吉林省四校2023-2024學年高二下學期期初聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）.docx

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2023-2024學年度高二下學期四校期初聯(lián)考數(shù)學試題本試卷滿分150分，共4頁.考試時間為120分鐘一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一個項是符合題目要求的，請仔細審題，認真做答）1.已知直線l的方向向量為，則l的傾斜角為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出直線斜率，進而求出直線傾斜角即得.【詳解】直線的一個方向向量為，則直線斜率為，所以直線的傾斜角為.故選：B.2.等差數(shù)列的前項和為.若，則（）A.8096B.4048C.4046D.2024【答案】B【解析】【分析】根據等差數(shù)列性質可得，再結合等差數(shù)列的求和公式從而可求解.【詳解】由等差數(shù)列的性質可得，所以，所以.故B正確.故選：B.3.如圖，在棱長為1的正方體中，點分別是棱的中點，則異面直線與所成角的正弦值為（）第22頁/共22頁學科網（北京）股份有限公司 A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】建立適當空間直角坐標系后借助空間向量即可求夾角的正弦值.【詳解】如圖，以點為坐標原點，分別為軸建立空間直角坐標系，因為正方體的棱長為1，所以，所以，則，所以異面直線與所成角的余弦值為，所以正弦值為.故選：C.4.已知分別是橢圓左、右焦點，點在橢圓上，是坐標原點，且，則的面積等于（）A.B.C.D.第22頁/共22頁學科網（北京）股份有限公司 【答案】A【解析】【分析】設，列出方程組，從而可求解.【詳解】設，則，消去得，所以的面積，故A正確.故選：A.5.如圖是瑞典數(shù)學家科赫在1904年構造的能夠描述雪花形狀的圖案．圖形的作法是：從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊．反復進行這一過程，就得到一條“雪花”狀的曲線．設原正三角形（圖①）的邊長為1，把圖①，圖②，圖③，圖④中圖形的周長依次記為，，，，則=（　　）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】觀察圖形可得出為首項為，公比為的等比數(shù)列，即可求出.【詳解】觀察圖形發(fā)現(xiàn)，從第二個圖形開始，每一個圖形的周長都在前一個的周長的基礎上多了其周長的，即，所以為首項為，公比為的等比數(shù)列，故選：B.第22頁/共22頁學科網（北京）股份有限公司 6.已知直線與圓交于兩點，則下列結論不正確的（）A.圓的面積為B.過定點C.面積的最大值為D.【答案】C【解析】【分析】將圓的方程整理成標準式，得到圓心和半徑，即可求解圓面積判斷A，直線整理成關于的方程，令其系數(shù)為0，即可得出直線過的定點，判斷B；由，結合弦長公式與基本不等式，即可判斷C；分別求出過點的弦長的最大值和最小值，即可判斷D.【詳解】對于A：圓即的圓心為，半徑，故圓D的面積為，故A正確；對于B：將直線整理為：，令，解得，即直線過定點，故B正確；對于C：定點到圓心的距離，設點到直線的距離為，則，則，當且僅當，即時，等號成立，故的面積的最大值為，故C錯誤；對于D：當直線與垂直時，弦的長度最小，當直線過圓心時，弦的長度最大，所以可得，故D正確.故選：C.7.如圖，已知拋物線，圓，過圓心的直線與拋物線和圓依次交于第22頁/共22頁學科網（北京）股份有限公司 ，則的最小值為（）A.14B.23C.18D.15【答案】A【解析】【分析】設點，分析可知，直線不與軸重合，設直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用拋物線的焦半徑公式以及基本不等式可求得的最小值.【詳解】易知拋物線的焦點為，設點，圓的半徑為1，由拋物線的定義可得，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個公共點，不合乎題意，設直線的方程為，聯(lián)立，可得，則，由韋達定理可得，所以，當且僅當時，即當或時，等號成立，因此的最小值為14，故A正確.第22頁/共22頁學科網（北京）股份有限公司 故選：A.8.意大利人斐波那契于1202年從兔子繁殖問題中發(fā)現(xiàn)了這樣的一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，….即從第三項開始，每一項都是它前兩項的和.后人為了紀念他，就把這一列數(shù)稱為斐波那契數(shù)列.下面關于斐波那契數(shù)列說法正確的是（）A.B.是偶數(shù)C.D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得，結合該遞推關系對選項逐項計算判斷即可得.【詳解】由已知得數(shù)列滿足遞推關系，，對選項A：，故A錯誤；對選項B：觀察數(shù)列可知，數(shù)列每三項都是奇、奇、偶重復循環(huán)，，不能被3整除，且奇數(shù)，所以也為奇數(shù)，故B錯誤；對選項C：若選項C正確，又，則，同理，依次類推，可得，顯然錯誤，故C錯誤；對選項D：，所以，故D正確.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：斐波那契數(shù)列問題的解決關鍵是熟練掌握其遞推公式，，從而得解.二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，兩個選項每個選項3分，三個選項每個選項2分，有選錯的得0分）第22頁/共22頁學科網（北京）股份有限公司 9.等差數(shù)列的前n項和為，若，，則（）A.公差為1B.的公差為2C.D.【答案】ACD【解析】【分析】列出方程組，求出等差數(shù)列的公差和首項，判斷A，B；根據等差數(shù)列通項公式以及前n項和公式即可判斷C，D.【詳解】設的公差為d，由，，得，解得，故A正確，B錯誤；，，C，D正確.故選：ACD10.已知橢圓的長軸長為4，離心率為分別為橢圓的左、右焦點，過點的直線與橢圓相交于A，B兩點，則下列說法正確的是（）A.橢圓的標準方程為B.橢圓上存在點，使得C.是橢圓上一點，若，則D.若的內切圓半徑分別為，當時，直線的斜率【答案】ACD【解析】【分析】對于A，根據題意直接得到和進而得到即可得到橢圓方程；對于B，判斷與橢圓是否有公共點即可判斷是否存在滿足題意的點；對于C，設，根據余弦定理得到，進而得到，結合三角形面積公式即可求解面積；對于D，設直線第22頁/共22頁學科網（北京）股份有限公司 ，將直線與橢圓方程聯(lián)立，得到，根據得到，進而得到，從而求解直線斜率即可.【詳解】對于A，因為橢圓的長軸長為，所以，又因為橢圓的離心率，所以，所以，所以橢圓，故A正確；對于B，若橢圓上存在點，使得，則點在圓上，又因為方程組無解，故B錯誤；對于C，設，則，在中，由余弦定理可得，因為，所以，所以，故C正確；對于D，，顯然直線斜率不為0，設直線，第22頁/共22頁學科網（北京）股份有限公司 由，整理得：，恒成立，所以，依題意有，得，所以，即，同理可得，因為，所以，又因為，所以，因為，所以，解得，代入到，得，解得，所以直線的斜率為，故D正確.故選：ACD【點睛】方法點睛：本題考查解析幾何的綜合問題，此類問題常見的處理方法為：（1）幾何法：通過圖形特征轉化，結合適當?shù)妮o助線與圖形關系進而求解；（2）坐標法：在平面直角坐標系中，通過坐標的運算與轉化，運用方程聯(lián)立與韋達定理等知識，用坐標運算求解答案.11.在棱長為2的正方體中，分別為棱的中點，為線段上的一個動點，則（）A.三棱錐的體積為定值B.存在點，使得平面平面第22頁/共22頁學科網（北京）股份有限公司 C.當時，直線與所成角的余弦值為D.當為的中點時，三棱錐的外接球的表面積為【答案】ABD【解析】【分析】對于A項，由等體積法即可判斷，對于B項，運用空間向量坐標法計算兩個平面法向量平行求解即可，對于C項，運用空間向量坐標公式計算異面直線所成角余弦值即可，對于D項，由列方程求解即可.【詳解】對于A項，因為平面平面，平面，所以平面，所以點到平面的距離為定值，又，的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，故A項正確；建立如圖1所示的空間直角坐標系，則，，，對于B項，，，，第22頁/共22頁學科網（北京）股份有限公司 設，則．設平面的法向量為，由，令，可得．設平面的法向量為，由，令，可得．若平面平面，則，解得，故B項正確；對于C項，建立如圖1所示的空間直角坐標系，當時，．設直線與所成的角為，則，即直線與所成角的余弦值為，故C項錯誤；對于D項，如下圖，當為的中點時，．設三棱錐的外接球的球心為，半徑為，第22頁/共22頁學科網（北京）股份有限公司 則，解得，所以三棱錐的外接球的表面積為，故D項正確．故選：ABD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，請仔細審題，認真做答）12.圓與圓的公共弦的長為_____________．【答案】【解析】【分析】利用兩圓的方程相減可得公共弦所在直線的方程，利用點線矩求出圓心到公共弦的距離，結合勾股定理計算即可求解.【詳解】由，得，即兩圓公共弦所在直線的方程為，圓，圓心為，半徑為，則圓心到直線的距離為，所以公共弦長為.故答案為：13.在數(shù)列中，，則____________.【答案】6【解析】【分析】根據遞推公式，并結合累乘法從而可求解.第22頁/共22頁學科網（北京）股份有限公司 【詳解】因，故有，即得，所以.故答案為：6.14.設雙曲線的左、右焦點分別為，過坐標原點的直線與交于點，，則的離心率為____________.【答案】【解析】【分析】由雙曲線的對稱性可得、且四邊形為平行四邊形，由題意可得出，結合余弦定理表示出與、有關齊次式即可得離心率.【詳解】由雙曲線的對稱性可得，有四邊形為平行四邊形，令，則，由雙曲線定義可知，故有，即，即，，則，即，故，則有，即，即，則，由，故.第22頁/共22頁學科網（北京）股份有限公司 故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程和演算步驟）15.已知數(shù)列中，.（1）求的值；（2）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）求數(shù)列的通項公式.【答案】15.716.證明見解析17.【解析】【分析】（1）根據題意，令，即可求得的值；（2）根據題意，化簡得到，結合等差數(shù)列的定義，即可得證；（3）由（2）求得，利用疊加法，結合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【小問1詳解】數(shù)列中，，且，令，可得.【小問2詳解】證明：由，當時，可得，則，又由，可得，所以是公差為3的等差數(shù)列，即數(shù)列是公差為3等差數(shù)列.【小問3詳解】由（2）知，數(shù)列是首項為1，公差為3的等差數(shù)列，即，所以當時，第22頁/共22頁學科網（北京）股份有限公司 ，又滿足上式，所以，即數(shù)列的通項公式為.16.已知拋物線的焦點為，直線與軸的交點為，與的交點為，且.（1）求的方程；（2）延長交拋物線于為坐標原點，求的面積；（3）延長交拋物線準線于，曲線是以為直徑的圓，求點到的最小值.【答案】16.17.18.【解析】【分析】（1）設，代入拋物線方程，結合拋物線的定義，可得，進而得到拋物線方程；（2）根據兩點求解直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，得坐標，即可根據兩點距離公式以及點到直線的距離公式，結合三角形的面積公式，即可求解．（3）由（2）知直線方程，求得，然后利用點到圓上點的最值公式求解.【小問1詳解】設，代入由中得，所以，由題設得，解得（舍去）或.所以的方程為；第22頁/共22頁學科網（北京）股份有限公司 【小問2詳解】由（1）知，所以直線方程為，即，聯(lián)立，結合圖象，則，故，故，原點到直線的距離為，故.【小問3詳解】由（2）知直線方程為，則因為，所以圓心，半徑到曲線最小值為.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達定理；第22頁/共22頁學科網（北京）股份有限公司 （4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.17.去年某地產生生活垃圾為20萬噸，其中8萬噸垃圾以填埋方式處理，12萬噸垃圾以環(huán)保方式處理，為了確定處理生活垃圾的預算，預計從今年起，每年生活垃圾的總量遞增，同時，通過環(huán)保方式處理的垃圾量每年增加5萬噸.（1）請寫出今年起第年用填埋方式處理的垃圾量的表達式；（2）求從今年起年內用填埋方式處理的垃圾量的總和；（3）預計今年起9年內，哪些年不需要用填埋方式處理生活垃圾.【答案】（1）（2）（3）第3到第9年【解析】【分析】（1）由的定義可知它是等比數(shù)列與等差數(shù)列之差，由此即可的解.（2）由等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式分組求和即可得解.（3）結合參考數(shù)據代入驗算即可得解.【小問1詳解】由題意可知.【小問2詳解】由（1）可知，化簡可得.【小問3詳解】當時，當時，當時，第22頁/共22頁學科網（北京）股份有限公司 ……當時，所以第3到第9年不需要.18.如圖，在三棱柱中，底面?zhèn)让?（1）證明：平面；（2）若，求三棱錐的體積；（3）在（2）的條件下，求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）由面面垂直的性質得到平面，再由線面垂直的判定定理即可證明結論.（2），再求點到平面的距離，轉化為求平面與平面間距離，進而即可求解；.（3）建立空間直角坐標系，利用空間向量求解平面與平面夾角的余弦值.【小問1詳解】平面平面平面，平面平面，平面，平面，，第22頁/共22頁學科網（北京）股份有限公司 四邊形為菱形，，平面，平面.【小問2詳解】因為，所以是等邊三角形過做垂直于于點因為平面平面，所以又于所以平面平面與平面間距離大小為，即到平面的距離為..【小問3詳解】以為原點，及平面過點的垂線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，所以，平面，即為平面的法向量，設平面的法向量為，第22頁/共22頁學科網（北京）股份有限公司 則，即，令，可得，，平面與平面的夾角的余弦值為19.已知動圓經過定點，且與圓：內切.（1）求動圓圓心的軌跡的方程；（2）設軌跡與軸從左到右的交點為，，點為軌跡上異于，的動點，設交直線于點，連接交軌跡于點，直線，的斜率分別為，.①求證：為定值；②證明：直線經過軸上的定點，并求出該定點的坐標.【答案】19.20.①證明見解析；②證明見解析；【解析】【分析】（1）設出動圓的半徑，然后由幾何關系可得并結合橢圓的定義即可求解.（2）①分別求出的坐標，設，，利用數(shù)型結合分別求出，從而求解；②中設出直線方程，然后與橢圓方程聯(lián)立，再利用根與系數(shù)的關系及①中結論，即可求解.【小問1詳解】設動圓的半徑為，由題意得圓的圓心為，半徑，所以，，則，所以動圓圓心的軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓.因此動圓圓心的軌跡的方程為.第22頁/共22頁學科網（北京）股份有限公司 【小問2詳解】①設，，.由（1）可知，，如圖所示，所以，，又因為，即，于是，所以，又，則，因此為定值.②設直線的方程為，由①中知，，由得，，由根與系數(shù)的關系得由①可知，，即，代入化簡得，解得或(舍去)，所以直線的方程為，所以直線經過軸上的定點，定點坐標為.第22頁/共22頁學科網（北京）股份有限公司 【點睛】關鍵點點睛：（2）問①中利用數(shù)型結合及轉化從而求出為定值；②中利用直線與橢圓聯(lián)立消元后利用根與系數(shù)關系及①中結論建立等式，從而求解.第22頁/共22頁學科網（北京）股份有限公司