2024年新高考第二次模擬考試 數(shù)學（全解全析）.docx

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2024年高考數(shù)學第二次模擬考試數(shù)學·全解全析（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．寫在本試卷上無效．3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．測試范圍：高考全部內(nèi)容5．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．已知集合，，則（????）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)交集概念進行求解.【詳解】.故選：B2．復數(shù)，則等于（???）A．1B．C．2D．【答案】D【分析】利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，然后直接利用復數(shù)模的公式求解即可.【詳解】結合題意可得：，所以.故選：D.26學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 3．雙曲線的漸近線方程是（????）A．B．C．D．【答案】C【分析】由雙曲線方程直接寫出漸近線方程.【詳解】由雙曲線，得所以雙曲線的漸近線方程是.故選：C.4．下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的函數(shù)是（????）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)奇函數(shù)的判定方法及函數(shù)在上單調(diào)遞增，逐項求解即可判斷.【詳解】對A：令，定義域為，，所以為奇函數(shù)，又因為，所以在上不是增函數(shù)，故A錯誤；對B：令，定義域為，，所以為偶函數(shù)，故B錯誤；對C：令，定義域為，所以不是奇函數(shù)，故C錯誤；對D：令，定義域為，，所以為奇函數(shù)，由冪函數(shù)性質可知在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：D.5．若直線圓相切，則原點到直線距離的最大值為（????）A．B．2C．D．1【答案】B【分析】原點在圓上，到切線的最大距離等于圓的直徑.26學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【詳解】圓，即，圓心坐標，半徑為1，直線與圓相切，則圓心到直線距離等于半徑1，原點在圓上，所以原點到直線距離的最大值為.故選：B6．在梯形中，，是邊長為3的正三角形，則（????）A．B．C．D．【答案】B【分析】由平行得到，在中，由正弦定理求出答案.【詳解】因為是邊長為3的正三角形，所以，又，所以，由正弦定理得，則．故選：B7．據(jù)科學研究表明，某種玫瑰花新鮮程度y與其花朵凋零時間t（分鐘）（在植物學上t表示從花朵完全綻放時刻開始到完全凋零時刻為止所需的時間）近似滿足函數(shù)關系式：（b為常數(shù)），若該種玫瑰花在凋零時間為10分鐘時的新鮮程度為，則當該種玫瑰花新鮮程度為時，其凋零時間約為（參考數(shù)據(jù)：）（????）A．3分鐘B．30分鐘C．33分鐘D．35分鐘【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，結合待定系數(shù)法，求出的值，再將代入函數(shù)中，即可求解【詳解】由題意得，則，令，即，解得．故選：C．8．若數(shù)列為等比數(shù)列，則“”是“”的（????）26學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．充要條件B．既不充分也不必要條件C．充分不必要條件D．必要不充分條件【答案】C【分析】利用等比數(shù)列性質，結合基本不等式及不等式性質，由充分、必要性定義判斷充分、必要性.【詳解】若數(shù)列的公比為，由，故，則，所以，當且僅當，即時取等號，故充分性成立；由，故，若，則，故必要性不成立；故選：C9．如圖，已知正方形的邊長為4，若動點在以為直徑的半圓上（正方形內(nèi)部，含邊界），則的取值范圍為（????）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件及極化恒等式，結合向量的線性運算即可求解.【詳解】取的中點，連接，如圖所示，所以的取值范圍是，即，又由，所以.26學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 故選：B.10．公元年，唐代李淳風注《九章》時提到祖暅的“開立圓術”.祖暅在求球的體積時，使用一個原理：“冪勢既同，則積不容異”.“冪”是截面積，“勢”是立體的高，意思是兩個同高的立體，如在等高處的截面積相等，則體積相等.更詳細點說就是，介于兩個平行平面之間的兩個立體，被任一平行于這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等，則這兩個立體的體積相等.上述原理在中國被稱為“祖暅原理”.打印技術發(fā)展至今，已經(jīng)能夠滿足少量個性化的打印需求，現(xiàn)在用打印技術打印了一個“睡美人城堡”.如圖，其在高度為的水平截面的面積可以近似用函數(shù)，擬合，則該“睡美人城堡”的體積約為（????）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)祖暅原理知，該“睡美人城堡”的體積與一個底面圓半徑為，高為的圓錐的體積近似相等，利用錐體的體積公式可求得該“睡美人城堡”的體積.【詳解】如下圖所示：圓錐的高和底面半徑為，平行于圓錐底面的截面角圓錐的母線于點，設截面圓圓心為點，且，則，易知，則，即，可得，所以，截面圓圓的半徑為，圓的面積為，又因為，根據(jù)祖暅原理知，該“睡美人城堡”的體積與一個底面圓半徑為，26學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 高為的圓錐的體積近似相等，所以該“睡美人城堡”的體積約為，故選：D.第II卷（非選擇題共110分）二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11．函數(shù)的定義域為.【答案】【分析】函數(shù)定義域滿足，解得答案.【詳解】函數(shù)的定義域滿足：，解得.故定義域為.故答案為：12．已知，則.【答案】【分析】分別令和，聯(lián)立方程組求得，再令，求得，即可求得的值.【詳解】由，令，可得，即令，可得，即，聯(lián)立方程組，求得，再令，可得，所以.26學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 故答案為：.13．已知，是拋物線上兩點，焦點為，拋物線上的點到坐標原點的距離等于該點到準線的距離，則；若，則直線恒過定點.【答案】【分析】由拋物線定義和中點坐標公式可得；可設直線，聯(lián)立方程組，利用韋達定理和，求出，得解.【詳解】點到坐標原點的距離等于該點到準線的距離，點到坐標原點的距離等于該點到焦點的距離，，解得；設，，直線斜率必不為0，可設直線，聯(lián)立直線與拋物線方程，化簡整理可得，由韋達定理可得，，，，，解得，直線恒過定點.故答案為：2；.14．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為，所有零點之和為.26學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【答案】4/0.5【分析】先解方程得解和，然后解方程和后可得結論．【詳解】由得，滿足題意，，也滿足題意，，則由得，由得均滿足題意，由得，由得，均滿足題意，所以有四個零點：，0，，2，零點的和為．故答案為：4；．15．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且滿足，下列結論正確的有（????）①．②．若，則函數(shù)的最小正周期為③．關于方程在區(qū)間上最多有4個不相等的實數(shù)解④．若函數(shù)在區(qū)間上恰有5個零點，則的取值范圍為【答案】①②④【分析】對①：利用對稱性直接求得；對②：根據(jù)對稱中心與對稱軸可得周期表達式，結合區(qū)間上單調(diào)求出函數(shù)的最小正周期，即可判斷；對③：先判斷出周期，結合周期越大，的根的個數(shù)越少，解出在區(qū)間上最多有3個不相等的實數(shù)根，即可判斷.對④：由題意分析，建立關于的不等式組，求出的取值范圍.【詳解】函數(shù)滿足.對①：因為，所以，故①正確；對②：由于，所以函數(shù)的一條對稱軸方程為.又為一個對稱中心，26學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 由正弦圖像和性質可知，所以函數(shù)的最小正周期滿足，即.又區(qū)間上單調(diào)，故，即，故，故②正確；對③：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且滿足，可得：，所以周期，又周期越大，的根的個數(shù)越少.當時，，又，，得.所以在區(qū)間上有3個不相等的實數(shù)根：，或，故至多3個不同的實數(shù)解，故③錯誤.對④：函數(shù)在區(qū)間上恰有5個零點，所以，所以，解得：，且滿足，即，即，故.故④正確.故選：①②④三、解答題：本題共6小題，共85分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。16．（本題13分）如圖，四棱錐的體積為1，平面平面，，，，，為鈍角．??(1)證明：；(2)若點E在棱AB上，且，求直線PE與平面PBD所成角的正弦值．【答案】(1)證明過程見解析(2)【分析】（1）作出輔助線，由面面垂直得到線面垂直，結合棱錐的體積得到棱錐的高，由勾股定理求出26學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ，得到；（2）建立空間直角坐標系，根據(jù)求出，求出平面法向量，得到線面角的正弦值.【詳解】（1）過點作⊥，交的延長線于點，連接，因為平面平面，交線為，平面，所以⊥平面，因為，，，所以四邊形的面積，因為四棱錐的體積為1，所以，解得，因為平面，所以⊥，⊥，因為，為鈍角，由勾股定理得，所以，又，，故四邊形為矩形，所以，由勾股定理得，故；??（2）由（1）知，兩兩垂直，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，，設，，則，解得，故，26學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 設平面的法向量為，，令，得，故，設直線PE與平面所成角為，所以.??直線PE與平面PBD所成角的正弦值為.17．（本題13分）已知函數(shù)，其中，__________.請從以下二個條件中任選一個，補充在題干的橫線上，并解答下列問題：①是的一個零點；②.(1)求的值；(2)當時，若曲線與直線恰有一個公共點，求的取值范圍.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的性質建立并解方程，可得答案；（2）利用三角函數(shù)恒等式整理函數(shù)解析式，根據(jù)復合型三角函數(shù)的單調(diào)性，可得答案.【詳解】（1）選條件①由題設.所以.因為，所以.所以.所以.26學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 選條件②.由題設.，，，，，整理得.因為，所以.所以.所以.（2）由（1）.令，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，于是，當且僅當，即時，取得最大值1；當且僅當，即時，取得最小值.又，即時，.所以的取值范圍是.18．（本題14分）某學校進行趣味投籃比賽，設置了A，B兩種投籃方案.方案A：罰球線投籃，投中可以得2分，投不中得0分；方案B：三分線外投籃，投中可以得3分，投不中得0分.甲、乙兩位員工參加比賽，選擇方案A投中的概率都為，選擇方案B投中的概率都為，每人有且只有一次投籃機會，投中與否互不影響.(1)若甲選擇方案A投籃，乙選擇方案B投籃，記他們的得分之和為X，，求X的分布列；(2)若甲、乙兩位員工都選擇方案A或都選擇方案B投籃，問：他們都選擇哪種方案投籃，得分之和的均值較大？【答案】(1)分布列見解析(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)得到方程，求出，求出X的所有可能值及對應的概率，得到分布列；（2）設甲、乙都選擇方案A投籃，投中次數(shù)為，都選擇方案B投籃，投中次數(shù)為，則，26學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ，計算出兩種情況下的均值，由不等式，得到相應的結論.【詳解】（1）依題意，甲投中的概率為，乙投中的概率為，于是得，解得，X的所有可能值為0，2，3，5，，，，，所以X的分布列為：0235（2）設甲、乙都選擇方案A投籃，投中次數(shù)為，都選擇方案B投籃，投中次數(shù)為，則，，則兩人都選擇方案A投籃得分和的均值為，都選擇方案B投籃得分和的均值為，則，，若，即，解得；若，即，解得；若，即，解得.所以當時，甲、乙兩位同學都選擇方案A投籃，得分之和的均值較大；當時，甲、乙兩位同學都選擇方案A或都選擇方案B投籃，得分之和的均值相等；當時，甲、乙兩位同學都選擇方案B投籃，得分之和的均值較大.19．（本題15分）已知橢圓的長軸為線段，短軸為線段，四邊形的面積為4，且的焦距為．26學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 (1)求的標準方程；(2)若直線與相交于兩點，點，且的面積小于，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意可得，解出，，從而得到橢圓方程；（2）利用點到直線的距離公式求出的高為，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理以及弦長公式求出，得到的面積，解不等式即可得到答案.【詳解】（1）由題意可得，解得，所以的標準方程為；（2）點到直線的距離，設，聯(lián)立方程組，整理得，則，即，，所以，則的面積，得，又，（由三點不共線可得），26學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以的取值范圍是．20．（本題15分）已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若的最小值為1，求a．【答案】(1)(2)【分析】（1）通過運算得即可得解.（2）對分類討論，首先得滿足題意，進一步分、以及分類討論即可求解.【詳解】（1），所以曲線在點處的切線方程，即．（2），令，則，令，則，當時，，則，當時，在上單調(diào)遞減，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，且，所以，當時，在上單調(diào)遞減，當時，在上單調(diào)遞增，所以．所以成立，當時，當時，在上單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞減，因為，所以在上單調(diào)遞減，此時，舍去．當時，當時，，26學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，舍去；當時，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時，，舍去，綜上，．21．（本題15分）若無窮數(shù)列的各項均為整數(shù)．且對于，，都存在，使得，則稱數(shù)列滿足性質P．(1)判斷下列數(shù)列是否滿足性質P，并說明理由．①，，2，3，…；②，，2，3，…．(2)若數(shù)列滿足性質P，且，求證：集合為無限集；(3)若周期數(shù)列滿足性質P，求數(shù)列的通項公式．【答案】(1)數(shù)列不滿足性質P；數(shù)列滿足性質P，理由見解析(2)證明見解析(3)或．【分析】（1）根據(jù)題意分析判斷；（2）根據(jù)題意先證為數(shù)列中的項，再利用反證法證明集合為無限集；（3）先根據(jù)題意證明，再分為常數(shù)列和非常數(shù)列兩種情況，分析判斷.【詳解】（1）對①，取，對，則，可得，顯然不存在，使得，所以數(shù)列不滿足性質P；對②，對于，則，，故，因為，26學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 則，且，所以存在，，使得，故數(shù)列滿足性質P；（2）若數(shù)列滿足性質，且，則有：取，均存在，使得，取，均存在，使得，取，均存在，使得，故數(shù)列中存在，使得，即，反證：假設為有限集，其元素由小到大依次為，取，均存在，使得，取，均存在，使得，取，均存在，使得，即這與假設相矛盾，故集合為無限集.（3）設周期數(shù)列的周期為，則對，均有，設周期數(shù)列的最大項為，最小項為，即對，均有，若數(shù)列滿足性質：反證：假設時，取，則，使得，則，即，這對，均有矛盾，假設不成立；則對，均有；反證：假設時，取，則，使得，26學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 這與對，均有矛盾，假設不成立，即對，均有；綜上所述：對，均有，反證：假設1為數(shù)列中的項，由（2）可得：為數(shù)列中的項，∵，即為數(shù)列中的項，這與對，均有相矛盾，即對，均有，同理可證：，∵，則，當時，即數(shù)列為常數(shù)列時，設，故對，都存在，使得，解得或，即或符合題意；當時，即數(shù)列至少有兩個不同項，則有：①當為數(shù)列中的項，則，即為數(shù)列中的項，但，不成立；②當為數(shù)列中的項，則，即為數(shù)列中的項，但，不成立；③當為數(shù)列中的項，則，即為數(shù)列中的項，但，不成立；綜上所述：或.信息必刷卷01（江蘇專用）參考答案一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．12345678BAACAABD二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．AD10．CD11．ACD26學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．1或013．14．1四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．【解析】（1）因為，所以，令，則有，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，因此當時，則有，因此當時，則有，當時，顯然，于是有當時，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以；（2）由，因為在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，由，設，則有，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以，要想在上恒成立，26學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 只需，因此的取值范圍為.16【解析】（1）因為圓臺可以看做是由平行于圓錐底面的平面去截圓錐而得到，所以圓臺的母線也就是生成這個圓臺的圓錐相應母線的一部分.可知母線與母線的延長線必交于一點，即四點共面，又因為圓面∥圓面，且平面圓面，平面圓面，所以∥.（2）解法一：因為劣弧的長度為，則由，可得.如圖，建立空間直角坐標系，設，則，可得，設平面的一個法向量為，則，令，則，可得，由題意可知：底面的一個法向量，因為截面與下底面所成的夾角大小為，26學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 則，解得，即，可得，在等腰梯形中，，可得等腰梯形的高，所以.解法二：如圖，分別取的中點為，連結，，由題意可得：，所以為截面與底面所成夾角，即，過點作于點，由，得，則（即梯形的高），所以.17.【答案】（1）0.2（2）分布列見解析，數(shù)學期望為0.6【解析】【分析】（1）根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式計算即可；（2）根據(jù)獨立重復實驗相關概率計算知識可得答案.【小問1詳解】設乙擊中的環(huán)數(shù)少于甲擊中的環(huán)數(shù)為事件，則事件包括：甲擊中9環(huán)乙擊中8環(huán)，甲擊中10環(huán)乙擊中8環(huán)，甲擊中10環(huán)乙擊中9環(huán)，則.26學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【小問2詳解】由題可知的所有可能取值為，由（1）可知，在一場比賽中，甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)的概率為0.2，則，所以，，故的分布列為01230.5120.3840.0960.008所以.18.【答案】（1）；（2）①；②．【解析】【分析】（1）方法1，利用特殊值法，求得橢圓方程，方法2，利用定義整理得，再根據(jù)條件列式求得橢圓方程；方法3，利用定義進行整理，由為常數(shù)，求得系數(shù)，得到橢圓方程；（2）①首先由面積比值求得，令，則，利用坐標表示向量，求得，再求范圍；②由阿波羅尼斯圓定義知，，，在以，為定點得阿波羅尼斯圓上，由幾何關系列式得，求得，再根據(jù)，求得，即可計算直線方程.26學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【詳解】（1）方法（1）特殊值法，令，，且，解得∴，，橢圓的方程為方法（2）設，由題意（常數(shù)），整理得：，故，又，解得：，．∴，橢圓的方程為．方法（3）設，則．由題意∵為常數(shù)，∴，又，解得：，，故∴橢圓的方程為（2）①由，又，∴（或由角平分線定理得）令，則，設，則有，又直線的斜率，則，代入得：，即，26學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ∵，∴．②由①知，，由阿波羅尼斯圓定義知，，，在以，為定點得阿波羅尼斯圓上，設該圓圓心為，半徑為，與直線的另一個交點為，則有，即，解得：．又，故，∴又，∴，解得：，，∴，∴直線的方程為．19.【解析】（1）是函數(shù)，理由如下，26學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 對任意，，，故（2）（?。┤魹樵趨^(qū)間上僅存的一個極大值點，則在嚴格遞增，在嚴格遞減，由，即，得，又，，則，（構造時，等號成立），所以；（ⅱ）若為在區(qū)間上僅存的一個極小值點，則在嚴格遞減，在嚴格增，由，同理可得，又，，則，（構造時，等號成立），所以；綜上所述：所求取值范圍為；（3）顯然為上的嚴格增函數(shù)，任意，不妨設，此時，由為函數(shù)，得恒成立，即恒成立，設，則為上的減函數(shù)，，得對恒成立，26學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 易知上述不等號右邊的函數(shù)為上的減函數(shù)，所以，所以的取值范圍為，此時，法1：當時，即，由，而，所以為上的增函數(shù)，法2：，因為，當，，所以為上的增函數(shù)，由題意得，，.26學科網(wǎng)（北京）股份有限公司