重慶市渝北中學(xué)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期2月月考 數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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渝北中學(xué)2023-2024學(xué)年(下)高三2月月考質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（全卷共四大題19小題總分150分考試時長120分鐘）注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將姓名、班級填寫清楚．2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色簽字筆書寫，字體工整、筆跡清晰．3．請按照題號順序在答題卡相應(yīng)區(qū)域作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在試卷和草稿紙上答題無效．一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1已知集合，則（）A.B.C.D.2.已知直線a，m，n，l，且m，n為異面直線，平面，平面．若l滿足，，則下列說法中正確的是（）A.B.C.若，則D.3.2023年11月30日，重慶市軌道交通新開通6個站點，包括5號線中段忠恕沱、紅巖村、歇臺子3個站點和10號線南湖、萬壽路、蘭花路3個站點，為廣大市民的出行提供了更多便利.某同學(xué)從中隨機選擇4個站點實地考察周邊情況，則在紅巖村被選中的條件下，10號線不少于2個站點的概率為（）A.B.C.D.4.被譽為信息論之父的香農(nóng)提出了一個著名的公式：，其中C為最大數(shù)據(jù)傳輸速率，單位為；W為信道帶寬，單位為；為信噪比.香農(nóng)公式在5G技術(shù)中發(fā)揮著舉足輕重的作用.當(dāng)，時，最大數(shù)據(jù)傳輸速率記為；當(dāng)，時，最大數(shù)據(jù)傳輸速率記為，則為（） A.B.C.D.35.已知，則的值是（）A.B.C.D.6.過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（）A.B.C.D.7.函數(shù)在上的圖象大致為（）A.B.C.D.8.已知點為拋物線的焦點，過的直線與交于兩點，則的最小值為（）A.B.4C.D.6二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知復(fù)數(shù)，，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.C.D. 10.已知，的定義域為R，且（），，若為奇函數(shù)，則（）A.關(guān)于對稱B.為奇函數(shù)C.D.為偶函數(shù)11.已知正項數(shù)列滿足，，其中，則（）A.為單調(diào)遞減數(shù)列B.C.D.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知等差數(shù)列滿足，前項和為，則______________________．13.已知向量，為單位向量，且，向量與共線，則的最小值為__________.14.如圖，已知正方體的棱長為2，點分別為棱，，，的中點，且點都在球的表面上，點是球表面上的動點，當(dāng)點到平面的距離最大時，異面直線與所成角的余弦值的平方為____________．四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.設(shè)為數(shù)列的前項和，已知是首項為、公差為的等差數(shù)列．（1）求通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項積．16.某面包店的面包師聲稱自己店里所出售的每個面包的質(zhì)量均服從期望為，標(biāo)準(zhǔn)差為 的正態(tài)分布．（1）已知如下結(jié)論：若，從X的取值中隨機抽取K（，）個數(shù)據(jù)，記這K個數(shù)據(jù)的平均值為Y，則隨機變量請利用該結(jié)論解決問題；假設(shè)面包師的說法是真實的，那么從面包店里隨機購買25個面包，記這25個面包質(zhì)量的平均值為Y，求；（2）假設(shè)有兩箱面包（面包除顏色外，其它都一樣），已知第一箱中共裝有6個面包，其中黃色面包有2個；第二箱中共裝有8個面包，其中黃色面包有3個，現(xiàn)隨機挑選一箱，然后從該箱中隨機取出2個面包，求取出黃色面包個數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：隨機變量服從正態(tài)分布，則，，．17.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，且，點分別為棱的中點，且平面.（1）證明：平面；（2）求二面角大小.18.已知雙曲線C中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，點在C上，點P與C的上、下焦點連線所在直線的斜率之積為．（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）經(jīng)過點直線與雙曲線C交于E，F(xiàn)兩點(異于點P)，過點F作平行于x軸的直線，直線PE與交于點D，且求直線AB的斜率．19.已知（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程， （2）當(dāng)時，判斷是否存在極值，并說明理由；（3），求實數(shù)的取值范圍. 渝北中學(xué)2023-2024學(xué)年(下)高三2月月考質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（全卷共四大題19小題總分150分考試時長120分鐘）注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將姓名、班級填寫清楚．2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色簽字筆書寫，字體工整、筆跡清晰．3．請按照題號順序在答題卡相應(yīng)區(qū)域作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在試卷和草稿紙上答題無效．一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先化簡集合A，B，再利用集合的交集運算求解.【詳解】解：因為集合，所以，故選：A2.已知直線a，m，n，l，且m，n為異面直線，平面，平面．若l滿足，，則下列說法中正確的是（）A.B.C.若，則D.【答案】C【解析】【分析】由線面平行的判定定理和線面垂直的性質(zhì)定理可判定選項A、C，其它易證.【詳解】若，因為平面，， 所以，同理，過m上一點做直線n的平行線，則，設(shè)由m和確定的平面為，則，而，，同上可知，故，選項C正確；有可能，所以選項A錯誤；由上可知，且，所以，或，選項B錯誤；如上圖，不一定成立，選項D錯誤.故選：C3.2023年11月30日，重慶市軌道交通新開通6個站點，包括5號線中段忠恕沱、紅巖村、歇臺子3個站點和10號線南湖、萬壽路、蘭花路3個站點，為廣大市民的出行提供了更多便利.某同學(xué)從中隨機選擇4個站點實地考察周邊情況，則在紅巖村被選中的條件下，10號線不少于2個站點的概率為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出在紅巖村被選中的條件下共有的選法數(shù)，再求出10號線不少于2個站點的選法數(shù)，根據(jù)古典概型的計算公式即可求得答案.【詳解】在紅巖村被選中的條件下，還需從其它5個站點中選擇3個，共有種選法，其中10號線不少于2個站點的選法有種，故在紅巖村被選中的條件下，10號線不少于2個站點的概率為，故選：B4.被譽為信息論之父的香農(nóng)提出了一個著名的公式：，其中C為最大數(shù)據(jù)傳輸速率，單位為；W為信道帶寬，單位為；為信噪比.香農(nóng)公式在5G技術(shù)中發(fā)揮著舉足輕重的作用.當(dāng)，時，最大數(shù)據(jù)傳輸速率記為；當(dāng)， 時，最大數(shù)據(jù)傳輸速率記為，則為（）A.B.C.D.3【答案】D【解析】【分析】由題意可知，分別將數(shù)據(jù)代入利用對數(shù)運算法則計算出，，即可求得.【詳解】根據(jù)題意，將，代入可得；將，代入可得；所以可知.故選：D5.已知，則的值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)差角公式和輔助角公式將題中所給的條件化簡，求得，再利用誘導(dǎo)公式得到結(jié)果.【詳解】因為，可得，所以.故選：B. 6.過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】圓的方程化為，求出圓心和半徑，利用直角三角形求出，由二倍角公式可得的值．【詳解】圓可化為，則圓心，半徑為；設(shè)，切線為、，則，中，，所以．故選：A．7.函數(shù)在上的圖象大致為（）A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，結(jié)合特殊值，即可排除選項.【詳解】首先，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故排除D，，故排除B，當(dāng)時，，故排除A，只有C滿足條件.故選：C8.已知點為拋物線的焦點，過的直線與交于兩點，則的最小值為（）A.B.4C.D.6【答案】C【解析】【分析】設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組得出兩點坐標(biāo)的關(guān)系，根據(jù)拋物線的性質(zhì)得出關(guān)于兩點坐標(biāo)的式子，使用基本不等式求出最小值.【詳解】拋物線的焦點，過的斜率為0的直線為，直線與拋物線有且只有一個交點，與條件矛盾，故直線的斜率不為0，故可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，得，方程的判別式，設(shè)，則，，所以， 由拋物線的性質(zhì)得，.當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故選：C.二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知復(fù)數(shù)，，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)以及模的運算公式對應(yīng)各個選項逐個判斷即可求解．【詳解】設(shè)，，其中.對于選項A:，所以與不一定相等，故選項A錯誤；對于選項B:因為，所以，因為，所以,故選項B正確；對于選項C:因為,所有因為，所以,故選項C正確；對于選項D:因為，所以，而與不一定相等,故選項D 錯誤；故選：BC.10.已知，定義域為R，且（），，若為奇函數(shù)，則（）A.關(guān)于對稱B.為奇函數(shù)C.D.為偶函數(shù)【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性，對稱性定義一一判斷即可.【詳解】因為的定義域為R，且，所以關(guān)于對稱，故A正確；但不能確定為奇函數(shù)，故B錯誤；根據(jù)題意，是定義域為的奇函數(shù)，所以，令，得，故C正確；因為，則，結(jié)合，則，所以，即為偶函數(shù)，故D正確.故選：ACD11.已知正項數(shù)列滿足，，其中，則（）A.為單調(diào)遞減數(shù)列B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，放縮法證明不等式逐個選項分析即可.【詳解】對于AB，由已知得，令， 定義域為，，令，，當(dāng)時，此時恒成立，故在上單調(diào)遞減，，也可得，即，故在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則，故，則，即，故為單調(diào)遞減數(shù)列，故A正確，顯然，故B錯誤；對于C，欲證，且由題意得，即證，即證，取指數(shù)得，又易知，化簡得，故證明恒成立即可，令，，而，故在上單調(diào)遞增，且，故，即恒成立，故得證，故C正確，對于D，由C可知，，，，，，上式相加，得，故得證，故D正確.故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)證明數(shù)列的單調(diào)性，再構(gòu)造函數(shù)結(jié)合放縮法證明不等式即可.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知等差數(shù)列滿足，前項和為，則______________________．【答案】12【解析】 【分析】根據(jù)條件，利用等差數(shù)列的性質(zhì)及前項和公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因為數(shù)列是等差數(shù)列，又，所以，故答案為：.13.已知向量，為單位向量，且，向量與共線，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】令，利用向量模的計算公式把表示成t的函數(shù)，求出函數(shù)最小值即可.【詳解】因向量與共線，令，則，而向量，為單位向量，且，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，所以的最小值為.故答案：14.如圖，已知正方體的棱長為2，點分別為棱，，，的中點，且點都在球的表面上，點是球表面上的動點，當(dāng)點到平面的距離最大時，異面直線與所成角的余弦值的平方為____________． 【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件，得出球是正方體的棱切球，進(jìn)而得出圓心和半徑，再利用球的性質(zhì)得出點的位置，利用幾何關(guān)系得出就是異面直線與所成角，再計算出，即可求出結(jié)果.【詳解】因為點分別為棱，，，的中點，且點都在球的表面上，則球是正方體的棱切球，球心為對角線的中點，半徑為，取的中點，則點為延長線與球O表面的交點時點到平面的距離最大，此時，，．連接OE，則，就是異面直線與所成角，因為，所以，所以異面直線與所成角余弦值的平方為，故答案為：. 【點睛】關(guān)鍵點點晴：本題的關(guān)鍵在于，利用點都在球的表面上，得到球為正方體的棱切球，利用球的性質(zhì)，將球面上的點到平面的最大距離轉(zhuǎn)化成球心到平面的距離不處理，再利用幾何關(guān)系來解決問題.四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.設(shè)為數(shù)列的前項和，已知是首項為、公差為的等差數(shù)列．（1）求的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出，再由求出，驗證，從而求解.（2）由（1）可得，從而可求解.【小問1詳解】由是首項為、公差為的等差數(shù)列，故，即，當(dāng)時，，故，當(dāng)時，，符合上式，故；【小問2詳解】 由，，故，則.16.某面包店的面包師聲稱自己店里所出售的每個面包的質(zhì)量均服從期望為，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布．（1）已知如下結(jié)論：若，從X的取值中隨機抽取K（，）個數(shù)據(jù)，記這K個數(shù)據(jù)的平均值為Y，則隨機變量請利用該結(jié)論解決問題；假設(shè)面包師的說法是真實的，那么從面包店里隨機購買25個面包，記這25個面包質(zhì)量的平均值為Y，求；（2）假設(shè)有兩箱面包（面包除顏色外，其它都一樣），已知第一箱中共裝有6個面包，其中黃色面包有2個；第二箱中共裝有8個面包，其中黃色面包有3個，現(xiàn)隨機挑選一箱，然后從該箱中隨機取出2個面包，求取出黃色面包個數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：隨機變量服從正態(tài)分布，則，，．【答案】（1）（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為【解析】【分析】（1）根據(jù)題設(shè)求得隨機變量的期望和標(biāo)準(zhǔn)差，由條件算出，利用正態(tài)分布圖的對稱性性質(zhì)即可求得；（2）根據(jù)題意，得出隨機變量的可能值，結(jié)合條件可得概率，從而可得分布列及數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】由題意則，所以，于是隨機變量的期望為，標(biāo)準(zhǔn)差為， 因，故.【小問2詳解】設(shè)取出黃色面包個數(shù)為隨機變量，則的可能取值為0，1，2．則故隨機變量的分布列為：012p所以數(shù)學(xué)期望為：17.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，且，點分別為棱的中點，且平面.（1）證明：平面；（2）求二面角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】 【分析】（1）取中點，連接，可證，進(jìn)而平面；（2）根據(jù)已知可證平面，取中點，以所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由兩平面夾角的向量公式可解.【小問1詳解】取中點，連接點為中點，.底面是邊長為2的正方形，為中點，.四邊形是平行四邊形.,平面平面平面.【小問2詳解】平面平面.又底面是邊長為2的正方形，平面，平面，平面.平面.又平面..底面是邊長為2的正方形，，為中點，.又平面，平面，平面.取中點，以所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 所以，設(shè)平面法向量為，則設(shè)平面法向量為，則，，所以向量的夾角為，結(jié)合圖形可知二面角為銳角，所以二面角的大小為.18.已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，點在C上，點P與C的上、下焦點連線所在直線的斜率之積為．（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）經(jīng)過點的直線與雙曲線C交于E，F(xiàn)兩點(異于點P)，過點F作平行于x軸的直線，直線PE與交于點D，且求直線AB的斜率．【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）由題意知雙曲線焦點在軸上，設(shè)雙曲線方程為，將代入雙曲線方程，然后根據(jù)直線斜率公式即可得到關(guān)于的兩個方程，即可求解.（2）由題意設(shè)直線方程為，，，與雙曲線聯(lián)立后根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可以表示出與，分直線的斜率是否存在兩種情況進(jìn)行討論，通過直線的方程表示出點的坐標(biāo)，由已知條件可知點為中點，進(jìn)而可將點坐標(biāo)及直線斜率用表示，通過之前求得的與即可進(jìn)行求解.【小問1詳解】第一步：根據(jù)點P在雙曲線上得a，b的關(guān)系式由題意設(shè)雙曲線C的方程為()，由點在C上，得．①第二步：根據(jù)直線的斜率公式得a，b的關(guān)系式設(shè)C的上、下焦點分別為，，則，解得，所以．②第三步：聯(lián)立方程解得，的值由①②得，，第四步：得雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問2詳解】第一步：設(shè)直線方程，聯(lián)立方程得根與系數(shù)的關(guān)系由題意可知，直線EF的斜率不為0，設(shè)直線EF的方程為，，，聯(lián)立，得方程組整理得 所以，，解得，所以，，則．第二步：用，表示點D的坐標(biāo)當(dāng)直線PE的斜率不存在時，易得，，，，此時直線AB的斜率為．當(dāng)直線PE的斜率存在時，直線PE的方程為，所以點D的坐標(biāo)為，由，可得，第三步：用，表示點B的坐標(biāo)由，得點B為DF的中點，所以，則，第四步：根據(jù)斜率的計算公式求直線AB的斜率．所以．故直線AB的斜率為．【點睛】解決直線與雙曲線的綜合問題時，要注意： （1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、雙曲線的條件；（2）強化有關(guān)直線與雙曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．19.已知（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）當(dāng)時，求曲線在點處切線方程，（2）當(dāng)時，判斷是否存在極值，并說明理由；（3），求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）有一個極大值，一個極小值，理由見解析（3）【解析】【分析】（1）當(dāng)時，求得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解；（2）當(dāng)時，求得，令，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性與，得到存在使得，存在使得，進(jìn)而得到答案；（3）求得，根據(jù)題意，得到，令，得到使得，利用函數(shù)的單調(diào)性，求得，再由，求得，再由，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【小問1詳解】解：當(dāng)時，，可得，則，所以曲線在點處的切線方程為，即.小問2詳解】解：當(dāng)時，，定義域為， 可得，令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在遞減，在上遞增，所以，又由，存在使得，存在使得，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增；所以時，有一個極大值，一個極小值.【小問3詳解】解：由，可得，由，因為，可得，令，則在上遞減，當(dāng)時，可得，則，所以，則，又因為，使得，即且當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即，所以在遞增，在遞減，所以，由，可得， 由，可得，即，由，可得，所以，因為，設(shè)，則，可知在上遞增，且，所以實數(shù)的取值范圍是.【點睛】方法技巧：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．