江蘇省泰州中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

《江蘇省泰州中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué) Word版含解析.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

江蘇省泰州中學(xué)高二年級(jí)2023-2024學(xué)年度秋學(xué)期第二次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.若兩條不同的直線：與直線：平行，則的值為（）A.B.1C.或1D.0【答案】B【解析】【分析】?jī)芍本€與平行的判定方法，但要驗(yàn)證是否重合.【詳解】因?yàn)橹本€：與直線：平行，所以，解得，當(dāng)時(shí)，：，：，兩直線平行，當(dāng)時(shí)，：，：，兩直線重合，所以.故選：B.2.一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為，則這條直線的方程為A.B.C.D.【答案】C【解析】【詳解】∵傾斜角為，∴直線的斜率為，代入直線的點(diǎn)斜式得即，故選C3.兩圓與的公共弦長(zhǎng)等于（）A.4B.C.D.【答案】B【解析】【分析】 求出圓心和半徑以及公共弦所在的直線方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式，弦長(zhǎng)公式，求得公共弦的長(zhǎng)．【詳解】解：兩圓為①，，②①②可得：．兩圓的公共弦所在直線的方程是，圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到公共弦的距離為，公共弦長(zhǎng)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求兩個(gè)圓的公共弦所在的直線方程的方法，點(diǎn)到直線的距離公式，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4.點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先確定漸近線方程，然后利用點(diǎn)到直線距離公式求得點(diǎn)到一條漸近線的距離即可.【詳解】由題意可知，雙曲線的漸近線方程為：，即，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性，不妨考慮點(diǎn)到直線的距離：.故選：A.5.已知是橢圓上一點(diǎn)，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為，且橢圓的離心率為，則橢圓上的點(diǎn)到橢圓焦點(diǎn)的最小距離為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】 由焦點(diǎn)三角形周長(zhǎng)、橢圓離心率列方程求橢圓參數(shù)，結(jié)合橢圓性質(zhì)即可確定橢圓上的點(diǎn)到橢圓焦點(diǎn)的最小距離.【詳解】設(shè)橢圓的焦距為，且的周長(zhǎng)為，所以，橢圓的離心率為，則，綜上，，解得，則橢圓上的點(diǎn)到橢圓焦點(diǎn)的最小距離為．故選：B6.已知圓C：，若點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作圓C的兩條切線，，切點(diǎn)分別為A，B，則直線過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出的圓心和半徑，由幾何關(guān)系得到四點(diǎn)共圓，設(shè)，得到的圓的方程，與相減后得到直線的方程，求出直線過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】圓C：①的圓心為，半徑為2，過(guò)點(diǎn)P作圓C的兩條切線，，切點(diǎn)分別為A，B，故四點(diǎn)共圓，其中的中點(diǎn)為該圓心，為直徑，設(shè)，則的中點(diǎn)為，，故過(guò)的圓的方程為，變形得到②，由①②相減可得直線的方程，即，整理得， 令，解得，故直線過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo).故選：D7.已知是橢圓的左右焦點(diǎn)，若上存在不同兩點(diǎn)，，使得，則該橢圓的離心率的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】延長(zhǎng)交橢圓于，則有，設(shè)直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，再由韋達(dá)定理可知，，由，可得，從而得，，即可得答案.【詳解】解：延長(zhǎng)交橢圓于，根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性，則，，設(shè)直線的方程，，，聯(lián)立，整理得：，則，， 由，則，整理得：，則，即，∴橢圓離心率，∴橢圓的離心率的取值范圍．故選：D8.小明同學(xué)在完成教材橢圓和雙曲線的相關(guān)內(nèi)容學(xué)習(xí)后，提出了新的疑問(wèn)：平面上到兩個(gè)定點(diǎn)距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么呢？又具備哪些性質(zhì)呢？老師特別贊賞他的探究精神，并告訴他這正是歷史上法國(guó)天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)的，這類(lèi)曲線被稱(chēng)為“卡西尼卵形線”.在老師的鼓勵(lì)下，小明決定先從特殊情況開(kāi)始研究，假設(shè)、是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，滿(mǎn)足的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C，從而得到以下4個(gè)結(jié)論：①曲線C既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形；②動(dòng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是；③的取值范圍是；④的面積的最大值為1.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】設(shè)，由題設(shè)可得曲線C為，將、、代入即可判斷①；令，由在上有解，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求P的橫坐標(biāo)的取值范圍判斷②；由②分析可得，進(jìn)而求范圍判斷③；由基本不等式、余弦定理確定范圍，再根據(jù)三角形面積公式求最值判斷④.【詳解】令，則，所以，則，將、、代入上述方程后，均有， 所以曲線C既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，①正確；令，則，對(duì)于，對(duì)稱(chēng)軸為，所以在上遞增，要使在上有解，只需，所以，即，可得，②正確；由，由中，，所以，其中負(fù)值舍去，綜上，，又，即，所以，則，③正確；由，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，的面積，而，所以，所以的面積的最大值為1，④正確.綜上，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為4個(gè).故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：②③通過(guò)換元，構(gòu)造，利用根的分布求P的橫坐標(biāo)、的取值范圍.二、多選題9.已知方程，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，表示圓心為的圓B.當(dāng)時(shí)，表示圓心為的圓C.當(dāng)時(shí)，表示的圓的半徑為D.當(dāng)時(shí)，表示的圓與軸相切【答案】BD 【解析】【分析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)判定，即可求解．【詳解】由題意，方程，可化為，可得圓的圓心坐標(biāo)為，A中，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以A錯(cuò)誤；B中，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，表示圓心為的圓，所以B正確；C中，當(dāng)時(shí)，表示的圓的半徑為，所以C錯(cuò)誤；D中，當(dāng)時(shí)，可得，方程表示的圓半徑為，又圓心坐標(biāo)為，所以圓心到軸的距離等于半徑，所以圓與軸相切，所以D正確．故選：BD．10.已知直線：和圓O：，則（）A.直線恒過(guò)定點(diǎn)B.存在k使得直線與直線：垂直C.直線與圓相交D.直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為【答案】BCD【解析】【分析】利用直線方程求定點(diǎn)可判斷選項(xiàng)A；利用兩直線的垂直關(guān)系與斜率的關(guān)系判斷選項(xiàng)B；利用直線恒過(guò)定點(diǎn)在圓內(nèi)可判斷選項(xiàng)C；利用弦長(zhǎng)公式可判斷選項(xiàng)D．【詳解】對(duì)于A，由可得，，令，即，此時(shí)，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)橹本€：的斜率為，所以直線的斜率為，即，此時(shí)直線與直線垂直，滿(mǎn)足題意，B正確；對(duì)于C，因?yàn)槎c(diǎn)到圓心的距離為， 所以定點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓相交，C正確；對(duì)于D，設(shè)直線恒過(guò)定點(diǎn)，圓心到直線的最大距離為，此時(shí)直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短為，D正確；故選：BCD．11.已知雙曲線，若圓與雙曲線C的漸近線相切，則（）A.雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為6B.雙曲線C的離心率C.點(diǎn)P為雙曲線C上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)P到C的兩條漸近線的距離分別為、，則D.直線與交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為，則【答案】BC【解析】【分析】利用雙曲線的漸近線與圓相切求出的值，結(jié)合離心率公式可判斷AB選項(xiàng)的正誤；設(shè)點(diǎn)，則，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用點(diǎn)差法可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】解：由題意知的漸近線方程為，所以，因?yàn)椋瑒t，所以雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為，故A錯(cuò)誤；，所以，故B正確；設(shè)，則，，故C正確；設(shè)、，則，兩式作差得， 所以，，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12.對(duì)于橢圓，定義雙曲線為其伴隨雙曲線，則下列說(shuō)法中正確的有（）A.橢圓與其伴隨雙曲線有四個(gè)公共點(diǎn)B.若橢圓的離心率是其伴隨雙曲線的離心率的，則伴隨雙曲線的漸近線方程C.若橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，則直線與直線的交點(diǎn)在伴隨雙曲線上D.若橢圓的右焦點(diǎn)為，其伴隨雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)作的一條漸近線的垂線，垂足為，且為等腰三角形，則橢圓的離心率為或【答案】BCD【解析】【分析】求得橢圓與其伴隨雙曲線的交點(diǎn)判斷選項(xiàng)A；求得伴隨雙曲線的漸近線方程判斷選項(xiàng)B；求得直線與直線的交點(diǎn)判斷選項(xiàng)C；求得橢圓的離心率判斷選項(xiàng)D.【詳解】選項(xiàng)A：由可得或即橢圓與其伴隨雙曲線有二個(gè)公共點(diǎn)，.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：橢圓的離心率為，其伴隨雙曲線的離心率為則，整理得，即則伴隨雙曲線的漸近線方程.判斷正確； 選項(xiàng)C：橢圓左、右頂點(diǎn)分別為、，則可令直線與橢圓的交點(diǎn)、，則直線為，直線為由可得即直線與直線的交點(diǎn)為，由可得點(diǎn)在雙曲線上.判斷正確；選項(xiàng)D：橢圓的右焦點(diǎn)為，其伴隨雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)作的一條漸近線的垂線，垂足為，由，可得由為等腰三角形，可知等腰的頂點(diǎn)可能為或或當(dāng)?shù)妊捻旤c(diǎn)為時(shí)，，化簡(jiǎn)得，這與已知相矛盾，不符合題意；當(dāng)?shù)妊捻旤c(diǎn)為時(shí)，，整理得，即則橢圓的離心率為 當(dāng)?shù)妊捻旤c(diǎn)為時(shí)，，整理得則橢圓的離心率為故橢圓的離心率為或.判斷正確.故選：BCD三、填空題13.與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為4，且斜率為的直線l的方程為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】由已知設(shè)直線方程為，從而可得直線的截距為，進(jìn)而有，解方程可得b的值.【詳解】設(shè)直線l的方程為，令，可得；令，可得；由題意可得：，解得，所以直線l的方程為.故答案為：.14.圓心在直線上且與直線相切于點(diǎn)的圓的方程是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出過(guò)切點(diǎn)的圓半徑所在直線方程，進(jìn)而求出圓心坐標(biāo)即可作答.【詳解】依題意，過(guò)切點(diǎn)的圓的半徑所在直線方程為，即，由解得，因此所求圓的圓心為，半徑，所以所求圓的方程為. 故答案為：15.中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為的雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，則它的漸近線方程為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的離心率為，化簡(jiǎn)求得，進(jìn)而求得雙曲線的漸近線方程，得到答案.【詳解】由題意，社區(qū)向的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為，且焦點(diǎn)在y軸上，可得＝，則＝＝，整理得＝，解得＝，所以，所以雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.16.若、為橢圓：的左、右焦點(diǎn)，焦距為4，點(diǎn)為上一點(diǎn)，若對(duì)任意的，均存在四個(gè)不同的點(diǎn)滿(mǎn)足，則的離心率的取值范圍為_(kāi)________.【答案】【解析】【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律和橢圓的性質(zhì)求解.【詳解】由題可得，，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則,所以,即，因?yàn)?，所以，若存在四個(gè)不同點(diǎn)滿(mǎn)足，又，所以，即，所以， 所以，所以，故答案為:.四、解答題17.已知點(diǎn)，直線.（1）求過(guò)點(diǎn)A且與直線垂直的直線方程；（2）直線為過(guò)點(diǎn)A且和直線平行的直線，求平行直線，的距離.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用兩直線垂直，則斜率乘積為，設(shè)出直線方程為，代入點(diǎn)，解出即可.（2）根據(jù)兩直線平行則斜率相等，設(shè)出直線方程為，再利用平行線之間距離的公式即可求出兩直線距離.【小問(wèn)1詳解】設(shè)過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為.把點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得:,解得.過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)過(guò)點(diǎn)且和直線平行的直線的方程為:.把點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得:,解得.直線的方程為:.平行直線的距離.18.已知雙曲線：：(，)與有相同的漸近線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn) .（1）求雙曲線的方程；（2）已知直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)?，且線段的中點(diǎn)在圓上，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)共漸近線設(shè)雙曲線的方程，然后代入點(diǎn)計(jì)算；（2）聯(lián)立直線與雙曲線的方程，得關(guān)于的一元二次方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理，然后表示出的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的方程計(jì)算.【詳解】（1）由題意，設(shè)雙曲線的方程為，又因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)，，所以雙曲線的方程為：（2）由得設(shè)，則，，所以則中點(diǎn)坐標(biāo)為，代入圓得，所以.19.已知直角三角形ABC的頂點(diǎn)，直角頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為，頂點(diǎn)C在x軸上．（1）求直角三角形ABC的外接圓的一般方程；（2）設(shè)OA的中點(diǎn)為M，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足，G為OP的中點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，E為三角形ABC的外接圓的圓心，求點(diǎn)G的軌跡方程．【答案】（1）（2）【解析】 【分析】(1)根據(jù)題意求出直線BC的方程并求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)直角三角項(xiàng)外接圓的圓心為斜邊的中點(diǎn)，半徑為斜邊長(zhǎng)的一半即可求解；(2)結(jié)合（1）的結(jié)論和雙曲線的定義，求出點(diǎn)P的軌跡方程為，設(shè)，根據(jù)題意進(jìn)行等量代換即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題意知：直線AB的斜率為，∵，∴直線BC的斜率為，直線BC的方程為：令，則，∴C（4，0）由于三角形是以B為直角頂點(diǎn)的直角三角形，所以其外接圓的直徑為AC，從而外接圓的圓心為（1，0），半徑為3∴三角形ABC外接圓的方程為：，其一般方程為：【小問(wèn)2詳解】由（1）知：三角形ABC的外接圓的圓心E（1，0），∵M(jìn)為OA的中點(diǎn)，∴∵，∴P的軌跡是以M，E為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，設(shè)其方程為：則，，從而，，∴點(diǎn)P的軌跡方程為：①設(shè)，，∵G為OP的中點(diǎn)，則有，從而，∴ 代入①得點(diǎn)G的軌跡方程為：．20.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的左頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離是3，離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）斜率為的直線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，且與橢圓相交于，兩點(diǎn)．已知點(diǎn)，求的值．【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到關(guān)于的方程，解之即可求出結(jié)果;（2）聯(lián)立直線的方程與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理以及平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闄E圓的左頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離是3，所以．又橢圓的離心率是，所以，解得，，從而．所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，且過(guò)右焦點(diǎn)，所以直線的方程為．聯(lián)立直線的方程與橢圓方程，消去，得，其中．設(shè)，，則，．因?yàn)椋?．因此的值是．21.已知橢圓的左右兩個(gè)焦點(diǎn)為，且，橢圓上一動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線，且與橢圓交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，試求四邊形面積的最大值．【答案】（1）橢圓方程為，離心率為（2）【解析】【分析】（1）由橢圓的定義以及焦距，求得和的值，則，即可求得橢圓的方程和離心率.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程，代入橢圓方程，由橢圓方程及弦長(zhǎng)公式分別求得，，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求得四邊形面積的最大值.【小問(wèn)1詳解】由題意，又因?yàn)椋?，橢圓方程為，離心率為． 【小問(wèn)2詳解】①當(dāng)直線斜率不存在或者為時(shí)，易得，從而四邊形的面積為4．②當(dāng)直線斜率存在且不為時(shí)，設(shè)，直線，聯(lián)立，易知，由韋達(dá)定理得，，，同理，所以，從而四邊形面積的最大值為．22.已知橢圓E：的離心率為，橢圓E的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，，過(guò)且斜率為的動(dòng)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線，分別交☉C：于異于點(diǎn)的點(diǎn)，，設(shè)直線的斜率為，直線，的斜率分別為． ①求證：為定值；②求證：直線過(guò)定點(diǎn).【答案】（1）（2）①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由已知條件列出關(guān)于的方程組，解之可得；（2）設(shè)MN的方程為，設(shè)，，直線方程代入橢圓方程，整理后由韋達(dá)定理得，然后計(jì)算可得結(jié)論；②設(shè)PQ的方程為，設(shè)，，直線方程代入圓方程，整理后應(yīng)用韋達(dá)定理得，由點(diǎn)的坐標(biāo)求得，利用它等于可求得值，從而由直線方程得定點(diǎn)．【小問(wèn)1詳解】由題意解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；【小問(wèn)2詳解】①設(shè)MN的方程為，與聯(lián)立得：，設(shè)，，則，②設(shè)PQ的方程為，與聯(lián)立， 設(shè)，，則由，即此時(shí)，