四川省宜賓市敘州區(qū)第二中學校2024屆高三上學期期末數(shù)學（理）試題 Word版含解析.docx

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敘州區(qū)二中2023年秋期高三期末考試理科數(shù)學試卷本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合，再根據(jù)一元二次方程求出集合，最后根據(jù)并集的定義計算可得.【詳解】解：由，即，解得，所以，由，即，解得，所以，所以故選：B2.已知復數(shù)，i為虛數(shù)單位，則z的共軛復數(shù)為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的運算公式求復數(shù)的代數(shù)形式，再求其共軛復數(shù)即可.【詳解】，所以z的共軛復數(shù)為，故選：B.3.采購經(jīng)理指數(shù)（PMI ），是通過對企業(yè)采購經(jīng)理的月度調(diào)查結果統(tǒng)計匯總、編制而成的指數(shù)，它涵蓋了企業(yè)采購、生產(chǎn)、流通等各個環(huán)節(jié)，包括制造業(yè)和非制造業(yè)領域，是國際上通用的檢測宏觀經(jīng)濟走勢的先行指數(shù)之一，具有較強的預測、預警作用．制造業(yè)PMI高于時，反映制造業(yè)較上月擴張；低于，則反映制造業(yè)較上月收縮．下圖為我國2021年1月—2022年6月制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)（PMI）統(tǒng)計圖．根據(jù)統(tǒng)計圖分析，下列結論最恰當?shù)囊豁棡椋ǎ〢.2021年第二、三季度的各月制造業(yè)在逐月收縮B.2021年第四季度各月制造業(yè)在逐月擴張C.2022年1月至4月制造業(yè)逐月收縮D.2022年6月PMI重回臨界點以上，制造業(yè)景氣水平呈恢復性擴張【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，將各個月的制造業(yè)指數(shù)與比較，即可得到答案.【詳解】對于A項，由統(tǒng)計圖可以得到，只有9月份的制造業(yè)指數(shù)低于，故A項錯誤；對于B項，由統(tǒng)計圖可以得到，10月份的制造業(yè)指數(shù)低于，故B項錯誤；對于C項，由統(tǒng)計圖可以得到，1、2月份的制造業(yè)指數(shù)高于，故C項錯誤；對于D項，由統(tǒng)計圖可以得到，從4月份的制造業(yè)指數(shù)呈現(xiàn)上升趨勢，且在2022年6月PMI超過，故D項正確.故選：D.4.人們用分貝(dB)來劃分聲音的等級，聲音的等級d(x)(單位：dB)與聲音強度(單位:)滿足d(x)＝9lg.一般兩人小聲交談時，聲音的等級約為54dB，在有50人的課堂上講課時，老師聲音的等級約為63dB，那么老師上課時聲音強度約為一般兩人小聲交談時聲音強度的（）A.1倍B.10倍C.100倍D.1000倍【答案】B 【解析】【分析】利用對數(shù)運算即可求解.【詳解】設老師上課時聲音強度，一般兩人小聲交談時聲音強度分別為，根據(jù)題意得＝，解得，，解得，所以因此，老師上課時聲音強度約為一般兩人小聲交談時聲音強度的10倍.故選:B.5.已知直線的方程為，，則直線的傾斜角范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】計算，再考慮和兩種情況，得到傾斜角范圍.【詳解】，則，設直線的傾斜角為，故，所以當時，直線的傾斜角；當時，直線的傾斜角；綜上所述：直線的傾斜角故選：B6.已知，則（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用余弦的和差公式對原式進行展開，平方后再利用，，去進行整理可得.【詳解】因為，所以，平方后可得，整理得，所以.故選：D.7.若，，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，判斷a,b,c的范圍，即可比較大小，可得答案.【詳解】由函數(shù)為增函數(shù)可知，由為增函數(shù)可得，由由為增函數(shù)可得，，，故選:D8.設是定義域為R的奇函數(shù)，且.若，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由題意利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關系即可求得的值. 詳解】由題意可得：，而，故.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關系式，靈活利用所給的條件進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關鍵.9.若將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度后，與函數(shù)的圖像重合，則的最小值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先得到平移后的解析式，再由題中條件，列出等式，求出，即可得出結果.【詳解】將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖像，即，與函數(shù)的圖像重合即，故∴，所以的最小值為.故選：B.10.已知某校高三（1）班有8位同學特別優(yōu)秀，從他們中隨機選取若干位參加市里舉辦的百科知識競賽，選取的方法是，由班主任和教務主任兩位老師各隨機給其中4 位同學投票，被兩位老師都投票的同學參加競賽，則恰有3人參加競賽的概率為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求出兩位老師每人從8人中選4人的情況，再分步考慮恰有3人參加競賽的情況即可求出.【詳解】由題，兩位老師每人從8人中選4人，共有種，恰有3人參加競賽，則先從8人中選3人，則一位老師從剩下的5人中選1人，另一位老師再從剩下的4人中選一人，則共有種，所以恰有3人參加競賽的概率為.故選：A11.如圖，已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，，點在上底面（包括邊界）上運動，則三棱錐外接球表面積的最大值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由條件確定球心位置，引入變量表示球的半徑，由此確定球的表面積及其最大值.【詳解】因為為等腰直角三角形，，所以的外接圓的圓心為的中點，且，設的中點為，連接，則，則平面， 設三棱錐外接球的球心為，由球的性質(zhì)可得在上，設，，外接球的半徑為，因為，所以，即，又，則，因為，所以所以三棱錐外接球表面積的最大值為.故選：B.【點睛】方法點睛：常見幾何體的外接球半徑求法：（1）棱長為的正方體的外接球半徑為；（2）長方體的長，寬，高分別為，則其外接球的半徑為；（3）直棱柱的高為，底面多邊形的外接圓半徑為，則其外接球的半徑為.12.已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，過作與一條漸近線平行的直線，交另一條漸近線于點，交拋物線的準線于點，若三角形（為原點）的面積，則雙曲線的方程為（）A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】由拋物線方程得出焦點坐標和準線方程，聯(lián)立直線與漸近線方程得出的坐標，聯(lián)立直線與準線方程得出的坐標，根據(jù)三角形的面積得出，再結合，，可解得結果.【詳解】由得，所以，所以直線，拋物線的準線為：，聯(lián)立可得，所以，聯(lián)立可得，所以，所以，所以，所以，即，又，，所以，所以，所以，所以雙曲線的方程為.故選：D.【點睛】本題考查了拋物線和雙曲線的幾何性質(zhì)，考查了三角形的面積，考查了運算求解能力，屬于基礎題.第II卷非選擇題（90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若直線與平行，則實數(shù)a的值是___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行得到，解得，再代入檢驗即可；【詳解】解：因為直線與平行， 所以，解得，當時，直線與，兩條直線重合，故舍去.當時，直線與，符合題意.故答案為：14.若展開式的常數(shù)項為，則正整數(shù)n的值為___________.【答案】4【解析】【分析】由題可得，然后利用通項公式即得.【詳解】∵，∴其展開式的常數(shù)項為，故n為偶數(shù)，解得.故答案為：4.15.已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，則實數(shù)______________________．【答案】1【解析】【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)有，列方程求參數(shù)a即可.【詳解】由題設，所以，可得.故答案為：116.在棱長為1的正方體中，點是對角線的動點（點與不重合），則下列結論正確的有__________. ①存在點，使得平面平面；②分別是在平面，平面上的正投影圖形的面積，存在點，使得；③對任意的點，都有；④對任意的點的面積都不等于.【答案】①②③【解析】【分析】當直線交平面于點時，根據(jù)面面平行的判定定理即可判斷①正確；設根據(jù)面積可解得即可判斷②正確；利用線面垂直判定定理可證明當直線交平面于點時滿足，可得③正確，由③可知當點是線段上靠近點的三等分點時，的面積等于，即④錯誤.【詳解】對于①，根據(jù)題意，連接，如下圖所示：由正方體性質(zhì)可得，平面，平面，所以可得平面，同理可平面，又，且平面， 所以可得平面平面，當直線交平面于點時，有平面，即①正確；對于②，設，則在平面上的正投影圖形的面積為，在平面上的正投影圖形的面積與在平面上的的面積相等，即，若，則可得，解得或，又因為，所以可得，故存在點，使得，即②正確；對于③，取的中點為，的中點為，連接交于點，如下圖所示：由正方形性質(zhì)可知，，且，又，平面，所以平面；又，所以平面，可得，由的中點為，所以可得即為線段的垂直平分線，可知，即③正確；對于④，利用正方體性質(zhì)可得平面平面,所以；同理可得平面,平面,所以；又，所以平面，易知平面，所以； 結合③的結論即可得即為和的公垂線，即的高的最小值即為，易知，，可得，所以此時，即，即的面積，即當點是線段上靠近點的三等分點時，的面積等于，即④錯誤；故答案為：①②③【點睛】方法點睛：處理立體幾何中動點問題時，往往利用面面平行、線面垂直等判定定理首先確定滿足條件的動點位置，再利用幾何體性質(zhì)驗證是否符合題意，即可求出最值或范圍等問題.三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知函數(shù)（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）三角形的三邊a，b，c滿足，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用倍角公式以及兩角和差的正弦公式進行化簡可得，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）根據(jù)余弦定理可求得，便可知取值范圍從而求得的取值范圍.【小問1詳解】解：由題意得： 當時，函數(shù)單調(diào)遞增，解得：的單調(diào)遞增區(qū)間：【小問2詳解】由可知由余弦定理得：故可知∴又∴．18.2021年7月24日中華人民共和國教育部正式發(fā)布《關于進一步減輕義務教育階段學生作業(yè)負擔和校外培訓負擔的意見》，簡稱“雙減”政策.某校為了解該校小學生在“雙減”政策下課外活動的時間，隨機抽查了40名小學生，統(tǒng)計了他們參加課外活動的時間，并繪制了如下的頻率分布直方圖.如圖所示. （1）由頻率分布直方圖估計該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）；（2）由頻率分布直方圖可認為：課外活動時間t（分鐘）服從正態(tài)分布，其中為課外活動時間的平均數(shù).用頻率估計概率，在該校隨機抽取5名學生，記課外活動時間在內(nèi)的人數(shù)為X，求X的數(shù)學期望（精確到0.1）.參考數(shù)據(jù)：當X服從正態(tài)分布時，，，.【答案】（1），（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)頻率直方圖中位數(shù)、平均數(shù)的求法直接計算即可；(2)利用正態(tài)曲線的對稱性求出，進而結合二項分布的性質(zhì)求出即可.【小問1詳解】由圖可知該組數(shù)據(jù)中位數(shù)位于第四組，設中位數(shù)為x，則，解得，平均數(shù)為：；【小問2詳解】，，，，，由題意知： 19.如圖，在三棱柱中，平面平面，四邊形是矩形，是菱形，分別是的中點，，．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】(1)由平面平面可得平面，從而，所以平面.（2）建立空間直角坐標系，計算可得.【小問1詳解】證明：因為側面為矩形，所以，因為平面，平面平面，平面平面，所以平面，因為平面，所以，因為側面為菱形，所以，因為，所以平面【小問2詳解】取的中點，連接，因為四邊形為菱形，且， 所以為正三角形，所以，因為，所以，所以平面，所以兩兩垂直.以分別為軸，軸和軸建立空間直角坐標系.設，則，且，則，，，，，.，，，，設平面的一個法向量，由，得，求得，設平面的一個法向量，由，得，求得，，，所以二面角的正弦值為.20.動點P到定點F(0，1)的距離比它到直線的距離小1，設動點P的軌跡為曲線C，過點F的直線交曲線C于A、B兩個不同的點，過點A、B分別作曲線C的切線，且二者相交于點M．（1）求曲線C的方程；（2）求證：； （3）求△ABM的面積的最小值．【答案】（1）；（2）見解析；（3）4．【解析】【分析】（1）利用定義判斷出曲線為拋物線；（2）設出點的坐標，利用導數(shù)分別求出過點的切線方程，求出交點的坐標為，聯(lián)立直線和拋物線的方程，利用韋達定理算出，從而得到，利用向量可以計算，所以；（3）利用焦半徑公式和點到直線的距離可以求得，從而求得面積的最小值為．【小問1詳解】解：由已知，動點在直線上方，條件可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離等于它到直線距離，∴動點的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，故其方程為．【小問2詳解】證：設直線的方程為：，由得：，設，則，．由得：， ，∴直線的方程為：①，直線的方程為：②，①－②消y得：，即，將代入①得：，，故，，．【小問3詳解】解：由（2）知，點到的距離，，，∴當時，的面積有最小值4．【點睛】形如的拋物線，考慮其切線時可以利用導數(shù)去討論． 21.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，證明：函數(shù)有兩個零點；（3）若函數(shù)有兩個不同的極值點（其中），證明：．【答案】（1）和（2）見解析（3）見解析【解析】【分析】（1）求導，再根據(jù)導函數(shù)的符號即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）可知，證明，結合零點的存在性定理即可得出結論；（3）寫出函數(shù)的解析式，求導，根據(jù)題意可知，，則有，要證等價于證，即證，令，構造函數(shù)，證明即可.【小問1詳解】解：，當時，，當時，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為和；【小問2詳解】證明：由（1）知，因為，所以， 又當時，，，所以函數(shù)在上存在一個零點，在上存在一個零點，所以函數(shù)有兩個零點；【小問3詳解】證明：，則，因為函數(shù)有兩個不同的極值點（其中），所以，，要證等價于證，即證，所以，因為，所以，又，，作差得，所以，所以原不等式等價于要證明，即，令，則上不等式等價于要證：， 令，則，所以函數(shù)在上遞增，所以，所以，所以．【點睛】本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查了函數(shù)的零點問題及極值問題，考查了利用導數(shù)證明不等式問題，考查了學生的數(shù)據(jù)分析能力及轉(zhuǎn)化能力，屬于難題.（二）選考題，共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]22.以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）（1）求圓C的半徑以及圓心的直角坐標；（2）若點直線l上，且在圓C內(nèi)部（不含邊界），求的取值范圍．【答案】（1）半徑為4，（2）【解析】【分析】（1）將圓的極坐標方程化為直角坐標方程，整理成標準方程，然后可得；（2）直線參數(shù)方程代入目標函數(shù)，根據(jù)直線參數(shù)的幾何意義，結合直線過圓心可得.【小問1詳解】由圓C的極坐標方程得， 所以圓C的直角坐標方程為，即，所以圓C的半徑為4，圓心為．【小問2詳解】設，將代入，得．根據(jù)直線l的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義可知，表示直線l上的點到點的距離，又因為為圓C的圓心，所以，即，即的取值范圍是．[選修4-5：不等式選講]23.已知函數(shù)的最小值為.（1）求的值；（2）若為正實數(shù)，且，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由題意，得到函數(shù)，利用分段函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最小值，即可求解；（2）由（1）可得，實數(shù)為正實數(shù)，且，代入利用基本不等式即可作出證明.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以；當時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以； 當時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，綜上可得，函數(shù)的最小值為，所以.（2）由（1）可得，實數(shù)為正實數(shù)，且，所以.當且僅當時等號成立，所以.