陜西省西安市鐵一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

《陜西省西安市鐵一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué) Word版含解析.docx》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

2023-2024~1高二年級期中考試數(shù)學(xué)試卷時間：120分鐘滿分：150分一、單項選擇題．本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求．1.已知，，則的值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，；【詳解】解：因為，，所以，因為，所以，所以故選：A2.已知且，則的最小值為（）A.B.10C.9D.【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解.【詳解】由可得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號， 所以的最小值為9，故選:C.3.函數(shù)的部分圖象大致為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)的奇偶性，可排除A，C，根據(jù)當(dāng)時，即可排除B．得出答案.【詳解】因為，所以，所以為奇函數(shù)，故排除A，C．當(dāng)時，，，則，故排除B，故選:D．【點睛】思路點睛：函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.4.如圖，正方體的棱長為，線段上有兩個動點，，且，則下列結(jié)論中錯誤的是（） A.B.平面C.直線與平面所成的角為定值D.異面直線，所成的角為定值【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線線垂直、線面平行、線面角、線線角等知識對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】對于A，連接，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，而平面，所以平面，又平面，所以，故A正確.對于B，因為，平面，平面，所以平面，又?在直線上運動，平面，故B正確.對于C，直線與平面所成的角即為直線與平面所成的角，故為定值，故C正確.對于D，設(shè)，當(dāng)點在處，為的中點時，由于，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以異面直線所成的角是，由于平面，平面，所以，所以. 當(dāng)在上底面的中心，在的位置時，同理可得是異面直線所成的角，且.故D不正確.故選：D5.宋代制酒業(yè)很發(fā)達(dá)，為了存儲方便，酒缸是要一層一層堆起來的，形成堆垛，用簡便的方法算出堆垛中酒缸的總數(shù)，古代稱之為堆垛術(shù).有這么一道關(guān)于“堆垛”求和的問題：將半徑相等的圓球堆成一個三角垛，底層是每邊為n個圓球的三角形，向上逐層每邊減少一個圓球，頂層為一個圓球，記自上而下第n層的圓球總數(shù)為，容易發(fā)現(xiàn)：，，，則（）A.45B.40C.35D.30【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，歸納推理，第層的圓球總數(shù)個數(shù)表達(dá)式，再將，，代入求解即可．【詳解】當(dāng)時，第1層的圓球總數(shù)為， 當(dāng)時，第2層的圓球總數(shù)為，當(dāng)時，第3層的圓球總數(shù)為，．所以第層的圓球總數(shù)為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故．故選：B．6.已知焦點為的雙曲線C的離心率為，點P為C上一點，且滿足，若的面積為，則雙曲線C的實軸長為（）A.2B.C.D.【答案】B【解析】分析】由雙曲線定義可得，，應(yīng)用余弦定理及已知有，最后由三角形面積公式列方程求，即得實軸長.【詳解】設(shè)，則，故（a為雙曲線參數(shù)），所以，，故，而，則，則，，所以，故，則，故長軸長.故選：B7.已知的三個頂點都在拋物線上，且F為拋物線的焦點，若，則 （）A.12B.10C.9D.6【答案】C【解析】【分析】設(shè)A，B，C的縱坐標(biāo)分別是，由，得三點縱坐標(biāo)之和，再結(jié)合拋物線的定義即可求出的值.【詳解】由，得.設(shè)A，B，C的縱坐標(biāo)分別是，由，有，即.由拋物線的定義可得:.故選：C8.已知橢圓C：的左，右焦點，過原點的直線l與橢圓C相交于M，N兩點．其中M在第一象限．，則橢圓C的離心率的取值范圍為（????）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由題可知四邊形為矩形，根據(jù)勾股定理及橢圓的定義可得，結(jié)合已知條件有，進(jìn)而即得.【詳解】因為過原點的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，且，所以四邊形為矩形， 由橢圓的對稱性知：，而，所以，則且M在第一象限，整理得，所以，所以，又，即，所以，整理得，所以.故選：D二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.（多選題）若方程所表示的曲線為C，則下面四個命題中正確的是（）A.若1＜t＜5，則C為橢圓B.若t＜1．則C為雙曲線C.若C為雙曲線，則焦距為4D.若C為焦點在y軸上的橢圓，則3＜t＜5【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單的幾何性質(zhì)，逐項判定，即可求解，得到答案. 【詳解】由題意，若方程表示橢圓，則滿足，解得或，對于A中，當(dāng)時，此時方程表示圓，所以不正確；當(dāng)方程表示焦點在軸上橢圓，則滿足，解得，所以D項正確；對于B中，當(dāng)時，，此時表示焦點在軸上的雙曲線，所以是正確的；對于C中，當(dāng)時，方程，此時雙曲線的焦距為，所以不正確.故選BD若方程表示橢圓，則滿足，解得或，【點睛】本題主要考查了橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.10.設(shè)數(shù)列的前n項和為，關(guān)于數(shù)列，下列命題中正確的是（）A.若，則既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列B.若（A，B為常數(shù)），則是等差數(shù)列C.若，則是等比數(shù)列D.若是等比數(shù)列，則也成等比數(shù)列【答案】BC【解析】【分析】對于A：根據(jù)等差、等比數(shù)列的定義分析判斷；對于BC：根據(jù)與之間的關(guān)系，結(jié)合等差、等比數(shù)列的定義分析判斷；對于D：根據(jù)等比數(shù)列的和項性質(zhì)分析判斷.【詳解】對于選項A:因為，即，可知數(shù)列是等差數(shù)列， 當(dāng)時，數(shù)列不是等比數(shù)列，故A錯誤；對于選項B：因為，當(dāng)時，；當(dāng)時，；可知時，符合上式，綜上所述：，可得，所以數(shù)列是等差數(shù)列，故B正確；對于選項C:因為，當(dāng)時，；當(dāng)時，；可知時，符合上式，綜上所述：，可得，所以數(shù)列是等比數(shù)列，故C正確；對于選項D:當(dāng)數(shù)列是等比數(shù)列時，取，則，此時顯然，，不是等比數(shù)列，故D錯誤；故選：BC.11.（多選）已知拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為，直線過點且與拋物線交于，兩點，若是線段的中點，則（）A.B.拋物線的方程為C.直線的方程為D.【答案】ACD【解析】【分析】由焦點到準(zhǔn)線的距離可求得，則可判斷A正確，B錯誤；利用斜率坐標(biāo)計算公式幾何中點坐標(biāo)計算公式可求得直線的斜率，從而求得的方程，可判斷C正確； ，所以從而判斷D正確.【詳解】因為焦點到準(zhǔn)線的距離為4，根據(jù)拋物線的定義可知，故A正確故拋物線的方程為，焦點，故B錯誤則，．又是的中點，則，所以，即，所以直線的方程為．故C正確由，得．故D正確故選：ACD．12.已知點，點P是雙曲線C：左支上的動點，為其右焦點，N是圓D：的動點，直線交雙曲線右支于Q（O為坐標(biāo)原點），則（）A.B.過點M作與雙曲線C僅有一個公共點的直線恰有2條C.的最小值為D.若的內(nèi)切圓E與圓D外切，則圓E的半徑為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)雙曲線焦半徑的結(jié)論可知A正確，由點和雙曲線的位置關(guān)系可以確定與雙曲線有一個公共點的直線條數(shù)不止2條，根據(jù)雙曲線定義和的位置關(guān)系可判斷C，最后根據(jù)焦點三角形的內(nèi)切圓圓心在左端點的正上方，即圓心橫坐標(biāo)為可求其半徑.【詳解】如下圖所示： 由雙曲線方程和圓方程可知，，所以左焦點為，右焦點；對于A，由于在雙曲線左支上，根據(jù)焦半徑公式可知，故A正確；對于B，由過點的直線與雙曲線有一個公共點可知，直線的斜率一定存在，設(shè)直線斜率為，則直線的方程為，聯(lián)立直線和雙曲線的方程得：；①當(dāng)時，即，該方程為一元一次方程，僅有一個實數(shù)根，所以直線和雙曲線僅有一個公共點，此時直線與雙曲線的漸近線平行，即此時有兩條直線與雙曲線相交，且僅有一個交點，符合題意；②當(dāng)時，該方程為一元二次方程，由直線與雙曲線有一個公共點可知，該方程僅有一個實數(shù)根，所以，整理得，即，此時直線為雙曲線的切線，分別為，所以過點可作兩條切線；綜上可知，過點可作與雙曲線有一個公共點的直線共有4條，所以B錯誤；對于C，由雙曲線定義可知，，，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時等號成立； ，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時等號成立；所以，，即C正確；對于D，如圖所示，分別設(shè)的內(nèi)切圓與三邊切點為，又因為，所以，又因為在軸上，，，不妨設(shè),由，得，即；所以即為雙曲線的左端點，又因為，所以圓心在左端點的正上方，即圓心橫坐標(biāo)為，設(shè)，則圓的半徑為，由于圓與圓外切，所以，，解得；所以D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，滿足，，且，則________.【答案】【解析】【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示求得參數(shù)，然后由模的坐標(biāo)表示求解．【詳解】∵，∴，解得，即，∴．故答案為：．14.已知實數(shù)x，y滿足直線l的方程，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化求點到直線l：上點的距離最小值，即可得結(jié)果.【詳解】由題意，表示點到直線l：上點的距離， 所以其最小值為.故答案為：15.已知為橢圓的右焦點，為坐標(biāo)原點，為線段垂直平分線與橢圓的一個交點，若，則橢圓的離心率為______．【答案】【解析】【分析】設(shè)，，將代入橢圓C的方程，得，在中，不妨設(shè)，利用勾股定理和橢圓中，求出，則可得出離心率.【詳解】解：設(shè)，，將代入橢圓C的方程，得，即.設(shè)E為線段OF的垂直平分線與x軸的交點，則為直角三角形，由于，所以在中，不妨設(shè)，則，.由勾股定理可得，即，得，又， 所以，解得或（舍去），故，橢圓C的離心率.故答案為：.16.斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，被譽為最美的數(shù)列，若數(shù)列滿足，，則稱數(shù)列為斐波那契數(shù)列，則_____．【答案】##0.5【解析】【分析】由題設(shè)遞推關(guān)系得到，利用裂項相消法運算求解.【詳解】因為，則，可得，則，所以.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在銳角中，是角的對邊，.（1）求角的度數(shù)；（2）若，且的面積是，求.【答案】(1)；（2）.【解析】【詳解】試題分析:（1）根據(jù)三角形內(nèi)角關(guān)系及誘導(dǎo)公式將B轉(zhuǎn)化，再根據(jù)兩角和與差余弦公式展開化簡,合并，約分得，最后根據(jù)三角形內(nèi)角范圍及特殊角對應(yīng)函數(shù)值得角的度數(shù)；（2）先選用面積公式：，得，再根據(jù)余弦定理得 ，最后根據(jù)求的值.試題解析:（1）在中，，那么由，可得≠0得，則在銳角中，（2）由（1）知，且，得，由余弦定理得，那么，則，可得.點睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的.其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向.第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實施邊角之間的互化.第三步：求結(jié)果.18.已知公比為的正項等比數(shù)列，且，，．（1）求的值；（2）求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先利用已知條件求公比和，再計算，即可；（2）利用錯位相減法求和即可.【詳解】（1）正項等比數(shù)列中，，，故，即，故，，；（2）由知，①又② 由①②得，所以數(shù)列的前n項和.【點睛】本題考查了數(shù)列通項公式和錯位相減法求和，屬于中檔題.19.如圖所示，該幾何體是由一個直三棱柱和一個正四棱錐組合而成，，．（Ⅰ）證明：平面平面；（Ⅱ）求正四棱錐的高，使得二面角的余弦值是．【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）．【解析】【詳解】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)平面，結(jié)合，利用線面垂直以及面面垂直判定定理，可得結(jié)果.（Ⅱ）利用（Ⅰ）建系后求法向量，要注意兩個法向量夾角和二面角平面角關(guān)系，不要弄錯符號.試題解析：（Ⅰ）證明：直三棱柱中，平面，所以，又，，所以平面，平面，所以平面平面．?。á颍┯桑á瘢┲矫?，以為原點，，，方向為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖 設(shè)正四棱錐的高為，，則，，，，，，．設(shè)平面的一個法向量，則取，則，所以．設(shè)平面的一個法向量，則取，則，，所以．二面角的余弦值是，所以，解得．點睛：本題主要考查了直線與平面，平面與平面垂直的證明，注意條件的合理轉(zhuǎn)化，和用向量解立體幾何時法向量的求解和應(yīng)用.20.已知拋物線（）的焦點為，點為拋物線上一點，且.（1）求拋物線的方程；（2）不過原點的直線：與拋物線交于不同兩點，，若，求的值.【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線過點，且，利用拋物線的定義求解；（2）設(shè)，聯(lián)立，根據(jù)，由，結(jié)合韋達(dá)定理求解【小問1詳解】由拋物線過點，且，得所以拋物線方程為；【小問2詳解】由不過原點的直線：與拋物線交于不同兩點，設(shè)，聯(lián)立得，所以，所以，所以因為，所以，則，，即，解得或，又當(dāng)時，直線與拋物線的交點中有一點與原點重合，不符合題意，故舍去；所以實數(shù)的值為.21.已知數(shù)列滿足． （1）設(shè)，求證數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項和，是否存在正整數(shù)m，使得對任意的都成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，試說明理由．【答案】（1）證明見解析，；（2）存在，m最小值為3【解析】【分析】（1）結(jié)合遞推關(guān)系可證得bn+1－bn1，且b1＝1，可證數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，據(jù)此可得數(shù)列的通項公式；（2）結(jié)合通項公式裂項有求和有，再結(jié)合條件可得，即求．【小問1詳解】證明：∵，又由a1＝2，得b1＝1，所以數(shù)列{bn}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以bn＝1+(n－1)×1＝n，由，得．【小問2詳解】∵，，所以，依題意，要使對于n∈N*恒成立， 只需，即解得m≥3或m≤-4．又m＞0，所以m≥3，所以正整數(shù)m的最小值為3．22.已知橢圓的長軸長為8，以橢圓的左焦點為圓心，短半軸長為半徑的圓與直線直線相切．（1）求橢圓的方程；（2）已知直線，過右焦點的直線（不與軸重合）與橢圓交于兩點，過點作，垂足為．①求證：直線過定點，并求出定點的坐標(biāo)；②點為坐標(biāo)原點，求面積的最大值．【答案】（1）；（2）①證明見解析，；②15.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，，，解得，即，，，進(jìn)而可得橢圓的方程．（2）①由題意得，設(shè)直線，設(shè)，，，，，聯(lián)立直線與橢圓的方程，由韋達(dá)定理可得，，且，寫出直線方程，再令，即可得出答案．②由①可得判別式△，，令，化簡結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可得出答案．【詳解】（1）橢圓的長軸長為8，左焦點到直線的距離 橢圓的方程（2）由對稱性，若直線過定點，則該定點必在軸上，①由題得，設(shè)直線，設(shè)聯(lián)立方程得（*）所以有，且因為，所以直線的方程為，得（**）將代入（**），則故直線過定點，即定點為．②在（*）中，所以又直線過定點故，令，則在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，．