下求動點的軌跡問題，可以借助向量垂直的坐標(biāo)表示求解，以簡化計算，快捷解決問題.7.設(shè)拋物線的焦點為F，過F的直線l與拋物線交于點A，B，與圓交于點P，Q，其中點A，P在第一象限，則的最小值為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)拋物線與圓的位置關(guān)系，利用拋物線的焦半徑公式，將表示為焦半徑與半徑的關(guān)系，然后根據(jù)坐標(biāo)的特點結(jié)合基本不等式求解出的最小值.【詳解】如圖所示：因為圓的方程為即為，所以圓心為即為拋物線的焦點且半徑因為，所以，又因為，，所以，設(shè)，所以，所以，所以， 所以，取等號時.綜上可知：.故選：D.【點睛】本題考查拋物線與圓的綜合應(yīng)用，著重考查了拋物線的焦半徑公式的運用，難度較難.(1)已知拋物線上任意一點以及焦點，則有；(2)當(dāng)過焦點的直線與拋物線相交于，則有.8.設(shè)，，，則的大小關(guān)系正確的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)比較a，b，構(gòu)造函數(shù)比較a，c作答.【詳解】令函數(shù)，，當(dāng)時，，即在上遞減，則當(dāng)時，，即，因此，即；令函數(shù)，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時，，即，因此，即，所以的大小關(guān)系正確的是.故選：B【點睛】思路點睛：某些數(shù)或式大小關(guān)系問題，細心挖掘問題的內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)，分析并運用函數(shù)的單調(diào)性解題，它能起到化難為易、化繁為簡的作用.二、多選題（每題5分，共計20分，少選2分，錯選0分）9.下列命題正確的是（）A.已知點，，若直線與線段有交點，則或B.是直線：與直線：垂直的充分不必要條件 C.經(jīng)過點且在軸和軸上的截距都相等的直線的方程為D.已知直線，：，，和兩點，，如果與交于點，則的最大值是.【答案】ABD【解析】【分析】利用數(shù)形結(jié)合可判斷A，利用兩條直線垂直的條件及充分條件必要條件的定義可判斷B，可求出過點且在軸和軸上的截距都相等的直線的方程判斷C，利用條件可得兩直線垂直，再利用基本不等式可求最值判斷D.【詳解】對于A，∵直線過定點，又點，，∴，如圖可知若直線與線段有交點，則或，故A正確；對于B，由直線：與直線：垂直得，，解得或，故是直線：與直線：垂直的充分不必要條件，故B正確；對于C，當(dāng)直線過原點時，直線為，當(dāng)直線不過原點時，可設(shè)直線為，代入點，得，所以直線方程為，故經(jīng)過點且在軸和軸上的截距都相等的直線的方程為或，故C錯誤；對于D，∵直線，：， 又，所以兩直線垂直，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故D正確.故選：ABD10.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，公差為．已知，，，則（）A.B.數(shù)列的最大項為第9項C.時，的最小值為17D.【答案】ACD【解析】【分析】求得的關(guān)系式，然后對選項進行分析，從而確定正確選項.【詳解】依題意等差數(shù)列滿足，，，，，，，，，，則AD正確.，，C選項正確.由上述分析可知，，，所以，數(shù)列的最大項不是第9項，B選項錯誤.故選：ACD11.已知拋物線，C的準(zhǔn)線與x軸交于K，過焦點F的直線l與C交于P、Q兩點，設(shè)的中點為M，過M作的垂線交x軸于D，下列結(jié)論正確的是（） A.B.C.最小值為pD.【答案】ABD【解析】【分析】求出拋物線的焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程，設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理、斜率坐標(biāo)公式逐項分析判斷作答.【詳解】拋物線焦點，準(zhǔn)線方程為，則，顯然直線不垂直于坐標(biāo)軸，設(shè)直線的方程為，，由消去x得：，設(shè)，則有，，對于A，直線斜率，直線斜率，即，因此，A正確；對于B，，則，B正確； 對于C，顯然，C錯誤；對于D，顯然點，直線的方程為，令，得，即點，因此，D正確.故選：ABD12.如圖，正方體中，頂點在平面內(nèi)，其余頂點在的同側(cè)，頂點到的距離分別為，則（）A.平面B.平面平面C.直線與所成角比直線與所成角大D.正方體的棱長為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)點到面的距離的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理、線面角的定義、面面相交的性質(zhì)進行求解判斷即可.【詳解】解：設(shè)的交點為，顯然是、的中點，因為平面，到平面的距離為，所以到平面的距離為，又到平面的距離為，所以平面，即平面，即A正確；設(shè)平面，所以，因為是正方形，所以， 又因為平面，平面，所以，因為平面，所以平面，因此有平面，而，所以平面平面，因此選項B正確；設(shè)到平面的距離為，因為平面，是正方形，點，B到的距離分別為，1，所以有，設(shè)正方體的棱長為，設(shè)直線與所成角為，所以，設(shè)直線與所成角為，所以，因為，所以，因此選項C不正確；因為平面平面，平面平面，所以在平面的射影與共線，顯然，如圖所示：由，，由（負值舍去）， 因此選項D正確，故選：ABD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13已知集合，若，則實數(shù)________．【答案】【解析】【分析】利用元素與集合的關(guān)系可得出關(guān)于的等式，解之即可.【詳解】因為集合，若，則，解得.故答案為：.14.在三棱錐中，平面，則三棱錐的內(nèi)切球的表面積等于__________.【答案】【解析】【分析】首先利用等體積法求出內(nèi)切球半徑，再利用球的表面積公式求答案即可.【詳解】如圖，由已知，得的面積為，因為三棱錐的高為，所以，等腰三角形底邊上的高為，所以三棱錐的表面積為，體積.又三棱錐的體積（其中為三棱錐內(nèi)切球的半徑）， 所以，所以三棱錐的內(nèi)切球的表面積為.故答案為：.15.已知函數(shù)的定義域為，且的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，則同時滿足下列三個條件的一個的解析式為__________.①，；②為奇函數(shù)；③在上單調(diào)遞減.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)直接得解.【詳解】由題意為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，可假設(shè)，此時，，即①成立，故答案為：（答案不唯一）.16.已知，，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，若的值最小，則________．【答案】3【解析】【分析】結(jié)合等差數(shù)列的通項公式，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題可解.【詳解】∵數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，可設(shè)：.∴∴當(dāng)時，的值最小.故答案為：3四、解答題；本題共6個小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知函數(shù) （1）求函數(shù)在單調(diào)遞減區(qū)間;（2）求函數(shù)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）最小正周期為；最大值為和最小值為.【解析】【分析】（1）由題可得，求得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，進而求得函數(shù)在的單調(diào)遞減區(qū)間即可；（2）根據(jù)求得最小正周期即可；由求得的取值范圍即可求得區(qū)間上的最大值和最小值.【詳解】解：（1），由，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，所以，函數(shù)在單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）.因為時，，所以，所以，所以在區(qū)間上的最大值為和最小值為.【點睛】本題主要考查三角恒等變換，正弦型函數(shù)的最小正周期，單調(diào)性，最值，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題.18.設(shè)數(shù)列的前項和為，已知．?dāng)?shù)列是首項為 ，公差不為零的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若，數(shù)列的前項和為，且恒成立，求的取值范圍．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）運用數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的通項公式可得，再由等差數(shù)列的通項公式以及等比的定義，解方程可得公差，進而得到所求通項公式；（2）利用錯位相減法求出，易得，進而可得結(jié)果.【詳解】（1）∵，當(dāng)時，，兩式相減化簡可得：,即數(shù)列是以3為公比的等比數(shù)列，又∵，∴，解得，即，設(shè)數(shù)列的公差為，，∵成等比數(shù)列，∴，解得或（舍去），即，∴數(shù)列和的通項公式為，.（2）由（1）得，∴，， 兩式相減得：∴，即有恒成立，恒成立，可得，即的范圍是.【點睛】一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比，然后作差求解．19.1.某科研機構(gòu)為了研究某種藥物對某種疾病的治療效果，準(zhǔn)備利用小白鼠進行科學(xué)試驗．研究發(fā)現(xiàn)，藥物在血液內(nèi)的濃度與時間的關(guān)系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式給藥，則在注射后的4小時內(nèi)，藥物在白鼠血液內(nèi)的濃度（單位：毫克/升）與時間t（單位：小時）滿足關(guān)系式（，a為常數(shù)）；若使用口服方式給藥，則藥物在白鼠血液內(nèi)的濃度（單位：毫克/升）與時間t（單位：小時）滿足關(guān)系式現(xiàn)對小白鼠同時進行注射和口服該種藥物，且注射藥物和口服藥物的吸收與代謝互不干擾．假設(shè)同時使用兩種方式給藥后，小白鼠血液中藥物的濃度等于單獨使用每種方式給藥的濃度之和．（1）若，求4小時內(nèi)，該小白鼠何時血液中藥物的濃度最高，并求出最大值；（2）若要使小白鼠在用藥后4小時內(nèi)血液中的藥物濃度都不低于4毫克/升，求正數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）當(dāng)時血液中藥物的濃度最高，最大值為6（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系式，進而結(jié)合二次函數(shù)最值求法和基本不等式求得答案；（2）討論和兩種情況，小問1詳解】當(dāng)時，藥物在白鼠血液內(nèi)的濃度y與時間t的關(guān)系為 ①當(dāng)時，．②當(dāng)時，因為（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），所以．故當(dāng)時血液中藥物的濃度最高，最大值為6．【小問2詳解】由題意得①當(dāng)時，，設(shè)，則，，則，故；②當(dāng)時，，由，得，令，則，，則，故．綜上，．20.在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且滿足________.（1）求；（2）若的面積為，的中點為，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）選①，利用正弦定理的邊角互化以及誘導(dǎo)公式可求解；選②，利用正弦定理的邊角互化即可求解；選③，利用正弦定理的邊角互化以及兩角差的正弦公式即可求解.（2）利用三角形的面積公式可得，再由余弦定理以及基本不等式即可求解.【小問1詳解】選①，由正弦定理可得，又因為，可得，即，所以，又因為，所以，所以，解得.②，由正弦定理可得，即，整理可得，又因為，解得，因為，所以.③，由正弦定理可得，整理可得，即，即，所以或（舍），即，即，解得.【小問2詳解】 ，解得，由余弦定理可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即取等號，所以的最小值為.21.已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時，求證：在上單調(diào)遞減；（2）若有兩個不相等的實數(shù)根．（?。┣髮崝?shù)的取值范圍；（ⅱ）求證：．【答案】（1）證明見詳解（2）（i），（ii）證明見詳解【解析】【分析】（1）當(dāng)時，利用導(dǎo)數(shù)可證明函數(shù)單調(diào)性；（2）（i）方程有兩個不等的實數(shù)根，即有兩個不等的實數(shù)根，令，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，求出最值可得解；（ii）要證，即證，又，，即證，可得，令，即證，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可證明.【小問1詳解】當(dāng)時，，，令，， 令，得，，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】（i）有兩個不相等的實數(shù)根，，即方程有兩個不相等的實數(shù)根，，令，，，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)至多一個零點，不合題意；當(dāng)時，，，，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，函數(shù)有兩個零點，則，解得，又，，不妨設(shè)，，所以實數(shù)的取值范圍為.（ii）要證，即證，又，，，即證，將，兩式相減可得，，只需證，即證，令，即證； 設(shè)函數(shù)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，所以原不等式得證.【點睛】方法點睛：本題第二問的第2小問是雙變量不等式問題，利用導(dǎo)數(shù)解決的方法如下：（1）變更主元法：對于題目涉及到的兩個變元，，已知其中一個變元在題設(shè)給定的范圍內(nèi)任意變動，求另一外變元的取值范圍問題，可以構(gòu)造關(guān)于（或）的一元函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，最值求解證明.?（2）換元法轉(zhuǎn)化為單變量：通過對所要證明式子結(jié)構(gòu)特征的分析，做適當(dāng)?shù)淖冃?，通過換元將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題來解決，如指數(shù)型函數(shù)構(gòu)造差值，對數(shù)型函數(shù)構(gòu)造比值化雙變量為單變量問題，從而構(gòu)造函數(shù)求解；（3）放縮法：通過巧妙的放縮變換，將給定的不等式轉(zhuǎn)化為更易證明的形式，常見的放縮有加減放縮，乘除，取對數(shù)，去倒數(shù)，切線放縮等.22.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的極值；（2）若，求的值；（3）求證：.【答案】（1）在處取得極小值，無極大值（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得最值；（2）分情況討論函數(shù)的單調(diào)性與最值情況，可得參數(shù)值；（3）利用放縮法，由，可知若證，即證，再根據(jù)，可得證.【小問1詳解】 當(dāng)時，，，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，無極大值；【小問2詳解】由題意得，①當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，與矛盾；②當(dāng)時，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，因為恒成立，所以，記，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，所以，又，所以，所以；【小問3詳解】證明：先證，設(shè)，則， 所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，所以，再證，由（2）可知，當(dāng)時等號成立，令，則，即，所以，，，累加可得，所以.【點睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．