安徽省阜陽市第三中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期二調(diào)考試（12月）數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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阜陽三中2023~2024學(xué)年度高二年級第一學(xué)期二調(diào)考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.3.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修一+選擇性必修二第一章.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是符合題目要求的.1.與橢圓C：共焦點(diǎn)且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓方程先求解出焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)定義求解出的值，結(jié)合可求的值，則雙曲線方程可求.【詳解】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即，所以，記，所以，所以，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：C.2.設(shè)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，.若數(shù)列的連續(xù)四項(xiàng)構(gòu)成集合，則公比為（）A.16B.4C.D.【答案】C【解析】 【分析】根據(jù)等比數(shù)列的知識求得題目所給項(xiàng)的排列順序，從而求得公比.【詳解】由題意等比數(shù)列的連續(xù)四項(xiàng)構(gòu)成集合，則可知等比數(shù)列的項(xiàng)一定為正負(fù)相間，公比為負(fù)，由于，故后一項(xiàng)絕對值大于前一項(xiàng)的絕對值，故集合中的這四個數(shù)在數(shù)列中排列為，則.故選:C3.已知直線與直線平行，則的值為（）A.2B.3C.2或-3D.-2或3【答案】A【解析】【分析】由兩直線平行的條件求解．【詳解】根據(jù)題意，由兩直線平行可得，即，解得或；經(jīng)檢驗(yàn)時，兩直線重合，不合題意；所以.故選：A．4.如圖，在三棱柱中，為的中點(diǎn)，若，，，則可表示為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合已知條件，利用空間向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意可知，， 因?yàn)?，，，，所?故選：A.5.設(shè)動點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在軸上的射影為點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的最小值為（）A.B.C.2D.【答案】B【解析】【分析】利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化，然后求的最小值即得．【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，延長交準(zhǔn)線于，連，顯然垂直于拋物線的準(zhǔn)線，由拋物線定義知：，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是線段與拋物線的交點(diǎn)時取等號，而，所以的最小值為.故選：B.6.月光石不能頻繁遇水，因?yàn)槠渲饕煞质氢涒c硅酸鹽．一塊斯里蘭卡月光石的截面可近似看成由半圓和半橢圓組成，如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系，半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓所在的圓過橢圓的右焦點(diǎn)，半橢圓的短軸與半圓的直徑重合．若直線與半圓交于點(diǎn)，與半橢圓交于點(diǎn)，則的面積是（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)題意得到半圓的方程和半橢圓的方程，從而求得點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得，進(jìn)而即可求得的面積．【詳解】由題意知，半圓的方程為，設(shè)半橢圓的方程為，則，所以，故半橢圓的方程為，設(shè)，則，所以，設(shè)，則，所以，故，．故選：B．7.已知數(shù)列通項(xiàng)公式為，若對任意，都有則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】分段情況下，對任意，都有，只需保證每一段遞增，且，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性求解.【詳解】當(dāng)時，，由，得，即，∵且，，∴，解得.當(dāng)時，單調(diào)遞增，若對任意，都有，則且，即且，解得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.8.“曼哈頓距離”是十九世紀(jì)的赫爾曼?閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，定義如下：在直角坐標(biāo)平面上任意兩點(diǎn)的曼哈頓距離為：.已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在直線上，則的最小值為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】如圖，作過點(diǎn)作平行于軸的直線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，結(jié)合直線的斜率得出平行于軸，最小，再設(shè)，求出，利用三角函數(shù)知識得最小值．【詳解】如圖，過點(diǎn)作平行于軸的直線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)表示的長度，因?yàn)橹本€的方程為，所以，即，當(dāng)固定點(diǎn)時，為定值，此時為零時，最小，即與重合（平行于 軸）時，最小，如圖所示，設(shè)，，則，，由三角函數(shù)知識可知，其中，則其最大值是，所以，故D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是理解曼哈頓距離的定義，得到，再利用輔助角公式即可求出其最值.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列說法中不正確的是（）A.若直線的斜率越大，則直線的傾斜角就越大B.直線的傾斜角的取值范圍是C.過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上截距互為相反數(shù)的直線的方程為D.若直線的傾斜角為，則直線的斜率為【答案】ACD【解析】【分析】利用傾斜角與斜率的關(guān)系及截距的定義一一判定選項(xiàng)即可.【詳解】對于A，若直線傾斜角大于，則直線的斜率存在負(fù)值，故A錯誤；直線的傾斜角為，則，因?yàn)?，所以，故B正確； 對于C，設(shè)直線與軸交點(diǎn)為，則與軸交點(diǎn)為，當(dāng)時，直線過原點(diǎn)，斜率為，故方程為；當(dāng)時，直線的斜率，故直線方程為，即，故C錯誤；直線斜率定義為傾斜角的正切值，但不能是，故D錯誤.故選:ACD.10.在三棱錐A-BCD中，，是直二面角，，如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（）A.B.平面的法向量與平面的法向量垂直C.異面直線與所成的角為D.直線與平面所成的角為【答案】AD【解析】【分析】選項(xiàng)A，由，平面平面，推出平面，即；選項(xiàng)B，由平面平面，平面與平面不平行，可判斷；選項(xiàng)C，根據(jù),，計算即可；選項(xiàng)D，易知即為直線與平面所成的角，得解．【詳解】由題意知，平面平面，，選項(xiàng)A，因?yàn)?，平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，即，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面的法向量與平面的法向量垂直， 而平面與平面相交，并不平行，所以平面的法向量與平面的法向量不垂直，即選項(xiàng)B錯誤；選項(xiàng)C，設(shè)，則，，所以，在中，，所以，，由于異面直線所成角的取值范圍為，故異面直線與所成角余弦值為，對應(yīng)的角顯然不可能為，即選項(xiàng)C錯誤；選項(xiàng)D，由選項(xiàng)A知，平面，所以即為直線與平面所成的角，而，故選項(xiàng)D正確．故選：AD11.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出.反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)上另一點(diǎn)反射后，沿直線射出，經(jīng)過點(diǎn)，則（）A.平分B.C.延長交直線于點(diǎn)，則三點(diǎn)共線D.【答案】ACD【解析】【分析】對于A，根據(jù)題意求得，，從而證得，結(jié)合平面幾何的知識易得平分； 對于B，直接代入即可得到；對于C，結(jié)合題意求得，由的縱坐標(biāo)相同得三點(diǎn)共線；對于D，由選項(xiàng)A可知.【詳解】根據(jù)題意，由得，又由軸，得，代入得（負(fù)值舍去），則，所以，故直線為，即，依題意知經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)，故聯(lián)立，解得，即，對于A，，，故，所以，又因?yàn)檩S，軸，所以，故，所以，則平分，故A正確；對于B，因，故，故B錯誤；對于C，易得的方程為，聯(lián)立，故，又軸，所以三點(diǎn)的縱坐標(biāo)都相同，則三點(diǎn)共線，故C正確；對于D，由選項(xiàng)A知，故D正確.故選：ACD. .12.設(shè)數(shù)列，如果，且，對于，使成立，則稱數(shù)列為數(shù)列.則下列說法正確的是（）A.數(shù)列是數(shù)列B.若數(shù)列是數(shù)列，且，則的最小值為3C.若數(shù)列是數(shù)列，且，則為奇數(shù)D.若數(shù)列是數(shù)列，且，則存在，使【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合假設(shè)法、奇數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】對于A，因?yàn)樗允菙?shù)列，A正確；對于，首先證明不能為2.假設(shè)，由數(shù)列為數(shù)列知，.所以，與已知矛盾，故假設(shè)不成立.所以不能為2.因?yàn)閿?shù)列，滿足，此時是數(shù)列，所以的最小值為正確. 對于，以下證明：若奇數(shù)，則必為奇數(shù).假設(shè)數(shù)列中存在偶數(shù)，設(shè)是數(shù)列中第一個偶數(shù)，因?yàn)閿?shù)列是數(shù)列，所以，使.因?yàn)榫鶠槠鏀?shù)，所以也為奇數(shù)，與為偶數(shù)矛盾.所以若為奇數(shù)，則必為奇數(shù).因?yàn)闉榕紨?shù)，所以不能為奇數(shù)，只能為偶數(shù)，C錯誤.對于，以下證明：若，則.若不然，設(shè)為第一個滿足的項(xiàng)，因?yàn)閿?shù)列是數(shù)列，所以，使.因?yàn)?，所以，與矛盾；所以若，則.而，D錯誤.故選：AB【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是明確數(shù)列的性質(zhì)，利用假設(shè)法進(jìn)行求解.三?填空題：共4小題，每小題5分，共20分.13.圓與圓的公共弦的長為______.【答案】【解析】【分析】將兩圓方程作差可得出相交弦所在直線的方程，求出圓的圓心到相交弦所在直線的距離，利用勾股定理可求得相交弦長.【詳解】將圓與圓相減可得，即兩圓的公共弦所在的直線方程為，又圓圓心到直線的距離， 圓的半徑為，所以公共弦長為.故答案為：.14.在平行六面體中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱的長為3，且，則為__________.【答案】7【解析】【分析】以為基底表示出，然后根據(jù)數(shù)量積性質(zhì)可得.【詳解】如圖，在平行六面體中，，因?yàn)?，所以，，所?故答案為：715.已知數(shù)列滿足，在和之間插入個1，構(gòu)成數(shù)列，則數(shù)列的前20項(xiàng)的和為__________.【答案】77【解析】【分析】先根據(jù)題意得到數(shù)列有多少個數(shù)，再根據(jù)即可計算數(shù)列的前20項(xiàng)的和.【詳解】在之間插入個1，構(gòu)成數(shù)列，所以共有個數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，， 由于，所以.故答案為：.16.已知分別是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，，圓，直線與圓相交于兩點(diǎn)，直線與圓相交于，兩點(diǎn).若四邊形的面積為，則的離心率為__________.【答案】##【解析】【分析】設(shè)，過作的垂線，垂足為，，結(jié)合雙曲線的定義求得圓的弦長及，然后由面積得出關(guān)于的齊次式，變形后求得離心率．【詳解】根據(jù)對稱性不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，如圖所示，圓，圓心為，半徑為，設(shè)，點(diǎn)在雙曲線上，，則有，可得，過作的垂線，垂足為為的中點(diǎn)，則，同理，，由，四邊形的面積為，化簡得，則有，則的離心率.故答案為：． 【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用雙曲線的定義以及勾股定理，并結(jié)合幾何法求圓的弦長，最后得到面積表達(dá)式，得到關(guān)于的齊次方程即可.四?解答題：共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知首項(xiàng)為1的正項(xiàng)等比數(shù)列，且成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求的最小值.【答案】（1）（2）7【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)列方程求得公比后可得通項(xiàng)公式；（2）求出前項(xiàng)和后解不等式可得．【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，且，因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，則，即：，解得或（舍去），所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.【小問2詳解】由（1）得：，，所以， 整理可得，故的最小值為7.18.某公園有一圓柱形建筑物，底面半徑為1米，在其南面有一條東西走向的觀景直道（圖中用實(shí)線表示），建筑物的東西兩側(cè)有與直道平行的兩段輔道（圖中用虛線表示），觀景直道與輔道距離米.在建筑物底面中心的北偏東方向米的點(diǎn)處，有一臺全景攝像頭，其安裝高度低于建筑物高度.請建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并解決問題：（1）在西輔道上與建筑物底面中心距離2米處的游客，是否在攝像頭監(jiān)控范圍內(nèi)？（2）求觀景直道不在攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)的長度.【答案】（1）游客在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)（2）4.375米【解析】【分析】（1）建立坐標(biāo)系，利用直線和圓的位置關(guān)系可以判斷；（2）根據(jù)直線和圓相切求出切線，利用切線和觀景直道所在直線的交點(diǎn)可得范圍.【小問1詳解】設(shè)為原點(diǎn)，正東方向?yàn)檩S，建立平面直角坐標(biāo)系，，因?yàn)?，則，依題意得，游客所在位置為，即，則直線的方程為，即，所以圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，所以游客在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi). 【小問2詳解】由圖知，過的直線與圓相切或相離時，攝像頭監(jiān)控不會被建筑物擋住，所以設(shè)直線過點(diǎn)且和圓相切，①若直線垂直于軸，則直線不會和圓相切；②若直線不垂直于軸，設(shè)，整理得，所以圓心到直線的距離為，解得或，所以或，即或，觀景直道所在直線方程為，設(shè)兩條直線與的交點(diǎn)為，由，解得，由，解得，所以，即觀景直道不在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)的長度為4.375米. 19.如圖，在正四棱錐中，，正四棱錐的體積為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用三角形的中位線定理及線面平行的判定定理即可求解；（2）根據(jù)已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，利用棱錐的體積公式，求出及相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，結(jié)合向量的夾角與二面角的關(guān)系即可求解.【小問1詳解】在正四棱錐中，連接，四邊形為正方形為的中點(diǎn)又點(diǎn)為的中點(diǎn)為的中位線又平面，平面，平面.小問2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示， 因?yàn)檎睦忮F的體積為，所以正四棱錐的體積，所以，，,設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，所以.設(shè)平面的一個法向量為,則，即，令，則，所以.設(shè)二面角的所成的角為，則，所以二面角的余弦值為.20.已知數(shù)列滿足，且． （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，且數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）寫出當(dāng)時的等式，再與原式兩式相除求解即可；（2）由（1），再根據(jù)錯位相減求解可得，再化簡不等式可得，再設(shè)，根據(jù)作差法判斷的單調(diào)性，進(jìn)而可得最大值.【小問1詳解】，當(dāng)時，，兩式相除得；，又符合上式，故；【小問2詳解】，，，錯位相減得：，，即，由，得， 設(shè)，則，故，由，由可知，隨著的增大而減小，故，故恒成立，知單調(diào)遞減，故的最大值為，則21.雙曲線C經(jīng)過兩點(diǎn).過點(diǎn)的直線與雙曲線C交于P，Q，過點(diǎn)的直線與直線相交于點(diǎn)S且（1）求雙曲線C的方程；（2）若，求直線的斜率.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）設(shè)雙曲線方程為，代入運(yùn)算求解即可；（2）根據(jù)題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線，，，聯(lián)立方程，利用弦長公式結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)算求解.【小問1詳解】設(shè)雙曲線方程為，代入可得，解得， 所以雙曲線的方程為.【小問2詳解】若直線的斜率不存在時，則，，不符合，所以直線的斜率存在，設(shè)直線，，，聯(lián)立方程，消去y得，則且，可得，則，又因?yàn)椋芍?，則，由題意可知：，即，整理得，解得或，且或均符合且，所以直線的斜率或. 22.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，且右焦點(diǎn)到直線的距離為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓上的任一點(diǎn)，從原點(diǎn)向圓引兩條切線，設(shè)兩條切線的斜率分別為，（i）求證：為定值；（ii）當(dāng)兩條切線分別交橢圓于時，求證：為定值.【答案】（1）（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析【解析】【分析】（1）直接列出關(guān)于方程組求解；（2）（i）寫出切線方程，由圓心到切線距離等于半徑可以得出與的關(guān)系，從而得出是某個一元二次方程的解，利用韋達(dá)定理可得；（ii）設(shè)，利用及橢圓方程求得，再求得后可得．【小問1詳解】 題意，，解得，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】（i）證明：依題意，兩條切線方程分別為，由，化簡得，同理.所以是方程的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則.又因?yàn)?，所以，所?（ii）證明：由（得，，設(shè)，則，即，因?yàn)椋?，得，即，解得，所以?所以為定值.