河北省保定市部分高中2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期1月期末考數(shù)學(xué)Word版含解析.docx

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2023-2024學(xué)年高三年級上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘，滿分：150分）注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求）1.已知集合，，則（）A.B.C.D.2.若虛數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，且，則（）A.6B.4C.2D.13.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集為（）AB.C.D.4.已知函數(shù)，數(shù)列滿足，，，則（）A.0B.1C.675D.20235.已知向量，，，若正實(shí)數(shù)，滿足，則 的值為（）A.B.C.D.6.如圖，是1963年在陜西寶雞賈村出土的一口“何尊”（尊為古代的酒器，用青銅制成），尊內(nèi)底鑄有12行、122字銘文.銘文中寫道“唯武王既克大邑商，則廷告于天，曰：‘余其宅茲中國，自之辟民’”，其中宅茲中國為“中國”一詞最早的文字記載.“何尊”可以近似看作是圓臺和圓柱組合而成，經(jīng)測量，該組合體的深度約為，上口的內(nèi)徑約為，圓柱的深度和底面內(nèi)徑分別約為，則“何尊”的容積大約為（）A.B.C.D.7.直三棱柱中，，P為BC中點(diǎn)，，Q為上一點(diǎn)，，則經(jīng)過A，P，Q三點(diǎn)的平面截此三棱柱所成截面的面積是（）A.B.4C.D.58.若曲線與曲線有公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（）A.B.CD.二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有兩個(gè)或兩個(gè)以上選項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則（）A.B. C.D.的最小值為110.若函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.的定義域?yàn)镃.在上單調(diào)遞增D.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱11.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合，點(diǎn)是這兩條曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.雙曲線的漸近線方程為B.C.的面積為D.12.已知函數(shù)，若函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值可以為（）A.5B.6C.7D.8三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知，，請寫出一個(gè)使為假命題的實(shí)數(shù)的值，______．14.2023年9月第19屆亞運(yùn)會將在杭州舉辦，在杭州亞運(yùn)會三館（杭州奧體中心的體育館、游泳館和綜合訓(xùn)練館）對外免費(fèi)開放預(yù)約期間將含甲、乙在內(nèi)的5位志愿者分配到這三館負(fù)責(zé)接待工作，每個(gè)場館至少分配1位志愿者，且甲、乙分配到同一個(gè)場館，則甲分配到游泳館的概率為_________.15.已知斜率為的直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與該拋物線交于兩點(diǎn)，若 為該拋物線上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，則的最小值為__________.16.蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圈”等，“蹴”有用腳蹴、踢的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動，類似今日的足球，現(xiàn)已知某“鞠”的表面上有四個(gè)點(diǎn)滿足，，則該“鞠”的表面積為_______.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，在①且；②；③且，，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并求解：（1）已知數(shù)列滿足______，求的通項(xiàng)公式；（2）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．18.已知銳角的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量，，且．（1）求角C的值；（2）若，求周長的取值范圍．19.如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，，，，，E為PD中點(diǎn).（1）求證：面PAB；（2）點(diǎn)Q在棱PA上，設(shè)，若二面角P－CD－Q余弦值，求. 20.全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家，最艱巨最繁重的任務(wù)仍然在農(nóng)村，強(qiáng)國必先強(qiáng)農(nóng)，農(nóng)強(qiáng)方能國強(qiáng)．某市為了解當(dāng)?shù)剞r(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，隨機(jī)抽取該地2000戶農(nóng)戶家庭年收入x（單位：萬元）進(jìn)行調(diào)查，并繪制得到如下圖所示的頻率分布直方圖．（1）求這2000戶農(nóng)戶家庭年收入的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代表）．（2）由直方圖可認(rèn)為農(nóng)戶家庭年收入近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．①估計(jì)這2000戶農(nóng)戶家庭年收入超過9.52萬元（含9.52）的戶數(shù)？（結(jié)果保留整數(shù)）②如果用該地區(qū)農(nóng)戶家庭年收入情況來估計(jì)全市農(nóng)戶家庭年收入的情況，現(xiàn)從全市農(nóng)戶家庭中隨機(jī)抽取4戶，即年收入不超過9.52萬元的農(nóng)戶家庭數(shù)為，求．（結(jié)果精確到0.001）附：①；②若，則，；③．21.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，M為橢圓C上的一個(gè)動點(diǎn)，且點(diǎn)M到右焦點(diǎn)距離的最大值為．（1）求橢圓C的方程；（2）已知過點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求此時(shí)直線l的方程．22.已知，．（1）求在點(diǎn)的切線方程；（2）設(shè)，，判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由． 2023-2024學(xué)年高三年級上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘，滿分：150分）注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求）1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】化簡集合B，后由交集定義可得答案.【詳解】集合，因在上單調(diào)遞減，則，得故選：B．2.若虛數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，且，則（）A.6B.4C.2D.1【答案】C【解析】【分析】設(shè)復(fù)數(shù)，將其代入方程求得，，然后利用復(fù)數(shù)即可求解. 【詳解】依題意，設(shè)（且），代入方程，得，整理得．所以，解得，因?yàn)?，即，所以．故選：C．3.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】依題意作函數(shù)圖像，根據(jù)單調(diào)性和奇偶性求解.【詳解】依題意，函數(shù)的大致圖像如下圖：因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，且，所以在上單調(diào)遞增，且，則當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，不等式化為或，所以或或，解得或或，即或， 即原不等式的解集為；故選：C.4.已知函數(shù)，數(shù)列滿足，，，則（）A.0B.1C.675D.2023【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)計(jì)算可得，再利用數(shù)列的周期性可求.【詳解】的定義域?yàn)?，且，故為上的奇函?shù).而，因在上為增函數(shù)，在為增函數(shù)，故為上的增函數(shù).又即為，故，因?yàn)?，故為周期?shù)列且周期為3.因?yàn)?，所?故選：B.5.已知向量，，，若正實(shí)數(shù)，滿足，則的值為（）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示求得，從而得解..【詳解】因?yàn)?，，，所以，所以，解得，所?故選：A.6.如圖，是1963年在陜西寶雞賈村出土的一口“何尊”（尊為古代的酒器，用青銅制成），尊內(nèi)底鑄有12行、122字銘文.銘文中寫道“唯武王既克大邑商，則廷告于天，曰：‘余其宅茲中國，自之辟民’”，其中宅茲中國為“中國”一詞最早的文字記載.“何尊”可以近似看作是圓臺和圓柱組合而成，經(jīng)測量，該組合體的深度約為，上口的內(nèi)徑約為，圓柱的深度和底面內(nèi)徑分別約為，則“何尊”的容積大約為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓柱以及圓臺的體積公式計(jì)算，即可得答案.【詳解】由題意可知圓臺的高為，故組合體的體積大約為，故選：C7.直三棱柱中，，P為BC中點(diǎn)，，Q為上一點(diǎn)，，則經(jīng)過A，P，Q三點(diǎn)的平面截此三棱柱所成截面的面積是（） A.B.4C.D.5【答案】C【解析】【分析】如圖，在上取點(diǎn)M，使得，取的中點(diǎn)N，連接，則，利用線面垂直的判定定理與性質(zhì)可得，則截面為直角梯形APQM，結(jié)合題意求出QM、AP、PM，由梯形的面積公式計(jì)算即可求解.【詳解】如圖，在上取點(diǎn)M，使得，取的中點(diǎn)N，連接，則，又，所以，得A、P、M、Q四點(diǎn)共面，又，為BC的中點(diǎn)，所以，由，得，又平面，所以平面，由平面，得，所以截面為直角梯形APQM，且，得，所以，作于D，則，所以.故選：C．8.若曲線與曲線有公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】分別求出兩曲線的切線方程，則兩切線方程相同，據(jù)此求出a關(guān)于切點(diǎn)x的解析式，根據(jù)解析式的值域確定a的范圍.【詳解】設(shè)是曲線的切點(diǎn)，設(shè)是曲線的切點(diǎn)，對于曲線，其導(dǎo)數(shù)為，對于曲線，其導(dǎo)數(shù)為，所以切線方程分別為：，，兩切線重合，對照斜率和縱截距可得：，解得（），令（），，得：，當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，∴且當(dāng)x趨于時(shí)，，趨于；當(dāng)趨于時(shí)，趨于；∴，∴；故選：D．二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有兩個(gè)或兩個(gè)以上選項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則（）A.B. C.D.的最小值為1【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可得.結(jié)合對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性即可判斷AB；利用作差法計(jì)算即可判斷C；結(jié)合基本不等式計(jì)算即可判斷D.【詳解】由可知，，由不等式的性質(zhì)可知，則．選項(xiàng)A：因?yàn)閷?shù)函數(shù)為減函數(shù)，，所以，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：由函數(shù)的單調(diào)性可知，故B正確；選項(xiàng)C：因?yàn)椋?，故C正確；選項(xiàng)D：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號，顯然等號不成立，故D錯(cuò)誤．故選：BC.10.若函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.的定義域?yàn)镃.在上單調(diào)遞增D.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱【答案】BC【解析】【分析】A選項(xiàng)，由求出最小正周期；B選項(xiàng)，整體法得到 ，求出定義域；C選項(xiàng)，得到，得到在上單調(diào)遞增；D選項(xiàng)，整體法求解出函數(shù)的對稱中心.【詳解】A選項(xiàng)，的最小正周期為，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由，得，B正確；C選項(xiàng)，由，得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，C正確；D選項(xiàng)，由，得，當(dāng)時(shí)，，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，錯(cuò)誤.故選：BC11.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合，點(diǎn)是這兩條曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.雙曲線的漸近線方程為B.C.的面積為D.【答案】AB【解析】【分析】先根據(jù)拋物線方程得出的坐標(biāo)，即的值，進(jìn)而求出，得出雙曲線的方程.即可得出A項(xiàng)；聯(lián)立雙曲線與拋物線的方程，求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得的值，判斷B項(xiàng)、得出的面積，判斷C項(xiàng)、求得的值，根據(jù)余弦定理，得出的值，判斷D項(xiàng). 【詳解】由已知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以雙曲線右焦點(diǎn)，即.又，所以，所以，雙曲線的方程為.對于A項(xiàng)，雙曲線的的漸近線方程為，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)，聯(lián)立雙曲線與拋物線的方程，整理可得，，解得或（舍去負(fù)值），所以，代入可得，.設(shè)，又，所以，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，易知，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D項(xiàng)，因?yàn)?，所以，由余弦定理可得，，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB.12.已知函數(shù)，若函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值可以為（）A.5B.6C.7D.8【答案】CD 【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為方程恰有3個(gè)實(shí)數(shù)根，再討論時(shí)可得有1個(gè)根，進(jìn)而當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根，再構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性與最值即可.【詳解】令，解得，故問題轉(zhuǎn)化為方程恰有3個(gè)實(shí)數(shù)根.當(dāng)時(shí)，令，解得，故當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根.令，即，顯然不是該方程的根，.令，則，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，有極小值6，而時(shí)，，當(dāng)，且時(shí)，，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：CD三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知，，請寫出一個(gè)使為假命題的實(shí)數(shù)的值，______．【答案】0（答案不唯一）【解析】【分析】利用命題的否定來找到一個(gè)滿足條件即可.【詳解】由題意，，為真命題，當(dāng)時(shí)，恒成立，滿足題意，故答案為：0（答案不唯一）.14.2023年9月第19 屆亞運(yùn)會將在杭州舉辦，在杭州亞運(yùn)會三館（杭州奧體中心的體育館、游泳館和綜合訓(xùn)練館）對外免費(fèi)開放預(yù)約期間將含甲、乙在內(nèi)的5位志愿者分配到這三館負(fù)責(zé)接待工作，每個(gè)場館至少分配1位志愿者，且甲、乙分配到同一個(gè)場館，則甲分配到游泳館的概率為_________.【答案】【解析】【分析】利用計(jì)數(shù)原理和排列組合公式，分別計(jì)算甲、乙分配到同一個(gè)場館的方法數(shù)和甲分配到游泳館的方法數(shù)，根據(jù)古典概型的計(jì)算公式計(jì)算.【詳解】甲、乙分配到同一個(gè)場館有以下兩種情況：（1）場館分組人數(shù)為1，1，3時(shí)，甲、乙必在3人組，則方法數(shù)為種；（2）場館分組人數(shù)為2，2，1時(shí)，其中甲、乙在一組，則方法數(shù)為種，即甲、乙分配到同一個(gè)場館的方法數(shù)為.若甲分配到游泳館，則乙必然也在游泳館，此時(shí)的方法數(shù)為，故所求的概率為.故答案為：15.已知斜率為的直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與該拋物線交于兩點(diǎn)，若為該拋物線上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，則的最小值為__________.【答案】##【解析】【分析】利用直線的點(diǎn)斜式方程寫出直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理及焦點(diǎn)弦公式，結(jié)合三點(diǎn)共線線段最小及兩點(diǎn)間的距離公式即可求解.【詳解】由題可知直線的方程為，設(shè)，則由,消去，整理得，，所以， 所以，解得，所以，而圓的圓心,因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在同一條直線上取等號，且點(diǎn)位于點(diǎn)之間，如圖所示：又，所以的最小值為.故答案為：.16.蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圈”等，“蹴”有用腳蹴、踢的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動，類似今日的足球，現(xiàn)已知某“鞠”的表面上有四個(gè)點(diǎn)滿足，，則該“鞠”的表面積為_______.【答案】【解析】【分析】作出輔助線，找到球心的位置，利用余弦定理和勾股定理求出球的半徑，得到表面積.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以且，故?因?yàn)椋?，故，在上取點(diǎn)，使得，則點(diǎn)為等邊的中心，則，設(shè)點(diǎn)為三棱錐的外接球球心，則平面，連接，設(shè)外接球半徑為，則，過點(diǎn)作⊥，交延長線于點(diǎn)，則，由于在平面中，故，故平面，過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，則，，，，故，設(shè)，則，由勾股定理得，，故，解得，故，故該“鞠”的表面積為.故答案為：四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，在①且；②；③ 且，，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并求解：（1）已知數(shù)列滿足______，求的通項(xiàng)公式；（2）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）若選①，由已知可推得，進(jìn)而得出數(shù)列是常數(shù)列，從而得出；若選②，由已知推得，進(jìn)而根據(jù)與的關(guān)系，即可推得；若選③，根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)，可推得數(shù)列是等差數(shù)列.然后由已知求得，即可得出.（2）根據(jù)已知可求出，然后根據(jù)對數(shù)運(yùn)算以及裂項(xiàng)化簡可得，然后相加即可得出.【小問1詳解】若選①且由可得.又，所以數(shù)列是常數(shù)列，且，所以.若選②由已知可得，.當(dāng)時(shí)，有； 當(dāng)時(shí)，有，，兩式作差可得，，所以.又滿足，所以.若選③且，由可得，，所以，數(shù)列是等差數(shù)列.又，，所以，所以，所以.【小問2詳解】由（1）知，，所以.設(shè)等比數(shù)列公比為，由已知可得，解得，所以.所以，所以.18.已知銳角的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量，，且． （1）求角C的值；（2）若，求周長的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量垂直的坐標(biāo)表示得，應(yīng)用正余弦定理的邊角關(guān)系化簡，結(jié)合銳角三角形求角C；（2）法一：將用的三角函數(shù)表示出來，結(jié)合求周長范圍；法二：首先得到，再用表示周長，利用函數(shù)的單調(diào)性求范圍.【小問1詳解】，（法一），，，∴，則，又為銳角三角形，故.（法二）則，，∴，且銳角三角形，故.【小問2詳解】，，由于為銳角三角形，則，且，解得，（法一）周長，而，即， ∴，故的周長l的取值范圍為．（法二）由上，由余弦定理得，周長，記，則在單調(diào)遞增，∴周長l的取值范圍為．19.如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，，，，，E為PD中點(diǎn).（1）求證：面PAB；（2）點(diǎn)Q在棱PA上，設(shè)，若二面角P－CD－Q余弦值為，求.【答案】（1）答案見解析；（2）【解析】【分析】（1）取PA中點(diǎn)為F，連接EF，F(xiàn)B.通過證明，可得面PAB.（2）如圖建立以C為原點(diǎn)，CM所在直線為x軸，CB所在直線為y軸，CN所在直線為z軸的空間直角坐標(biāo)系，由，可得，后分別求出平面PCD法向量，平面CDQ法向量，則，據(jù)此可得答案.【小問1詳解】取PA中點(diǎn)為F，連接EF，F(xiàn)B.因E，F(xiàn)分別為PD，PA中點(diǎn)，則 ，即四邊形ECBF平行四邊形，則，又平面PAB，平面PAB，則面PAB；【小問2詳解】取CD中點(diǎn)為G，因，則.又平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC平面ABCD，平面PDC，則平面ABCD.過C點(diǎn)作BA平行線，交AD于M.因平面ABCD，則.過C做PG平行線CN，則以C為原點(diǎn)，CM所在直線為x軸，CB所在直線為y軸，CN所在直線為z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.則注意到，則，故.則，，，.設(shè)平面PCD法向量為，則，取；設(shè)平面CDQ法向量為，則，令，則，故取.因二面角P－CD－Q余弦值為，則，即.又，則. .20.全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家，最艱巨最繁重的任務(wù)仍然在農(nóng)村，強(qiáng)國必先強(qiáng)農(nóng)，農(nóng)強(qiáng)方能國強(qiáng)．某市為了解當(dāng)?shù)剞r(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，隨機(jī)抽取該地2000戶農(nóng)戶家庭年收入x（單位：萬元）進(jìn)行調(diào)查，并繪制得到如下圖所示的頻率分布直方圖．（1）求這2000戶農(nóng)戶家庭年收入的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代表）．（2）由直方圖可認(rèn)為農(nóng)戶家庭年收入近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．①估計(jì)這2000戶農(nóng)戶家庭年收入超過9.52萬元（含9.52）的戶數(shù)？（結(jié)果保留整數(shù)）②如果用該地區(qū)農(nóng)戶家庭年收入的情況來估計(jì)全市農(nóng)戶家庭年收入的情況，現(xiàn)從全市農(nóng)戶家庭中隨機(jī)抽取4戶，即年收入不超過9.52萬元的農(nóng)戶家庭數(shù)為，求．（結(jié)果精確到0.001）附：①；②若，則，；③．【答案】（1），（2）①317戶；②【解析】【分析】（1）由平均數(shù)和方差的計(jì)算公式求解即可；（2）①根據(jù)正態(tài)分布的對稱性得出 ，進(jìn)而得出所求戶數(shù)；②年收入不超過9.52萬元的農(nóng)戶家庭數(shù)服從二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式求解即可.【小問1詳解】這2000戶農(nóng)戶家庭年收入的樣本平均數(shù).這2000戶農(nóng)戶家庭年收入的樣本方差.【小問2詳解】①農(nóng)戶家庭年收入近似服從正態(tài)分布.因?yàn)?，所?因?yàn)椋赃@2000戶農(nóng)戶家庭年收入超過9.52萬元（含9.52）的戶數(shù)為317.②年收入不超過9.52萬元的農(nóng)戶家庭數(shù)服從二項(xiàng)分布.所以21.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，M為橢圓C上的一個(gè)動點(diǎn)，且點(diǎn)M到右焦點(diǎn)距離的最大值為．（1）求橢圓C的方程；（2）已知過點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求此時(shí)直線l的方程．【答案】（1）（2）或．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由橢圓的幾何性質(zhì)可得、，結(jié)合求出a、b即可求解；（2）設(shè)直線l的方程為，，，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理表示、，根據(jù)弦長公式表示，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可求解. 【小問1詳解】橢圓C的離心率為，又點(diǎn)M到右焦點(diǎn)距離的最大值為，即，解得，．又由，可得．∴橢圓C的方程為：．【小問2詳解】由題意，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立得，設(shè)，，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號．∴所求直線l的方程為或． 22.已知，．（1）求在點(diǎn)的切線方程；（2）設(shè)，，判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．【答案】（1）（2）存在唯一零點(diǎn)，理由見解析【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，進(jìn)而求出切線方程即可；（2）先根據(jù)題意得到，再分，，三種情況討論，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)，二次求導(dǎo)，零點(diǎn)存在性定理即可得到結(jié)論．【小問1詳解】由，，則，所以，，所以在點(diǎn)的切線方程為．【小問2詳解】依題意得，①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，所以，即無零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)?，，所以，即在上遞減，令，，則，，所以在上單調(diào)遞增，則，所以在上單調(diào)遞增，則，所以當(dāng)，，即； 當(dāng)，，即，即，則，，所以存在，使得在上遞增，在上遞減，又，所以，而，所以在上存在唯一零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，，因，所以，即在上遞減，又，，所以存在，使得在上遞增，在上遞減，又，，所以存在，使得在上遞增，在上遞減，又，，所以在上遞增，所以，所以在上無零點(diǎn)，綜上可知，在上存在唯一零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：涉及函數(shù)零點(diǎn)問題，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值和最值情況，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理是解答這類題的關(guān)鍵．