重慶市永川萱花中學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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萱花中學(xué)2023-2024學(xué)年度高三上期半期考試數(shù)學(xué)試卷一?單選題：1.已知集合，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合交集運算求解即可.【詳解】由題，又，所以.故選：C2.已知復(fù)數(shù)，則（）A.B.C.0D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由復(fù)數(shù)的運算，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以，．故選：A3.荀子《勸學(xué)》中說：“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海．”所以說學(xué)習(xí)是日積月累的過程，每天進步一點點，前進不止一小點．我們可以把看作是每天的“進步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；這樣，一年后的“進步值”是“退步值”的倍．那么當“進步”的值是“退步”的值的3倍，大約經(jīng)過（）天．（參考數(shù)據(jù)：）A.20B.30C.40D.50 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知列方程，然后取對數(shù)求解．【詳解】設(shè)經(jīng)過天“進步”的值是“退步”的值的3倍，則，兩邊取對數(shù)得，∴，，故選：D．4.函數(shù)的大致圖象是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】方法一：根據(jù)函數(shù)的奇偶性及函數(shù)值的符號排除即可判斷；方法二：根據(jù)函數(shù)的奇偶性及某個函數(shù)值的符號排除即可判斷.【詳解】方法一：因為，即，所以，所以函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，又，所以函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，故排除；當時，，即，因此，故排除A.故選:D.方法二：由方法一，知函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，故排除；又，所以排除A.故選：D. 5.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（）A.“直線不相交”是“直線為異面直線”的充分不必要條件；B.若，則C.若直線，則；D.內(nèi)有不共線三點到距離相等，則【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間線面之間位置關(guān)系逐項判斷即可.【詳解】對于A，若“直線不相交”則直線可以平行，不一定異面，若“直線為異面直線”則直線一定不相交，所以“直線不相交”是“直線為異面直線”的必要不充分條件，A錯誤；對于B，若，則必有，B正確；對于C，若直線，則直線可以在內(nèi)，不一定有，所以C錯誤；對于D，不妨設(shè)點在內(nèi)，如下圖，三點不共線且到距離相等，不滿足，所以D錯誤；故選：B6.向量，且，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用平面向量數(shù)量積及模長計算夾角即可. 【詳解】由已知可得，又，所以故選：A7.已知，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先對兩式進行平方，進而可求出的值，根據(jù)二倍角公式求出結(jié)論.【詳解】解：因為，，所以平方得，，，即，，兩式相加可得，即，故，.故選：D.8.在棱長為的正方體中，已知為的中點，點為底面上的動點，若，則點的軌跡長度為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】取中點，可知四點共面；可分別證得平面，平面 ，從而得到，，由線面垂直的判定可知平面，由此可知點的軌跡為線段.【詳解】取的中點，的中點，的中點，連接，分別為中點，，四點共面；平面，平面，，四邊形為正方形，，又，平面，平面，又平面，；在與中，，，又，，即，，平面，平面，又平面，，，平面，平面，平面，；，平面，平面，，為底面上的動點，平面平面，點軌跡為線段，點軌跡長度為.故選：A.二?多選題：9.下列命題中，正確的是（）A.已知命題，則是B.從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2 個球，至少有一個黑球與至少有一個紅球是兩個互斥而不對立的事件C.甲?乙?丙?丁4個人到4個景點旅游，每人只去一個景點，設(shè)事件“4個人去的景點各不相同”，事件“甲獨自去一個景點”，則D.若隨機變量，且，則方差【答案】CD【解析】【分析】由命題的否定的定義判斷A，由互斥事件的定義判斷B，根據(jù)條件概率的定義計算判斷C，根據(jù)二項分布的均值與方差公式計算后判斷D．【詳解】全稱命題的否定是特稱命題，命題的否定是：，A錯；從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，至少有一個黑球與至少有一個紅球這兩個事件可能同時發(fā)生，它們不互斥，B錯；甲?乙?丙?丁4個人到4個景點旅游，每人只去一個景點，設(shè)事件“4個人去的景點各不相同”，事件“甲獨自去一個景點”，，，，C正確；若隨機變量，且，即，，則，，D正確．故選：CD．10.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.在上單調(diào)遞減C.點是圖象的一個對稱中心 D.將的圖象上所有的點向右平移個單位長度，可得到的圖象【答案】AC【解析】【分析】對于A，直接由周期公式計算即可；對于B，直接檢驗滿足的是否在單調(diào)遞減區(qū)間即可；對于C，直接代入檢驗即可；對于D，由平移變換法則得到相應(yīng)的解析式對比即可.【詳解】的最小正周期為，故A正確，由，所以在上單調(diào)遞增，故B錯誤，，所以是圖象的一個對稱中心，故C正確，的圖象上所有的點向右平移個單位長度得到的圖象，故D錯誤．故選：AC.11.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，．．，設(shè)第層有個球，從上往下層球的總數(shù)為，則（）A.BC.D. 【答案】ABD【解析】【分析】由題意歸納出各層球個數(shù)的規(guī)律：，然后再由此通項公式計算判斷各選項．【詳解】由已知，，A正確；，，B正確；，C錯誤；，所以，D正確．故選：ABD．12.如圖，在正方體中，，點在正方體內(nèi)部及表面上運動，下列說法正確的是（）A.若為棱的中點，則直線平面B.若在線段上運動，則的最小值為C.當與重合時，以為球心，為半徑的球與側(cè)面的交線長為D.若在線段上運動，則到直線的最短距離為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)空間中點、線、面之間的位置關(guān)系，結(jié)合異面直線間距離求法和球的截面求法逐項判斷即可. 【詳解】對于A，如圖，在中，為中位線，則，且平面，平面，所以平面，A正確；對于B，將沿展開與四邊形在同一個平面內(nèi)，連接交于，則線段即為的最小值，在中，，由余弦定理可求得，所以，即的最小值為，B錯誤；對于C，與重合時，以為球心，為半徑的球與側(cè)面的交線為以為圓心，半徑，圓心角為的圓弧，則交線長度為，故C正確； 對于D，若在線段上運動，則到直線的最短距離即為異面直線，之間的距離，連接交于，取中點為，中點，連接，，因為，且,所以四邊形為平行四邊形，且，因為，所以,即為異面直線，公垂線段，所以異面直線，之間距離為，D錯誤；故選：AC三?填空題：13.曲線在點處的切線方程為__________．（化為）【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得斜率后可得切線方程．【詳解】，時，，切線方程，即．故答案為：．14.已知向量，若，則的值可以是__________． 【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由垂直的坐標表示求解．【詳解】因為，所以，，∴，取，，故答案為：（答案不唯一）．15.已知函數(shù)的部分圖象如圖，，則_________．【答案】【解析】【分析】運用代入法，結(jié)合函數(shù)的對稱性和函數(shù)圖象的特征進行求解即可.【詳解】由函數(shù)的圖象可知該函數(shù)經(jīng)過、兩點，把代入函數(shù)解析式中，得，因為，所以，即，把代入中，得，設(shè)該函數(shù)的最小正周期為，由圖象可知， 所以令，得，即，該函數(shù)的對稱軸為：，與函數(shù)的圖象可知：關(guān)于對稱，因此有，且，，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是通過圖象得到和關(guān)于對稱.16.設(shè)定義在上的函數(shù)在單調(diào)遞減，且為偶函數(shù)，若，且有，則的最小值為__________．【答案】3【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求出關(guān)系，再利用基本不等式求解即可.【詳解】因為為偶函數(shù)，所以關(guān)于軸對稱，又因為在單調(diào)遞減，所以在單調(diào)遞增，因為，且有，所以，則，，當且僅當時取等號，所以.故答案為：3 四?解答題：17.已知是等差數(shù)列，公差不為0，其前項和為.若，，成等比數(shù)列，.（1）求及；（2）已知數(shù)列滿足，，，為數(shù)列的前項和，求的取值范圍.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）將，，成等比數(shù)列，．轉(zhuǎn)化為和的方程組，解出和，即可得到及；（2）數(shù)列滿足，當時，運用累加法求出，驗證時也成立，再利用裂項相消求和求出，根據(jù)其單調(diào)性即可求出的范圍【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的首項為，公差為，由題意得，解得∴，.（2）由得，當時，又由（1）知，∴.經(jīng)檢驗，當時上式仍成立，∴，∴， ∵在正整數(shù)集上單調(diào)遞增，，∴.【點睛】方法點睛：裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點，常見的裂項技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項的問題，導(dǎo)致計算結(jié)果錯誤.18.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面底面，側(cè)棱與底面所成的角為．（1）證明：平面平面；（2）若平面平面，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理和判定定理即可證明；（2）根據(jù)條件建立空間直角坐標系，求出平面和平面的法向量，進而可求出結(jié)果.【小問1詳解】證明：在正方形中，．又因為平面底面，平面平面平面，所以平面， 而平面，所以平面平面.【小問2詳解】設(shè)與交于點，則平面平面，在平面內(nèi)作垂直于，又因為平面平面，所以平面，而平面，所以，又，且，平面，所以平面，因為平面，所以，由（1）知平面，平面，所以，又，底面，所以底面，故和底面所成的角為，即，故．以A為原點，的方向為軸正方向，的方向為軸正方向，的方向為軸正方向建立空間直角坐標系．設(shè)．則，所以，設(shè)平面和平面的法向量分別為，由即取，得；由即，取，得． 所以，，設(shè)二面角的大小為，則．所以二面角的正弦值為．19.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設(shè)向量，，，且對任意，都有.（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標表示及三角恒等變換化簡求得，結(jié)合已知得，進而求得，利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)求遞增區(qū)間；（2）由正弦定理及、已知條件可得，結(jié)合余弦定理有，聯(lián)立求得，最后應(yīng)用三角形面積公式求面積.【小問1詳解】由題意得，且，所以，因為，所以，所以，即，所以，令，解得， 所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問2詳解】在中，由正弦定理，得，所以①，由余弦定理得，得②，由①②解得，所以的面積為.20.年月某學(xué)校舉行了普通高中體育與健康學(xué)業(yè)水平合格性考試．考試分為體能測試和技能測試，其中技能測試要求每個學(xué)生在籃球運球上籃、羽毛球?qū)哌h球和游泳個項目中任意選擇一個參加．某男生為了在此次體育學(xué)業(yè)考試中取得優(yōu)秀成績，決定每天訓(xùn)練一個技能項目．第一天在個項目中任意選一項開始訓(xùn)練，從第二天起，每天都是從前一天沒有訓(xùn)練的個項目中任意選一項訓(xùn)練．（1）若該男生進行了天的訓(xùn)練，求第三天訓(xùn)練的是“籃球運球上籃”的概率；（2）設(shè)該男生在考前最后天訓(xùn)練中選擇“羽毛球?qū)哌h球”的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）分別考慮第一天訓(xùn)練的是和不是“籃球運球上籃”的情況，根據(jù)古典概型概率公式可分別求得對應(yīng)的概率，加和即可求得結(jié)果；（2）分別求得每個可能的取值對應(yīng)的概率，進而確定分布列；根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式可求得期望.【小問1詳解】記第一天訓(xùn)練的是“籃球運球上籃”且第三天也是訓(xùn)練“籃球運球上籃”為事件；第一天訓(xùn)練的不是“籃球運球上籃”且第三天是訓(xùn)練“籃球運球上籃”為事件；由題意知：三天的訓(xùn)練過程中，所有可能的情況有：種，，，第三天訓(xùn)練的是“籃球運球上籃”的概率.【小問2詳解】 由題意知：所有可能的取值為，考前最后天訓(xùn)練中，所有可能的情況有：種；當時，第一天有種選擇，之后每天都有種選擇，；當時，若第一天選擇“羽毛球?qū)哌h球”，則第二天有種選擇，之后每天只有種選擇，共種選擇；若第二天選擇“羽毛球?qū)哌h球”，則第一天有種選擇，第三天種，之后每天只有種選擇，共種選擇；第三天選擇“羽毛球?qū)哌h球”，則第一天有種選擇，第二天有種選擇，第三天種選擇，第四天有種選擇，第五天有種選擇，共種選擇；第四天選擇“羽毛球?qū)哌h球”，則第一天有種選擇，第二天，第三天，第四天均只有種選擇，第五天有種選擇，共種選擇；第五天選擇“羽毛球?qū)哌h球”，則第一天有種選擇，第二天，第三天，第四天，第五天都只有種選擇，共種選擇；；當時，只有第一天，第三天，第五天，選擇“羽毛球?qū)哌h球”，共有種選擇，；，的分布列為：.21.在三棱臺中，平面，，，分別為，的中點． （1）證明：∥平面．（2）若，在線段上是否存在一點，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求的長度；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在；【解析】【分析】（1）先判斷四邊形為平行四邊形，再利用已知條件證明平面平面，從而可證線面平行（2）首先證明，判斷四邊形為正方形，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量為，設(shè)出，表示出，由直線與平面所成角的正弦值解出的值即可.【小問1詳解】證明：因為在三棱臺中，，為的中點，所以，又，所以四邊形為平行四邊形，，因為，分別為，的中點，所以為的中位線，所以，又、平面，且，所以平面平面，又平面，所以平面．【小問2詳解】連接，因平面，且平面，所以平面平面， 又平面平面，易知等邊三角形中，，所以平面，所以，又，，所以平面，從而，故四邊形為正方形，，如圖，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，不妨設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則：，得：令，可得．設(shè)直線與平面所成的角為，則，由，得，則，所以線段上存在一點，使得與平面所成角的正弦值為．22.已知函數(shù)，．（1）判斷是否存在x，使得，若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由； （2）討論的單調(diào)性．【答案】（1）不存在x，使得，理由見解析（2）答案見解析【解析】【分析】（1）原不等式等價于，結(jié)合換元法即可證明這不可能成立.（2）第二問首先換元，然后連續(xù)求導(dǎo)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性以及零點存在定理即可求解.【小問1詳解】不存在x，使得，理由如下：若成立，則，整理得，然而當時，，不妨設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即對于任意的，不可能成立，綜上所述，不存在x，使得.【小問2詳解】當時，，所以此時，求導(dǎo)得， 繼續(xù)求導(dǎo)得，所以單調(diào)遞減，而，，所以存在唯一的使得，且當時，，此時關(guān)于單調(diào)遞增，當時，，此時關(guān)于單調(diào)遞增減，又關(guān)于在上單調(diào)遞增，所以存在唯一，使得，且當即時，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知此時關(guān)于單調(diào)遞增，當即時，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知此時關(guān)于單調(diào)遞減，綜上所述：當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，其中，即滿足.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第一問關(guān)鍵是將不等式變形為，然后利用換元法即可，第二問的關(guān)鍵是要構(gòu)造利用換元法結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性來討論.