遼寧省實驗中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)Word版含解析.docx

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遼寧省實驗中學(xué)2023—2024學(xué)年度高二上學(xué)期12月份月考考試數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分）．1.若則方程所表示的曲線一定不是（）A.直線B.圓C.拋物線D.雙曲線2.兩條不同直線，的方向向量分別為，，則這兩條直線（）A.相交或異面B.相交C.異面D.平行3.直線：，：，若，則實數(shù)的值為（）A.B.1C.或1D.4.若直線：關(guān)于直線l：對稱的直線為，則的方程為（）A.B.C.D.5.已知橢圓E:＋＝1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交橢圓于A、B兩點．若AB的中點坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝16.在正四面體中，其外接球的球心為，則（）A.B.C.D.7.已知圓關(guān)于直線對稱，過點作圓C的兩條切線和，切點分別為，則（） A.B.C.D.8.如圖，在正方形中，點，分別是線段，上動點，且，與交于G，在與之間滑動，但與和均不重合．現(xiàn)將四邊形沿直線折起，使平面平面，在從滑動到的過程中，的大?。ǎ〢.先變小后變大B.先變大后變小C.不發(fā)生變化D.由小變大二、多項選擇題（本大題共4個小題，每題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.已知分別為直線方向向量（不重合），分別為平面，的法向量（，不重合），則下列說法中，正確的是（）A.B.C.D.10.下列四個方程所表示的曲線中既關(guān)于x軸對稱，又關(guān)于y軸對稱的是（）A.B.C.D.11.已知P為雙曲線右支上的一個動點（不經(jīng)過頂點），，分別是雙曲線的左、右焦點，的內(nèi)切圓圓心為，過做，垂足為A，下列結(jié)論正確的是（）A.的橫坐標(biāo)為2B.C.D.12.已知點在拋物線的準(zhǔn)線上，過拋物線的焦點作直線交于、兩點，則（）A.拋物線的方程是B. C.當(dāng)時，D.三、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分）13.點是圓內(nèi)異于圓心的點，則直線與該圓的位置關(guān)系是_________.14.已知向量，，若，則m，n滿足的關(guān)系式為______．15.在長方體中，，，動點P在體對角線上（含端點），則點B到平面的最大距離為______．16.已知圓與雙曲線，若在雙曲線上存在一點P，使得過點P所作圓的兩條切線，切點為A、B，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是______．四、解答題（本大題共6個小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知點為拋物線上一點，F(xiàn)為的焦點，A、B是C上兩個動點．（1）直線經(jīng)過點F時，求最小值．（2）若直線，的傾斜角互補，與C的另一個交點為A，求直線的斜率．18.如圖，在三棱柱中，平面，點，分別在棱和棱上，且為棱中點． （1）求證：平面；（2）若，求二面角余弦值．19.設(shè)橢圓：的左、右頂點分別為C，D，且焦距為2.F為橢圓的右焦點，點M在橢圓上且異于C，D兩點.若直線與的斜率之積為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點作一條斜率不為0的直線與橢圓E相交于A，B兩點（A在B，P之間），直線與橢圓E的另一個交點為H，求證：點A，H關(guān)于x軸對稱.20.已知點到直線：的距離和它到定點的距離之比為常數(shù)．（1）求點的軌跡的方程；（2）若點是直線上一點，過作曲線的兩條切線分別切于點與點，試求三角形面積的最小值．（二次曲線在其上一點處的切線為）21.如圖，四棱錐中，平面平面，，，，，．（1）求證：平面平面；（2）若，求與平面所成角的正切值．22.已知點在雙曲線上． （1）點，為的左右頂點，為雙曲線上異于，的點，求的值；（2）點，在上，且，，為垂足，證明：存在定點，使得為定值． 遼寧省實驗中學(xué)2023—2024學(xué)年度上學(xué)期12月份月考考試高二數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分）．1.若則方程所表示的曲線一定不是（）A.直線B.圓C.拋物線D.雙曲線【答案】C【解析】【分析】討論參數(shù)m的取值，從而確定方程所代表的曲線，即可判斷各項的正誤.【詳解】當(dāng)時，曲線方程為，即為兩條直線；當(dāng)時，曲線方程為，即為原點為圓心，半徑為1的圓；當(dāng)時，曲線方程為，即為雙曲線；而不論m為何值時，都不可能為拋物線.故選：C2.兩條不同直線，的方向向量分別為，，則這兩條直線（）A.相交或異面B.相交C.異面D.平行【答案】A【解析】【分析】令，利用空間向量的坐標(biāo)運算判斷即可.【詳解】令，即，則，此方程組無解，則直線，不平行，即相交或異面.故選：A．3.直線：，：，若，則實數(shù)的值為（）A.B.1C.或1D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知得出，求解得出的值，代入的方程檢驗，即可得出答案. 【詳解】由可得，，即，解得或.當(dāng)時，方程為，方程為不重合，滿足；當(dāng)時，方程為，方程為，即，與重合，舍去.綜上所述，.故選：A.4.若直線：關(guān)于直線l：對稱的直線為，則的方程為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】直線與l的交點在直線上，并且直線上任取一點，該點關(guān)于直線l的對稱點也在直線上，根據(jù)兩點坐標(biāo)求出斜率，即可求出直線的方程.【詳解】聯(lián)立，解得，即與l的交點為.又點在上，設(shè)A關(guān)于l的對稱點為，則，解得，即，所以直線的斜率，從而直線的方程為，即.故選：D5.已知橢圓E:＋＝1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交橢圓于A、B兩點．若AB的中點坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為 A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1【答案】D【解析】【詳解】設(shè)、，所以，運用點差法，所以直線的斜率為，設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，所以；又因為，解得.【考點定位】本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力.6.在正四面體中，其外接球的球心為，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)立體圖形結(jié)合空間向量的線性運算即可.【詳解】由題知，在正四面體中，因為是外接球的球心，設(shè)三角形的中心為點的中點為，則，， ．故選：C．7.已知圓關(guān)于直線對稱，過點作圓C的兩條切線和，切點分別為，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】圓心在直線上，求出，利用切線算出的長度，再利用等面積法即可的.【詳解】圓心在直線上，解得，因此，，，,故選:D8.如圖，在正方形中，點，分別是線段，上的動點，且，與交于G，在與之間滑動，但與和均不重合．現(xiàn)將四邊形沿直線折起，使平面平面，在從滑動到的過程中，的大?。ǎ〢.先變小后變大B.先變大后變小C.不發(fā)生變化D.由小變大【答案】C 【解析】【分析】以為原點，，，所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為，，利用空間向量的數(shù)量積可判斷.【詳解】設(shè)正方形的邊長為，，，，，，，，，，由面面垂直關(guān)系可知，即角度不會發(fā)生變化，所以C正確；故選：C.二、多項選擇題（本大題共4個小題，每題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.已知分別為直線的方向向量（不重合），分別為平面，的法向量（，不重合），則下列說法中，正確的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)直線方向向量、平面法向量定義，結(jié)合向量間的位置關(guān)系判斷線線、線面、面面關(guān)系即可.【詳解】A：由題設(shè)，對；B：由題設(shè)，或，錯；C：由題設(shè)，對；D：由題設(shè)，對.故選：ACD 10.下列四個方程所表示的曲線中既關(guān)于x軸對稱，又關(guān)于y軸對稱的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】由同時滿足方程求得正確答案.【詳解】關(guān)于軸的對稱點為，關(guān)于軸的對稱點為，同時滿足方程、、，ACD選項正確.，是開口向上的拋物線，關(guān)于軸對稱，不關(guān)于軸對稱，B選項錯誤.故選：ACD11.已知P為雙曲線右支上的一個動點（不經(jīng)過頂點），，分別是雙曲線的左、右焦點，的內(nèi)切圓圓心為，過做，垂足為A，下列結(jié)論正確的是（）A.的橫坐標(biāo)為2B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】求出雙曲線的實半軸長及半焦距，再利用雙曲線的定義，結(jié)合三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)逐項計算判斷即得.【詳解】雙曲線的實半軸長，半焦距，設(shè)的內(nèi)切圓在，，上的切點分別為，切點， 顯然，即，而，則的橫坐標(biāo)為，A正確；設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，B正確；延長交于點，由平分，，得，為的中點，因此，即有，C正確；，D錯誤.故選：ABC12.已知點在拋物線的準(zhǔn)線上，過拋物線的焦點作直線交于、兩點，則（）A.拋物線的方程是B.C.當(dāng)時，D.【答案】BCD【解析】【分析】求出的值，可得出拋物線的方程，可判斷A選項；設(shè)直線的方程為，將該直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達定理可判斷B選項；根據(jù)平面向量的線性運算，結(jié)合韋達定理求出的值，再結(jié)合拋物線的焦點弦長公式可判斷C選項；計算出直線、的斜率之和，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，拋物線的準(zhǔn)線方程為，因為點在拋物線準(zhǔn)線上，則，可得， 所以，拋物線的方程為，A錯；對于B選項，拋物線的焦點為，若直線與軸重合，此時，直線與拋物線只有一個公共點，不合乎題意，所以，直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，，則，所以，，B對；對于C選項，因為，即，則，因為，可得，則，則，此時，，C對；對于D選項，，同理可得，所以，，所以，，D對.故選：BCD. 三、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分）13.點是圓內(nèi)異于圓心的點，則直線與該圓的位置關(guān)系是_________.【答案】相離【解析】【分析】由點與圓的位置關(guān)系可得：，由點到直線的距離公式可得圓心到直線的距離，則有，即可判斷直線與圓的位置關(guān)系.【詳解】解：因為是圓內(nèi)異于圓心的點，所以，即，①又圓心到直線的距離，②聯(lián)立①②可得的，即直線與該圓的位置關(guān)系是相離，故答案為相離.【點睛】本題考查了點與圓的位置關(guān)系及點到直線的距離公式，重點考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬中檔題.14.已知向量，，若，則m，n滿足的關(guān)系式為______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)得到存在實數(shù)，使，根據(jù)坐標(biāo)運算列式可得答案.【詳解】，，，則存在實數(shù)，使，即，可得m，n滿足的關(guān)系式為或等故答案為：（答案不唯一）. 15.在長方體中，，，動點P在體對角線上（含端點），則點B到平面的最大距離為______．【答案】【解析】【分析】以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出點B到平面的距離，然后求其最值即可.【詳解】如圖，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，則，故，則，，設(shè)平面的法向量，則，取可得，則點B到平面的距離為， 當(dāng)時，點B到平面的距離為，當(dāng)時，.當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以點B到平面的最大距離為.故答案為：.16.已知圓與雙曲線，若在雙曲線上存在一點P，使得過點P所作的圓的兩條切線，切點為A、B，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】連接，則，設(shè)點，則，分析可得，可得范圍，進而可得離心率的范圍.【詳解】連接，則，由切線長定理可得，又，，所以所以，則設(shè)點，則，且，所以 所以，故.故答案為：.四、解答題（本大題共6個小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知點為拋物線上一點，F(xiàn)為的焦點，A、B是C上兩個動點．（1）直線經(jīng)過點F時，求的最小值．（2）若直線，的傾斜角互補，與C的另一個交點為A，求直線的斜率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先代入點的坐標(biāo)求出拋物線方程，設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，利用韋達定理及焦半徑公式求解的最小值；（2）先利用求出坐標(biāo)，再利用求出點坐標(biāo)，進而可得直線的斜率．【小問1詳解】點為拋物線上一點，得，即拋物線方程為，設(shè)直線的方程為，， 聯(lián)立，消去得，，，.當(dāng)時，等號成立，直線經(jīng)過點F時，求的最小值為【小問2詳解】直線，的傾斜角互補，，則直線的斜率解得，則，同理，，解得，則，故直線的斜率.18.如圖，在三棱柱中，平面，點，分別在棱和棱上，且為棱中點． （1）求證：平面；（2）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點，連接，證明平面平面后可證得題中線面平行；（2）先證得，然后建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由空間向量法求二面角．【小問1詳解】取的中點，連接，因為，，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，因為為棱中點，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，又平面，所以平面； 【小問2詳解】因為平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，如圖，以點為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，則，因為平面，所以，即為平面的一個法向量，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，所以，則，由圖可知，二面角為鈍二面角，所以二面角的余弦值為．19.設(shè)橢圓：的左、右頂點分別為C，D，且焦距為2.F為橢圓的右焦點，點M在橢圓上且異于C，D兩點.若直線與的斜率之積為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點作一條斜率不為0的直線與橢圓E相交于A，B兩點（A在B，P之間），直線 與橢圓E的另一個交點為H，求證：點A，H關(guān)于x軸對稱.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)直線與斜率之積得到，故，結(jié)合焦距得到，，得到橢圓方程；（2）設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，表達出，得到結(jié)論【小問1詳解】由題意有，，設(shè)，，化簡得，結(jié)合，可得，由橢圓焦距為2，有，得，，橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】顯然直線方程斜率不存在時，與橢圓方程無交點，根據(jù)橢圓的對稱性，欲證，H關(guān)于軸對稱，只需證，即證，設(shè)，，直線方程，由消去得， ，解得，所以，.則，因為，所以，即A，H關(guān)于軸對稱.20.已知點到直線：的距離和它到定點的距離之比為常數(shù)．（1）求點的軌跡的方程；（2）若點是直線上一點，過作曲線的兩條切線分別切于點與點，試求三角形面積的最小值．（二次曲線在其上一點處的切線為）【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)已知有，化簡整理得軌跡；（2）設(shè)，，，寫出切線、并將點代入得直線為，由點線距離公式確定距離最小值，聯(lián)立直線與，應(yīng)用韋達定理、弦長公式求的最小值，注意最小值取值條件一致，最后求三角形面積的最小值.【小問1詳解】設(shè)，則，化簡得：，所以點M的軌跡E的方程為.【小問2詳解】設(shè)，，，則切線為，切線為， 將點分別代入得，所以直線為，點到的距離，當(dāng)時，．另一方面，聯(lián)立直線與得，所以，則，當(dāng)時，．所以．故時，最小值為.21.如圖，四棱錐中，平面平面，，，，，．（1）求證：平面平面；（2）若，求與平面所成角的正切值．【答案】（1）證明見解析 （2）【解析】【分析】（1）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明面面垂直即可；（2）利用空間向量求線面角即可.【小問1詳解】取中點F，連接，因為，則，又平面平面，平面平面，平面，則平面，設(shè)，如圖過作交于點，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，由題意，則，所以，設(shè)平面一個法向量，則，令，即，又易知平面的一個法向量，因為，則，所以平面平面；【小問2詳解】 由（1）得，，則，解得，則，又平面的法向量，設(shè)與平面所成角為，則，所以．22.已知點在雙曲線上．（1）點，為的左右頂點，為雙曲線上異于，的點，求的值；（2）點，在上，且，，為垂足，證明：存在定點，使得為定值．【答案】（1）;（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）代入點，得，從而得雙曲線方程及，的坐標(biāo)，設(shè)點坐標(biāo)為，則，結(jié)合在雙曲線上，即可得答案；（2）設(shè)直線方程為，設(shè)，聯(lián)立直線與雙曲線方程，結(jié)合韋達定理及，得，舍去，從而得，直線過定點，為直角三角形，為直角，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得證.【小問1詳解】 解：因為點在雙曲線上，所以，解得，所以雙曲線，則．設(shè)點坐標(biāo)為，則，所以．因為點在曲線上，所以，所以，所以的值為．【小問2詳解】證明：依題意，直線的斜率存在，故設(shè)其方程為，設(shè)，聯(lián)立，消得，顯然，否則不可能有兩個交點，，由韋達定理得，因為直線的斜率之積為，所以，所以， 即，所以有，將韋達定理代入化簡得，而當(dāng)，此時直線為，易知恒過定點，故舍去，所以，此時滿足且直線過定點，（如圖所示）又因為為垂足，所以為直角三角形，為直角，所以當(dāng)點為斜邊的中點時，為定值．綜上所述，存在定點，使得為定值．