北京市石景山區(qū)2024屆高三下學(xué)期3月一模數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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石景山區(qū)2024年高三統(tǒng)一練習(xí)數(shù)學(xué)試卷本試卷共6頁(yè)，滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘.請(qǐng)務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.考試結(jié)束后，將答題卡交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合，，則（）A.B.C.D.2.下列函數(shù)中，在區(qū)間上為減函數(shù)的是（）AB.C.D.3.一袋中有大小相同的4個(gè)紅球和2個(gè)白球．若從中不放回地取球2次，每次任取1個(gè)球，記“第一次取到紅球”為事件，“第二次取到紅球”為事件，則（）A.B.C.D.4.設(shè)是三個(gè)不同平面，且，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件5.等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差不為0．若成等比數(shù)列，則的前5項(xiàng)和為（）A.B.C.5D.256.直線與圓相交于兩點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度可能為（）A.5B.7C.9D.147.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值是（） AB.1C.D.8.設(shè)，，，則（）A.B.C.D.9.中國(guó)民族五聲調(diào)式音階的各音依次為：宮、商、角、徵、羽，如果用這五個(gè)音，排成一個(gè)沒有重復(fù)音的五音音列，且商、角不相鄰，徵位于羽的左側(cè)，則可排成的不同音列有（）A.18種B.24種C.36種D.72種10.對(duì)于曲線，給出下列三個(gè)命題：①關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；②曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離不小于2；③曲線與曲線有四個(gè)交點(diǎn)．其中正確命題個(gè)數(shù)是（）A.0B.1C.2D.3第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則___________．12.斜率為1的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與該拋物線相交于，兩點(diǎn)，則______.13.已知向量滿足，與的夾角為，則當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，的最小值為______．14.設(shè)函數(shù)，①若有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的一個(gè)取值可以是______；②若是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．15.黎曼函數(shù)在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛應(yīng)用，其一種定義：時(shí)， ．若數(shù)列，給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過程.16.在銳角中，角的對(duì)邊分別為，且．（1）求角的大??；（2）求的取值范圍．17.如圖，在四棱錐中，平面，，，．（1）求證：平面；（2）再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求平面與平面所成銳二面角的大?。畻l件①：；條件②：平面．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．18.為研究北京西部地區(qū)油松次生林和油松人工林的森林群落植物多樣性問題，某高中研究性學(xué)習(xí)小組暑假以妙峰山油松次生林和老山油松人工林為研究對(duì)象進(jìn)行調(diào)查，得到兩地區(qū)林下灌木層，喬木層，草本層的抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)．其中兩地區(qū)林下灌木層獲得數(shù)據(jù)如表1，表2所示：表1：老山油松人工林林下灌木層植物名稱植物類型株數(shù)酸棗灌木28 荊條灌木41孩兒拳頭灌木22河朔蕘花灌木4臭椿喬木幼苗1黑棗喬木幼苗1構(gòu)樹喬木幼苗2元寶槭喬木幼苗1表2：妙峰山油松次生林林下灌木層植物名稱植物類型株數(shù)黃櫨喬木幼苗6樸樹喬木幼苗7欒樹喬木幼苗4鵝耳櫪喬木幼苗7葎葉蛇葡萄木質(zhì)藤本8毛櫻桃灌木9三裂繡線菊灌木11胡枝子灌木10大花溲疏灌木10丁香灌木8（1）從抽取的老山油松人工林林下灌木層的植物樣本中任選2株，求2株植物的類型都是喬木幼苗的概率；（2）以表格中植物類型的頻率估計(jì)概率，從妙峰山油松次生林林下灌木層的所有植物中隨機(jī)抽取3株（假設(shè)每次抽取的結(jié)果互不影響），記這3株植物的植物類型是灌木的株數(shù)為，求 的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）從老山油松人工林的林下灌木層所有符合表1中植物名稱的植物中任選2株，記此2株植物屬于不同植物名稱的概率估計(jì)值為；從妙峰山油松次生林的林下灌木層所有符合表2中植物名稱的植物中任選2株，記此2株植物屬于不同植物名稱的概率估計(jì)值為．請(qǐng)直接寫出與大小關(guān)系．（結(jié)論不要求證明）19.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求在區(qū)間上最大值與最小值；（3）當(dāng)時(shí)，求證：．20.已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)分別作直線，直線與橢圓相切于第三象限內(nèi)的點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn)．若，判斷直線與直線的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．21.已知集合，對(duì)于，，定義與之間的距離為．（1）已知，寫出所有的，使得；（2）已知，若，并且，求的最大值；（3）設(shè)集合，中有個(gè)元素，若中任意兩個(gè)元素間的距離的最小值為，求證：． 石景山區(qū)2024年高三統(tǒng)一練習(xí)數(shù)學(xué)本試卷共6頁(yè)，滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘.請(qǐng)務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.考試結(jié)束后，將答題卡交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式解法可得，再由交集運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】解不等式可得，即；又，因此.故選：D2.下列函數(shù)中，在區(qū)間上為減函數(shù)的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)，指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷選項(xiàng).【詳解】A，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，，所以在上為增函數(shù)，故A錯(cuò)誤；B，是偶函數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱，，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，故B錯(cuò)誤； C，的定義域是，函數(shù)是區(qū)間上是增函數(shù)，故C錯(cuò)誤；D，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，在區(qū)間上是減函數(shù)，故D正確.故選：D3.一袋中有大小相同的4個(gè)紅球和2個(gè)白球．若從中不放回地取球2次，每次任取1個(gè)球，記“第一次取到紅球”為事件，“第二次取到紅球”為事件，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由條件概率公式求解即可.【詳解】.故選：C.4.設(shè)是三個(gè)不同平面，且，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由充分條件和必要條件的定義結(jié)合線面、面面的位置關(guān)系對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】由，，，則可能相交，故“”推不出“”，由，，，由面面平行性質(zhì)定理知，故“”能推出“”，故“”是“”的必要不充分條件.故選：B.5.等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差不為0．若成等比數(shù)列，則的前5項(xiàng)和為（）A.B.C.5D.25 【答案】A【解析】【分析】首先代入等差數(shù)列的基本量，由等比數(shù)列的概念列式，最后代入求和公式，即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，則，，，由題意可知，，即，解得：或（舍），則數(shù)列的前5項(xiàng)和.故選：A6.直線與圓相交于兩點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度可能為（）A.5B.7C.9D.14【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線所過定點(diǎn)，求弦長(zhǎng)的最小值和最大值，再結(jié)合選項(xiàng)，即可求解.【詳解】直線恒過點(diǎn)，且點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)點(diǎn)是弦的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)弦長(zhǎng)最短，圓心和點(diǎn)的距離為2，此時(shí)弦長(zhǎng)，最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)是直徑為8，所以弦長(zhǎng)的取值范圍是，其中只有B成立.故選：B7.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值是（）A.B.1C.D.【答案】A 【解析】【分析】由圖可得，求得，再利用圖象過點(diǎn)，可得到，從而得到，再利用誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值求解即可.【詳解】由圖象可知，解得，因?yàn)?，所以，解得，將代入解析式化?jiǎn)得，因?yàn)椋瑒t，得，故，所以.故選：A8.設(shè)，，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定的條件，利用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)的性質(zhì)，借助進(jìn)行比較判斷選項(xiàng).【詳解】，，而，則，即，所以.故選：B9.中國(guó)民族五聲調(diào)式音階的各音依次為：宮、商、角、徵、羽，如果用這五個(gè)音，排成一個(gè)沒有重復(fù)音的五音音列，且商、角不相鄰，徵位于羽的左側(cè)，則可排成的不同音列有（）A.18種B.24種C.36種D.72種【答案】C【解析】【分析】先排宮、徽、羽三個(gè)音節(jié)，然后商、角兩個(gè)音階插空即可求解.【詳解】解：先將宮、徽、羽三個(gè)音節(jié)進(jìn)行排序，且徽位于羽的左側(cè)，有，再將商、角插入4個(gè)空中的2個(gè)，有， 所以共有種．故選：C．10.對(duì)于曲線，給出下列三個(gè)命題：①關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；②曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離不小于2；③曲線與曲線有四個(gè)交點(diǎn)．其中正確的命題個(gè)數(shù)是（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】分析兩個(gè)曲線的對(duì)稱性，并結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合，即可判斷①③，利用基本不等式，即可判斷②.【詳解】①將曲線中的換成，將換成，方程不變，所以曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，并且關(guān)于軸和軸對(duì)稱，故①正確；②設(shè)曲線上任一點(diǎn)為，當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離不小于2，故②正確；③曲線中的換成，將換成，方程不變，所以曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，并且關(guān)于軸和軸對(duì)稱，并且將換成，換成，方程不變，所以曲線也關(guān)于對(duì)稱， 曲線中，且，將曲線中的換成，換成，方程不變，所以曲線也關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以點(diǎn)在直線的下方，如圖，在第一象限有2個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)兩個(gè)曲線的對(duì)稱性可知，其他象限也是2個(gè)交點(diǎn)，則共有8個(gè)交點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是③的判斷，判斷的關(guān)鍵是對(duì)稱性的判斷，以及將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則___________．【答案】##【解析】【分析】由復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)寫出復(fù)數(shù)，再應(yīng)用復(fù)數(shù)除法的法則求解即可.【詳解】∵z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，∴，∴．故答案為：．12.斜率為1直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與該拋物線相交于，兩點(diǎn)，則______.【答案】8【解析】【分析】求出直線的方程，設(shè)、，直線方程代入拋物線方程應(yīng)用韋達(dá)定理得，然后由焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可得結(jié)論．【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，直線方程為，設(shè)、 ，則由拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式得：，又、是拋物線與直線的交點(diǎn)，由得，則，∴.故答案為：8.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：焦點(diǎn)弦的一些性質(zhì)：拋物線的焦點(diǎn)為，是其過焦點(diǎn)的弦，，則（1）．（2）．（3），．13.已知向量滿足，與的夾角為，則當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，的最小值為______．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)題意利用平面向量的幾何特征，可知當(dāng)時(shí)，取得最小值.【詳解】如圖所示：設(shè)，當(dāng)時(shí)，取得最小值，過點(diǎn)作于點(diǎn)，即可得的最小值為，又與的夾角為，即，易知，所以.即的最小值為1.故答案為：114.設(shè)函數(shù)，①若有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的一個(gè)取值可以是______； ②若是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】①.（內(nèi)的值都可以）②.或【解析】【分析】①分析函數(shù)的性質(zhì)，確定零點(diǎn)所在的區(qū)間，通過解方程的方法，即可求解；②根據(jù)分段函數(shù)的形式，確定兩段函數(shù)都是單調(diào)遞增，并根據(jù)分界點(diǎn)處函數(shù)值的關(guān)系不等式，即可求解.【詳解】①函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以函數(shù)在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，則函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn)，即，，則，或或，，則，解得：，所以的一個(gè)值是；②函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上，也單調(diào)遞增，且，若函數(shù)在在區(qū)間單調(diào)遞增，則，即在區(qū)間上恒成立，即，即，不等式，解得：或，綜上可知，或.故答案為：（內(nèi)的值都可以）；或15.黎曼函數(shù)在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛應(yīng)用，其一種定義為：時(shí)，．若數(shù)列，給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______． 【答案】②③④【解析】【分析】根據(jù)黎曼函數(shù)的定義和性質(zhì)逐項(xiàng)分析.【詳解】對(duì)于①，時(shí)，，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，，，，故②正確；對(duì)于③，，故③正確；對(duì)于④，，，構(gòu)造函數(shù)，??，則，單調(diào)遞增，，即當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，，故④正確.故選：②③④.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：新定義題型的特點(diǎn)是：通過給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的：遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問題得以解決．三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過程.16.在銳角中，角的對(duì)邊分別為，且．（1）求角的大?。唬?）求的取值范圍．【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）由正弦定理邊化角求解即可；（2）由（1）可知，所以，所以將轉(zhuǎn)化為同一個(gè)角的三角函數(shù)，最后求其值域即可.【小問1詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ磉吇堑茫?，所以，由于在中，，所以，即，又，所?【小問2詳解】由（1）可知，所以，所以由于在銳角中，，所以，所以，所以，所以，所以的取值范圍為.17.如圖，在四棱錐中，平面，，，． （1）求證：平面；（2）再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求平面與平面所成銳二面角的大?。畻l件①：；條件②：平面．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】（1）證明見解析（2）所選條件見解析，【解析】【分析】（1）連接AC，由題目條件可推得為等腰直角三角形，且，，即，再，由線面垂直的判定定理即可證明；（2）選條件①或選條件②均可證明，建立以A為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，由二面角求解即可.【小問1詳解】如圖，連接AC，因平面，平面，則，.又，則.注意到，則為等腰直角三角形，其中，.所以，又因?yàn)?，平面，，所以平面；【小?詳解】若選條件①，由余弦定理可得，，結(jié)合為三角形內(nèi)角，得，又，則，即.若選條件②，因平面，BC平面，平面平面，則， 又，則，即.故建立以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，如下圖所示空間直角坐標(biāo)系（軸所在直線與DC平行）又，，則，則，，.平面法向量為，設(shè)平面法向量為，則.令，則，所以，設(shè)面與平面所成角為，，根據(jù)平面角的范圍可知.18.為研究北京西部地區(qū)油松次生林和油松人工林的森林群落植物多樣性問題，某高中研究性學(xué)習(xí)小組暑假以妙峰山油松次生林和老山油松人工林為研究對(duì)象進(jìn)行調(diào)查，得到兩地區(qū)林下灌木層，喬木層，草本層的抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)．其中兩地區(qū)林下灌木層獲得數(shù)據(jù)如表1，表2所示：表1：老山油松人工林林下灌木層植物名稱植物類型株數(shù)酸棗灌木28荊條灌木41孩兒拳頭灌木22 河朔蕘花灌木4臭椿喬木幼苗1黑棗喬木幼苗1構(gòu)樹喬木幼苗2元寶槭喬木幼苗1表2：妙峰山油松次生林林下灌木層植物名稱植物類型株數(shù)黃櫨喬木幼苗6樸樹喬木幼苗7欒樹喬木幼苗4鵝耳櫪喬木幼苗7葎葉蛇葡萄木質(zhì)藤本8毛櫻桃灌木9三裂繡線菊灌木11胡枝子灌木10大花溲疏灌木10丁香灌木8（1）從抽取的老山油松人工林林下灌木層的植物樣本中任選2株，求2株植物的類型都是喬木幼苗的概率；（2）以表格中植物類型的頻率估計(jì)概率，從妙峰山油松次生林林下灌木層的所有植物中隨機(jī)抽取3株（假設(shè)每次抽取的結(jié)果互不影響），記這3株植物的植物類型是灌木的株數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）從老山油松人工林的林下灌木層所有符合表1中植物名稱的植物中任選2株，記此2株植物屬于不同植物名稱的概率估計(jì)值為；從妙峰山油松次生林的林下灌木層所有符合表2中植物名稱的植物中任選 2株，記此2株植物屬于不同植物名稱的概率估計(jì)值為．請(qǐng)直接寫出與大小關(guān)系．（結(jié)論不要求證明）【答案】（1）；（2）分布列見解析，期望（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)古典概型概率公式，以及組合數(shù)公式，即可求解；（2）根據(jù)二項(xiàng)分布概率公式，即可求解；（3）根據(jù)兩個(gè)表格中的植物類型分布的數(shù)據(jù)，即可求解.【小問1詳解】表1中的灌木有株，喬木幼苗有株，共有100株，所以，所以求2株植物的類型都是喬木幼苗的概率為；【小問2詳解】表2中的灌木有株，喬木幼苗有株，木質(zhì)藤本有8株，抽取1株是灌木的概率為，由題意可知，，，，，分布列如下，0123 ；【小問3詳解】表1中植物間的數(shù)量差距較大，表2中每種植物的數(shù)量差不多，所以選出來(lái)不同種類，表2的概率更大，所以.19.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求在區(qū)間上的最大值與最小值；（3）當(dāng)時(shí)，求證：．【答案】（1）（2）見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線方程；（2）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再討論和兩種情況求函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值；（3）首先根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，即可證明.【小問1詳解】，，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為；【小問2詳解】，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值為，最大值為，當(dāng)時(shí)，，得，在區(qū)間小于0，函數(shù)單調(diào)遞減， 在區(qū)間大于0，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值為，，，顯然，所以函數(shù)的最大值為，綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，最大值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，最大值為；【小問3詳解】當(dāng)時(shí)，，即證明不等式，設(shè)，，，設(shè)，，，所以在單調(diào)遞增，并且，，所以函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)，使，即，則在區(qū)間，，單調(diào)遞減，在區(qū)間，，單調(diào)遞增，所以的最小值為，由，得，且，所以，所以，即.20.已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為．（1）求橢圓的方程； （2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)分別作直線，直線與橢圓相切于第三象限內(nèi)的點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn)．若，判斷直線與直線的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）（2），理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，列出關(guān)于得到方程，即可求解；（2）首先設(shè)出直線的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示，再根據(jù)，求出直線，即可判斷直線與直線的位置關(guān)系.【小問1詳解】由條件可知，，解得：，，，所以橢圓的方程為；【小問2詳解】設(shè)直線，聯(lián)立，得，（*），整理為，解得：或，由題意結(jié)合圖形可知，，所以， 當(dāng)時(shí)，代回（*）得，即，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，，所以設(shè)直線，聯(lián)立，，，，得，（*），整理為，解得：，，，，，，，即，解得：（舍去），即，則直線的斜率為，而，所以. 【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是利用弦長(zhǎng)公式表示兩點(diǎn)間的距離，21.已知集合，對(duì)于，，定義與之間的距離為．（1）已知，寫出所有的，使得；（2）已知，若，并且，求的最大值；（3）設(shè)集合，中有個(gè)元素，若中任意兩個(gè)元素間的距離的最小值為，求證：．【答案】（1）、、、；（2）；（3）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題中定義可得的所有情形；（2）分、兩種情況，利用絕對(duì)值三角不等式可求得的最大值；（3）表示出，結(jié)合定義，可得，即中任意兩元素不相等，可得中至多有個(gè)元素，即可得證．【小問1詳解】已知，，且，所以，的所有情形有：、、、；【小問2詳解】 設(shè)，，因，則，同理可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)，時(shí)，上式等號(hào)成立.綜上所述，；【小問3詳解】記，我們證明．一方面顯然有．另一方面，且，假設(shè)他們滿足．則由定義有，與中不同元素間距離至少為相矛盾．從而．這表明中任意兩元素不相等．從而．又中元素有個(gè)分量，至多有個(gè)元素．從而．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決以集合為背景的新定義問題，要抓住兩點(diǎn)：（1）緊扣新定義，首先分析新定義的特點(diǎn)，把定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程之中，這是新定義型集合問題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在；（2）用好集合的性質(zhì)，解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之外用好集合的運(yùn)算與性質(zhì).