上海市七寶中學(xué)2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 Word版含解析.docx

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上海市七寶中學(xué)2021-2022學(xué)年高一下期末考試數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共有12小題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1.三條互相平行的直線最多可確定____個平面．【答案】3【解析】【分析】討論三條直線的位置關(guān)系即可得到答案.【詳解】解：若三條直線在同一個平面內(nèi)，則此時三條直線只能確定一個平面，若三條直線不同一個平面內(nèi)，則此時三條直線能確定三個平面，所以三條互相平行的直線最多可確定3個平面.故答案為：3.2.若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為___.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的模以及除法法則化復(fù)數(shù)為代數(shù)形式，即得結(jié)果.【詳解】因此的虛部為.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的虛部、模以及除法法則，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.3.若圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為4的半圓，則此圓錐的體積為______．【答案】【解析】【分析】利用圓錐側(cè)面展開圖，求出圓錐的底面周長，然后求出底面半徑，求出圓錐的高，即可求出圓錐的體積．【詳解】圓錐的側(cè)面展開恰為一個半徑為4的半圓，所以圓錐的底面周長為：，底面半徑為：2，圓錐的高為：；圓錐的體積為：故答案為 【點睛】本題是基礎(chǔ)題，考查圓錐的側(cè)面展開圖，利用扇形求出底面周長，然后求出體積，考查計算能力，常規(guī)題型．4.將復(fù)數(shù)化為三角形式：______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的三角表示的定義計算即可.【詳解】解：復(fù)數(shù)中，，設(shè)為復(fù)數(shù)的輻角主值，又所以.故答案為：.5.若正四棱柱的底面邊長為1，直線與底面所成角的大小是，則到底面的距離為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)正四棱柱的幾何性質(zhì)由直線與底面所成角的大小是，確定線段的長，則則到底面的距離即可求.【詳解】解：如圖，連接正四棱柱的底面邊長為1，則，所以且底面，則直線與底面所成角即 則則在正四棱柱中，到底面的距離為即到到底面的距離.故答案為：.6.如下圖所示，梯形是水平放置平面圖形的直觀圖（斜二測畫法），若，，則四邊形的面積是_____．【答案】10【解析】【分析】根據(jù)直觀圖畫法的規(guī)則，確定原平面圖形四邊形ABCD的形狀，求出底邊邊長以及高，然后求出面積．【詳解】根據(jù)直觀圖畫法的規(guī)則，直觀圖中平行于軸，，所以原圖中，從而得出AD⊥DC，且，直觀圖中，，所以原圖中，，即四邊形ABCD上底和下底邊長分別為4，6，高為2，故其面積.故答案為：10.7.正四棱錐的相鄰兩側(cè)面所成二面角的大小的取值范圍是_______．【答案】 【解析】【分析】采用極限思想,讓頂點無限接近底面,讓頂點無限遠(yuǎn)離底面,推出范圍即可.【詳解】假設(shè)頂點無限接近底面的中心,那么這四個側(cè)面就趨向一個平面，那兩個相鄰側(cè)面所成的二面角就無限接近；假設(shè)頂點無限遠(yuǎn)離底面中心,那么四個側(cè)面都垂直于底面,底面兩邊的夾角就是兩個側(cè)面所成二面角的平面角,大小為,因此正四棱錐的兩個側(cè)面所成二面角的大小范圍是.故答案為：8.已知關(guān)于的方程的兩根為、.若，則實數(shù)的值是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，則由，即可得的值.【詳解】解：關(guān)于的方程的兩根為、，所以，，所以所以.故答案為：.9.已知正六棱柱各棱長均為2，如果一只小螞蟻從沿表面移動到時，其最短路程為______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)可能走的路徑，將所給的正六棱柱展開，利用平面幾何知識求解比較.【詳解】解：將所給的正六棱柱下圖（2）表面按圖（1）展開， ，，，，故從A沿正側(cè)面和上表面到的路程最短為.故答案為：.10.有以下4個命題：（1）底面是正多邊形的棱錐是正棱錐，（2）側(cè)棱和底面所成的角都相等，側(cè)面和底面所成銳二面角也都相等的三棱錐是正三棱錐，（3）底面是正方形，側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正四棱錐，（4）四個面都是全等三角形的四面體是正四面體．其中正確的命題有_______．（寫出所有正確的序號）【答案】（2）【解析】【分析】根據(jù)正棱錐的定義及結(jié)構(gòu)特征逐一判斷即可.【詳解】解：（1）中，底面是正多邊形，若頂點在底面的射影不落在底面的中心，此時的棱錐不是正棱錐，所以該命題錯誤;（2）中，側(cè)棱和底面所成的角都相等，則頂點在底面的射影落在底面的外心，若側(cè)面和底面所成銳二面角都相等，則頂點在底面的射影落在底面三角形的內(nèi)心，所以該底面三角形的外心和內(nèi)心重合，所以底面三角形為正三角形，故該棱錐為正三棱錐，所以該命題正確;（3）中，若當(dāng)一條側(cè)棱和底面邊長相等時，另外三條側(cè)棱相等，此時滿足側(cè)面都是等腰三角形，但該四棱錐不是正四棱錐,所以該命題錯誤;（4）中，當(dāng)四面體有一組對棱相等，另外四條棱長相等時，四個面是全等三角形，但該四面體不是正四面體，所以該命題錯誤. 故答案為：（2）.11.在中，，為的中點，過點的直線分別交直線、于不同的兩點、．設(shè)，，復(fù)數(shù)，則取到的最小值為__．【答案】##【解析】【分析】先利用平面向量基本定理及M、E、N三點共線，判斷出，對消去n后利用二次函數(shù)判斷出的最小值.【詳解】在中，因為，所以.又，，所以.因為E為的中點，所以.因為M、E、N三點共線，所以，即，復(fù)數(shù)，所以，令，故當(dāng)，取最小值.故答案為：12.為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊所在直線與都垂直，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論： ①當(dāng)直線與成角時，與成角；②當(dāng)直線與成角時，與成角；③直線與所成角的最小值為；④直線與所成角的最大值為．其中正確的是__________(填寫所有正確結(jié)論的編號)【答案】②③【解析】【分析】由題意知，三條直線兩兩相互垂直，如下圖，設(shè)為直線，為直線，不妨設(shè)，利用向量法求解判斷即可【詳解】由題意知，三條直線兩兩相互垂直，如下圖，設(shè)為直線，為直線，不妨設(shè)則，，，依題意可設(shè)，等腰直角三角形中，,則點平面即點在平面內(nèi)的軌跡在以為圓心，1為半徑的圓周上，即有，，設(shè)直線與成角，直線與成角則有當(dāng)直線與成角時，有得到，由，可得，此時，所以與成角，故②正確;①不正確. 由,又，故，所以所以③正確，④錯誤綜上可知選②③．故答案為：②③．二、選擇題（本大題共有4小題，滿分20分，每題5分）13.設(shè)，則是為純虛數(shù)的（）A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分又非必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的特征，復(fù)數(shù)的概念，以及充分條件與必要條件的判斷方法，即可得出結(jié)果.【詳解】對于復(fù)數(shù)，若，則不一定為純虛數(shù)，可以為；反之，若為純虛數(shù)，則，所以是為純虛數(shù)的必要非充分條件.故選：B.14.一個棱錐的各棱長都相等，那么這個棱錐一定不是（）A.三棱錐B.四棱錐C.五棱錐D.六棱錐【答案】D【解析】【分析】設(shè)每個等邊三角形的邊長為?，正六棱錐的高為，正六棱錐的側(cè)棱長為?，由正六棱錐的結(jié)構(gòu)特征結(jié)合勾股定理可得，進(jìn)而可以得出結(jié)論.【詳解】正六棱錐的底面是個正六邊形，正六邊形共由6個等邊三角形構(gòu)成，設(shè)每個等邊三角形的邊長為?，正六棱錐的高為，正六棱錐的側(cè)棱長為?，由正六棱錐的高、底面的半徑、側(cè)棱長構(gòu)成直角三角形得，?，故側(cè)棱長?和底面正六邊形的邊長不可能相等.故選：D.15.非零復(fù)數(shù)、在復(fù)平面內(nèi)分別對應(yīng)向量、（為坐標(biāo)原點），若，則（）A.、、三點共線B.是直角三角形 C.是等邊三角形D.以上都不對【答案】B【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)，可得，從而可將復(fù)數(shù)用表示，再判斷各個選項即可.【詳解】解：設(shè)，則，故，因為，所以，所以，所以或，故或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，所以是直角三角形，故、、三點不共線且不是等邊三角形.故選：B.16.已知四面體的棱平面，且，其余的棱長均為2，有一束平行光線垂直于平面，若四面體繞所在直線旋轉(zhuǎn)，且始終在平面的上方，則它在平面內(nèi)影子面積的最小值為（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】取的中點，連接，證明平面，分別求出點到的距離，點到的距離，點到的距離，從而可得出答案.【詳解】解：取的中點，連接，因為，所以，且，又平面，所以平面，又平面，所以，設(shè)點到的距離為，點到的距離為，點到的距離為，則，由，得，因為，所以影子面積的最小值為.故選：C.三、解答題（本大題共5題，滿分76分）17.給定不共面的4點，作過其中3個點的平面，所有4個這樣的平面圍成的幾何體稱為四面體（如圖所示），預(yù)先給定的4個點稱為四面體的頂點，2個頂點的連線稱為四面體的棱，3個頂點所確定的三角形稱為四面體的面．求證：四面體中任何一對不共頂點的棱所在的直線一定是異面直線． （1）請你用異面直線判定定理證明該結(jié)論；（2）請你用反證法證明該結(jié)論．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)異面直線的判定定理說明即可；（2）假設(shè)直線是共面于平面，則四點共面，說明其與已知矛盾即可，即可得證.【小問1詳解】證明：因為平面，平面，平面，直線，所以直線與是異面直線，同理與，與也是異面直線，所以四面體中任何一對不共頂點的棱所在的直線一定是異面直線；【小問2詳解】證明：假設(shè)直線是共面于平面，即，則，四點共面與已知四點不共面矛盾，所以假設(shè)錯誤，即直線一定是異面直線，同理與，與也是異面直線，所以四面體中任何一對不共頂點的棱所在的直線一定是異面直線.18.如圖，四棱柱的底面是正方形，O為底面中心，面，. （1）證明：；（2）求直線AC與平面所成的角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點坐標(biāo)，求得向量坐標(biāo)，利用空間向量數(shù)量積證得，，然后利用線面垂直判定定理證得結(jié)論.（2）求、平面的一個法向量，由線面角得到向量方法可得答案.【小問1詳解】∵??兩兩垂直，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，∵，∴，∴，，，，，由易得，∴，，，∴，，∴，，∴，，又，且?平面，∴平面.∵平面，∴.小問2詳解】由（1），，，， 設(shè)平面的一個法向量為，所以，即，令，得，所以，設(shè)直線AC與平面所成的角，則，因為，所以，所以直線AC與平面所成的角為.19.如圖，是棱長為1的正方體，為面對角線上的動點（不包括端點），平面交于點，于．（1）設(shè)，將長表示為的函數(shù)，并求此函數(shù)的值域；（2）當(dāng)最小時，求異面直線與所成角的大?。?【答案】（1），；值域為（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，利用平行線解線段成比例求得，得到，進(jìn)一步求得，再由勾股定理列式求解，結(jié)合二次函數(shù)求值域；（2）由（1）當(dāng)時，最小，此時，由于，又，為異面直線與所成角的平面角，通過解直角三角形得答案．【小問1詳解】正方體的棱長為1，，設(shè)，因為平面，故，則，故，得，故，同理得，，.故當(dāng)時，有最小值為，當(dāng)時，，函數(shù)的值域為；【小問2詳解】當(dāng)時，最小，此時，在底面中，，，，又，為異面直線與所成角的角， 在中，為直角，，，∴異面直線與所成角的大小為．20.對于任意的復(fù)數(shù)，定義運算為．（1）設(shè)集合{均為整數(shù)}，用列舉法寫出集合；（2）若，為純虛數(shù)，求的最小值；（3）問：直線上是否存在橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點，使該點對應(yīng)的復(fù)數(shù)經(jīng)運算后，對應(yīng)的點也在直線上？若存在，求出所有的點；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，或【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到，代入計算得到答案.（2）根據(jù)計算法則得到，代入計算復(fù)數(shù)模，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得到最值.（3）假設(shè)存在這樣的點，計算得到，討論為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況，計算得到答案.【詳解】（1）均為整數(shù)，則，，，，，，故.（2），∵是純虛數(shù)，∴且，∴，∴，或時，的最小值為.（3）假設(shè)存在這樣的點，設(shè)該點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則， 若為奇數(shù)，則，∴，；若為偶數(shù)，則，∴，無解．綜上，存在這樣的點，坐標(biāo)為或.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)運算的新定義，復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.21.圓錐的軸截面為等腰，為底面圓周上一點．（1）若的中點為，，求證：平面；（2）如果，，求此圓錐的側(cè)面積；（3）如果二面角大小為，求的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）連接，由三角形中位線定理可得，由圓周角定理我們可得，由圓錐的幾何特征，可得，進(jìn)而由線面垂直的判定定理，得到平面，則，結(jié)合及線面垂直的判定定理得到平面；（2）若，易得，又由，可求出圓錐的底面半徑長及圓錐的母線，代入圓錐表面積公式即可；（3）作于點，由面面垂直的判定定理可得平面，作于點，連，則為二面角的平面角，根據(jù)二面角的大小為，設(shè)，，進(jìn)而根據(jù)可求出的大小. 【小問1詳解】連接，因為為的中點，的中點為，所以．因為為圓的直徑，所以，故．因為平面，平面，所以.又，平面，所以平面.又平面，故．又，，平面，所以平面．【小問2詳解】，，，，又，故圓錐的側(cè)面積．【小問3詳解】作于點，平面平面且平面平面平面．再作于點，連，為二面角的平面角如圖： ，．設(shè)，，，，，，，，．，即，，故，解得，.