四川省瀘州市瀘縣第一中學2023-2024學年高二上學期12月月考數(shù)學Word版含解析.docx

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瀘縣一中2023-2024學年高二上學期第三學月考試數(shù)學試題第Ⅰ卷選擇題（60分）一、單選題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分）1.設復數(shù)z的共軛復數(shù)為，若復數(shù)z滿足2z+=3-2i，則z=（）A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i【答案】B【解析】【分析】設出復數(shù)z和共軛復數(shù)為，代入2z+=3-2i即可得出答案.【詳解】設則其共軛復數(shù)=a-bi,所以所以由復數(shù)相等的概念可知解得所以故選：B2.下面的事件：①在標準大氣壓下，水加熱到時會沸騰；②，則；③一枚硬幣連擲兩次，兩次都出現(xiàn)正面向上．其中是不可能事件的為（）A.②B.①C.①②D.③【答案】B【解析】【分析】利用必然事件，不可能事件，隨機事件的概念判斷即可.【詳解】對于①，在標準大氣壓下，水加熱到沸騰的概率為，為不可能事件；對于②，由乘法交換律可知：，則發(fā)生概率為，為必然事件； 對于③，一枚硬幣連擲兩次，兩次都出現(xiàn)正面向上隨機事件.故選：B.3.如圖一個電路中有三個電器元件，每一個電器元件正常通電的概率均為0.9，且每一個電器元件是否正常通電相互獨立，則該電路能正常通電的概率為（）.A.0.729B.0.81C.0.891D.0.99【答案】C【解析】【分析】分析出要想該電路能正常通電，則要正常，中至少一個正常，結合組合知識求出概率.【詳解】要想該電路能正常通電，則要正常，中至少一個正常，故該電路能正常通電的概率為.故選：C4.已知方程表示焦點在軸上的橢圓，則的取值范圍是A.B.C.D.【答案】B【解析】【詳解】由題意可得關于實數(shù)m的不等式組：，解得：，綜上可得：的取值范圍是.本題選擇B選項.5.已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】由題知，，進而利用向量求解異面直線所成角即可.【詳解】解：由題知，在直三棱柱中，平面，平面，∵平面，平面，∴，，∵，，∴.∵，，∴，∴異面直線與所成角的余弦值為故選：C.6.已知，直線和直線與兩坐標軸圍成一個四邊形.則使這個四邊形面積最小的值為.A2B.C.D.【答案】D【解析】【詳解】易知，直線和都過定點.在中，令，得； 在中，令，得.聯(lián)結.則.所以，當時，四邊形的面積最小.故答案為D7.已知拋物線的焦點為圓的圓心，又經(jīng)過拋物線C的焦點且傾斜角為60°的直線交拋物線C于A、B兩點，則（）A.12B.14C.16D.18【答案】C【解析】【分析】由已知求出，得出直線方程，聯(lián)立直線與拋物線，利用弦長公式即可求出.【詳解】由題可得拋物線焦點為，則，即，則拋物線方程為，直線的傾斜角為60°，則斜率為，故直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線可得，設，則，則.故選：C.【點睛】方法點睛：解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：（1）得出直線方程，設交點為，；（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關于（或）的一元二次方程；（3）寫出韋達定理；（4）將所求問題或題中關系轉(zhuǎn)化為形式；（5）代入韋達定理求解. 8.已知橢圓與雙曲線具有相同焦點、，是它們的一個交點，則，記橢圓與雙曲線的離心率分別為、，則的最小值是（）A.3B.4C.5D.6【答案】A【解析】【分析】利用橢圓與雙曲線的定義把、用表示，在中由余弦定理得出的關系，從而轉(zhuǎn)化得出的等式，然后由基本不等式求得最小值．【詳解】設為第一象限的交點，，，則由橢圓和雙曲線的定義可知，，在中由余弦定理得：，即：，，即：，，當且僅當，即時，取得最小值為3．故選：A．二.多選題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分）9.（多選）已知，，，，是空間五點，且任何三點不共線.若，，與，，均不能構成空間的一個基底，則下列結論中正確的有（）A.，，不能構成空間的一個基底B.，，不能構成空間的一個基底C.，，不能構成空間的一個基底D.，，能構成空間的一個基底 【答案】ABC【解析】【分析】由，，與，，均不能構成空間的一個基底，可得空間五點，，，，共面，從而可作判斷【詳解】解：因為，，與，，均不能構成空間的一個基底，且，，，，是空間五點，且任何三點不共線所以空間五點，，，，共面，所以這五點，，，，中，任意兩個點組成的三個向量都不可能構成空間的一個基底，所以ABC正確，D錯誤.故選：ABC【點睛】此題考查空間向量基本定理，屬于基礎題10.將一枚骰子向上拋擲一次，設事件{向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點}，事件{向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)不超過2}，事件{向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)不小于4}，則下列說法中正確的有（）A.B.{向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)大于3}C.{向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)不小于3}D.{向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)為2}【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題意，分別得到事件包含的樣本點，然后對選項逐一判斷，即可得到結果.【詳解】由題意可知事件包含的樣本點：向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)為；事件包含的樣本點：向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)為；事件包含的樣本點：向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)為；所以{向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)為}，故A錯誤；{向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)為或或}，故B正確；{向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)為或或或}，故C正確；，故D錯誤； 故選：BC11.已知圓的方程為，則下列結論中正確的是（）A.實數(shù)k的取值范圍是B.實數(shù)k的取值范圍是C.當圓的周長最大時，圓心坐標是D.圓的最大面積是π【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意，將圓的一般式方程化為標準式方程，然后對選項逐一判斷，即可得到結果.【詳解】將圓的方程為化為標準式為，由，解得，故A正確，B錯誤；當時，圓的半徑最大，則圓的周長以及面積最大，此時半徑為，圓心坐標為，則圓的面積為，故CD正確；故選：ACD12.已知O為坐標原點，橢圓E的方程為，離心率為，為E上一點，過點A作兩條直線分別與E交于B，C兩點，且直線AB與直線AC的傾斜角互補，則下列結論正確的是（）A.橢圓E的長軸長為B.直線BC斜率為定值C.點O到直線BC的距離為定值D.若，則直線BC的方程為【答案】BD【解析】【分析】對于選項A，利用點在曲線上和橢圓離心率公式及橢圓中的關系即可求解. 對于選項B，設出直線AB的方程與橢圓聯(lián)立，消去，得關于的一元二次方程，利用韋達定理寫出橫坐標的關系，進而得到點B的橫坐標，代入直線AB求出點B縱坐標，利用已知條件寫出點C的坐標，利用兩點求斜率公式即可求解.對于選項C，設出直線BC的方程，利用點到直線的距離公式即可求解.對于選項D，聯(lián)立直線BC與橢圓的方程,消去，得關于的一元二次方程，利用韋達定理寫出橫坐標的關系，由，利用兩直線垂直的充要條件即可求解.【詳解】對于選項A，由題意得，，結合，得，，所以橢圓E的長周長為，故A錯誤.對于選項B，由A得橢圓E方程為，設，，由題意知直線AB的斜率存在且不為0，設直線AB的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立，得，則，得，，即.因為直線AB與直線AC的傾斜角互補，所以直線AC的斜率為﹣k，同理可得，故直線BC的斜率，為定值，故B正確.對于選項C，由B知可設直線BC的方程為，則原點O到直線BC的距離，不是定值，故C錯誤.對于選項D，聯(lián)立直線BC與橢圓的方程，得，整理得，，即，則，， 由，得，整理得，得，，此時直線BC的方程為，故D正確.故選：BD.第Ⅱ卷非選擇題（90分）三.填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分）13.拋物線上一點到焦點的距離為__________．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義，結合代入法進行求解即可.【詳解】因為，所以點在該拋物線上，又拋物線的準線方程為：，所以點到焦點的距離為：，故答案為：314.甲、乙兩人參加“社會主義價值觀”知識競賽，兩人獲一等獎的概率分別為和，若兩人是否獲得一等獎相互獨立，則這兩人中恰有一人獲得一等獎的概率為_____.【答案】【解析】【分析】甲乙兩人中恰有一人獲得一等獎的情況是甲獲得一等獎乙未獲得一等獎和乙獲得一等獎甲未獲得一等獎兩種情況，由相互獨立事件概率得解.【詳解】設甲乙分別獲一等獎的概率為和，則這兩人中恰有一人獲得一等獎的概率故答案為：【點睛】本題考查互獨立事件概率，屬于基礎題. 15.已知向量，且，則____________．【答案】3【解析】【分析】利用向量的坐標運算求得求出，根據(jù)空間向量模的公式列方程求解即可.【詳解】因為，所以，可得，因為，解得，故答案為3.16.已知分別為雙曲線的左、右焦點，是左支上一點，，若存在點滿足，則的離心率為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得，，再由雙曲線的定義，結合離心率的公式代入計算，即可得到結果.【詳解】因為，所以是的中點，又為的中點，所以，因為，所以，所以，設，則，，且在雙曲線上，則，即，又，即， 所以.故答案為：.四、解答題（本大題共6個大題，共70分）17.已知離心率為的雙曲線C與橢圓的焦點相同.（1）求雙曲線C的標準方程；（2）求雙曲線C的焦點到漸近線的距離.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件取得雙曲線的，從而求得雙曲線的標準方程.（2）利用點到直線的距離公式求得正確答案.【小問1詳解】橢圓的焦點坐標為，設雙曲線的方程為，，所以雙曲線的半焦距.又由，得，所以，所以雙曲線C的標準方程為.【小問2詳解】由（1）知，雙曲線C的焦點坐標為，漸近線方程為，所以雙曲線C的焦點到漸近線的距離為.18.已知圓和點．（1）過點M向圓O引切線，求切線的方程； （2）求以點M為圓心，且被直線截得的弦長為8的圓M的方程；【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）當直線斜率不存在時，方程為，滿足題意；當直線有斜率時，設直線方程為，由點到直線的距離公式可得值，可得方程；（2）設以點M為圓心圓的半徑為r，由題意可得圓心M到直線的距離d滿足，由點到直線的距離公式可得d值，可得答案.【小問1詳解】若過點M的直線斜率不存在，直線方程為：，為圓O的切線；當切線l的斜率存在時，設直線方程為：，即，∴圓心O到切線的距離為：，解得：∴直線方程為：．綜上，切線的方程為：或【小問2詳解】點到直線的距離為：，又∵圓被直線截得的弦長為8，由垂徑定理得：，∴∴圓M的方程為：19.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為菱形，點E在SD上，且． （1）若M，N分別為SA，SC的中點，證明：平面平面ACE；（2）若，，，平面ABCD，求直線BS與平面ACE所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接交于點，連接交于，取的中點，連接，由M，N分別為SA，SC的中點，可得∥，由線面平行的判定可得∥平面，再由結合菱形的性質(zhì)可得∥,則得∥平面，再利用面面平行的判定可證得結論，（2）取的中點，連接，以為原點，所在的直線分別為建立空間直角坐標系，利用空間向量求解【小問1詳解】證明：連接交于點，連接交于，取的中點，連接，因為M，N分別為SA，SC的中點，所以∥，因為平面，平面，所以∥平面，因為，為的中點，所以，因為N為SC的中點，所以∥，所以為的中點，因為底面ABCD為菱形，所以為的中點，所以∥,因為平面，平面，所以∥平面，因為，所以平面∥平面， 【小問2詳解】取的中點，連接，因為平面ABCD，平面，所以，因為底面ABCD為菱形，所以為等邊三角形，所以，因為∥，所以，所以以為原點，所在的直線分別為建立空間直角坐標系，如圖所示，則，因為，所以，所以，設平面的一個法向量為，則，令，則，設直線BS與平面ACE所成角為，則，所以直線BS與平面ACE所成角的正弦值為 20.眉山市位于四川西南，有“千載詩書城，人文第一州”的美譽，這里是大文豪蘇軾、蘇洵、蘇轍的故鄉(xiāng)，也是人們旅游的好地方.在今年的國慶黃金周，為了豐富游客的文化生活，每天在東坡故里三蘇祠舉行“三蘇文化”知識競賽.已知甲、乙兩隊參賽，每隊3人，每人回答一個問題，答對者為本隊贏得一分，答錯得零分.假設甲隊中每人答對的概率均為，乙隊中3人答對的概率分別為，，，且各人回答正確與否相互之間沒有影響.（1）分別求甲隊總得分為0分；2分的概率；（2）求甲隊得2分乙隊得1分的概率.【答案】(1)0分概率；2分概率；(2)【解析】【分析】（1）記“甲隊總得分為0分”為事件，“甲隊總得分為2分”為事件，分析可知A事件三人都沒有答對，按相互獨立事件同時發(fā)生計算概率，B事件即甲隊三人中有1人答錯，其余兩人答對，由n次獨立事件恰有k次發(fā)生計算即可（2）記“乙隊得1分”為事件，“甲隊得2分乙隊得1分”為事件，分別有互斥事件概率加法公式及相互獨立事件乘法公式計算即可.【詳解】（1）記“甲隊總得分為0分”為事件，“甲隊總得分為2分”為事件，甲隊總得分為0分，即甲隊三人都回答錯誤，其概率；甲隊總得分為2分，即甲隊三人中有1人答錯，其余兩人答對，其概率；（2）記“乙隊得1分”為事件，“甲隊得2分乙隊得1分”為事件；事件即乙隊三人中有2人答錯，其余1人答對，則，甲隊得2分乙隊得1分即事件、同時發(fā)生， 則．【點睛】本題主要考查了相互獨立事件的概率計算，涉及n次獨立事件中恰有k次發(fā)生的概率公式的應用，互斥事件的概率加法公式，屬于中檔題.21.已知拋物線的焦點是曲線的一個焦點，為坐標原點，點為拋物線上任意一點，過點作軸的平行線交拋物線的準線于，直線交拋物線于點.（1）求拋物線的方程；（2）求證：直線過定點，并求出此定點的坐標.【答案】（1）（2）證明詳見解析，定點坐標為【解析】【分析】（1）根據(jù)曲線的焦點求得，進而求得拋物線的方程.（2）設出點坐標，求得直線的方程并與拋物線的方程聯(lián)立，求得點坐標，進而對直線過定點進行判斷.【小問1詳解】曲線，即，所以曲線是雙曲線，，所以，所以拋物線的方程為.【小問2詳解】拋物線的準線方程為，設，且，所以，直線的方程為，由解得，所以，①當，即時，直線的方程為，過點. ②當，即時，直線的方程為，整理得的方程為，此時直線恒過定點綜上所述，直線的方程恒過定點.22.已知橢圓的一個頂點為，焦距為．（1）求橢圓E的方程；（2）過點作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點M，N，當時，求k的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依題意可得，即可求出，從而求出橢圓方程；（2）首先表示出直線方程，設、，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達定理，由直線、的方程，表示出、，根據(jù)得到方程，解得即可；【小問1詳解】解：依題意可得，，又，所以，所以橢圓方程為；【小問2詳解】解：依題意過點的直線為，設、，不妨令， 由，消去整理得，所以，解得，所以，，直線的方程為，令，解得，直線的方程為，令，解得，所以，所以，即即即整理得，解得