混沌的本質(zhì)特征與混沌概念的界定

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1、混沌的本質(zhì)特征與混沌概念的界定張本祥孫博文?混沌理論是非線性科學(xué)的核心部分，它的理論及應(yīng)用價(jià)值很大，但是迄今為止，對(duì)混沌概念還沒(méi)有公認(rèn)的嚴(yán)格的定義，我們認(rèn)為，對(duì)混沌概念的界定應(yīng)從混沌現(xiàn)象的本質(zhì)特征入手，從數(shù)學(xué)和物理兩個(gè)層次上考察，才有可能得出正確的完整的結(jié)論，本文將從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度討論混沌的本質(zhì)特征——有界、非周期和敏感初條件，并籍此嘗試對(duì)混沌概念的界定。?一、從混沌的Li—Yorke定義看數(shù)學(xué)混沌的本質(zhì)特征現(xiàn)代科學(xué)意義上的混沌是個(gè)難以精確定義的概念，不同領(lǐng)域的科學(xué)家往往對(duì)其做出不同的定義。1975年李天巖(Tianyan—Li)和約克(Yorke)給出了混沌的一個(gè)數(shù)學(xué)定義，這也是第一次賦予混沌

2、這個(gè)詞以嚴(yán)格的科學(xué)意義，混沌的李—約克定義如下：設(shè)連續(xù)自映射f：，I是R中的一個(gè)閉區(qū)間，如果存在不可數(shù)集合SI滿足(1)S不包含周期點(diǎn)。(2)任給X1，X2S(XlX2)有＞0＝0這里，表示t重函數(shù)關(guān)系。（3）任給X1S及f的任意周期點(diǎn)PI有＞0則稱f在s上是混沌的[1]。由李—約克的定義可見(jiàn)，他們是用三個(gè)方面的本質(zhì)特征來(lái)對(duì)混沌進(jìn)行刻劃的：7(一)非周期在李—約克對(duì)混沌映射的定義中，稱f在S上是混沌的，所依據(jù)的三個(gè)條件中的兩條是對(duì)非周期的刻劃：第(1)條表明混沌軌道排除了所有階的周期點(diǎn)，第(3)條意味著混沌軌道與任意的周期軌道都不具有漸近關(guān)系，而是原則上可區(qū)分的。它們實(shí)際上是從周期性角度對(duì)非

3、周期性進(jìn)行的刻劃。我們可以這樣來(lái)理解混沌軌道的非周期性：如果我們?cè)跓o(wú)限精確的數(shù)學(xué)層次上跟蹤一條混沌軌道，我們經(jīng)歷的相點(diǎn)永遠(yuǎn)沒(méi)有重復(fù)的，而且整條混沌軌道雖然在任意有限長(zhǎng)的一段可能與某條周期軌道無(wú)限接近，但是無(wú)限長(zhǎng)的整條混沌軌道將與其產(chǎn)生有限大小的偏離，即在t→∞時(shí)，任意的混沌軌道與任意的周期軌道必然具有距離有限(非無(wú)限小)的相點(diǎn)。這樣當(dāng)我們要確定某個(gè)混沌軌道上的相點(diǎn)時(shí)，只能跟蹤軌道的全過(guò)程，而不可能利用任何具周期意義的、有可壓縮性質(zhì)的所謂規(guī)律來(lái)準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。(二)敏感初條件李—約克定義中的第(2)條實(shí)際上就是對(duì)混沌軌道所具有的“敏感初條件”的描述，即距離的下確界為0的無(wú)限接近的兩條軌道，其上確界卻

4、是有限的，大于0的，由符號(hào)動(dòng)力學(xué)對(duì)一維拋物線滿映射的刻劃，[2]我們也可以看到，分別代表兩條混沌軌道的兩個(gè)無(wú)限接近的符號(hào)序列，即兩個(gè)無(wú)限精確條件下才可區(qū)分的無(wú)理數(shù)，意味著在無(wú)限次迭代后，最后會(huì)有宏觀層次上(對(duì)主體而言)的可區(qū)分的差別：L(左)、C(中)、R(右)，相點(diǎn)的L、C、R是在有限精確條件下，對(duì)主體來(lái)說(shuō)的可區(qū)分性。就是說(shuō)，在1／2n的分辨率下，差值大于1／2n的兩個(gè)初值，經(jīng)n次迭代后，其符號(hào)序列中至少會(huì)有一個(gè)符號(hào)不同，進(jìn)一步地，李—約克的定義也表明混沌軌道中的相點(diǎn)與無(wú)理數(shù)對(duì)應(yīng)，無(wú)理數(shù)的最后(實(shí)際上不存在最后)數(shù)字不同，就是不同的數(shù)，但這兩個(gè)“最后”數(shù)字不同的無(wú)理數(shù)代表了無(wú)限精確的情況，

5、反映的是個(gè)無(wú)限過(guò)程，在這個(gè)無(wú)限過(guò)程下，數(shù)學(xué)上的混沌具有對(duì)初始條件的敏感依賴性。(三)有界在李—約克定義中，“有界”(即有確定的邊界)是作為定義的前提條件出現(xiàn)的，它設(shè)定了f是從I到(IR)的映射，而I是R中的一個(gè)閉區(qū)間，這表明f把I映射回I，所有的相點(diǎn)不能超越I的確定邊界，這個(gè)“有界”的前提條件的設(shè)定是必要的，如果沒(méi)有這個(gè)限制條件，就不能保證系統(tǒng)是混沌的，例如：映射f：Xn+1＝f(Xn)＝Xn2，當(dāng)X1＞1時(shí)，f會(huì)很快使Xn超越I的邊界而趨于∞，這時(shí)Xn的整個(gè)序列或說(shuō)軌道X1，X2，…Xn，…X∞顯然仍具有非周期、敏感初條件等混沌的本質(zhì)特征，但是它的演化過(guò)程是發(fā)散的，不會(huì)形成混沌吸引子?？梢?jiàn)

6、，“有界”是混沌的不可或缺的必要條件和本質(zhì)特征之一。?二、有限性條件下物理混沌的本質(zhì)特征從李—約克給出的混沌的數(shù)學(xué)定義可見(jiàn)，其(2)(3)條都是在t→∞情況下的結(jié)論，也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)混沌是與無(wú)窮過(guò)程相聯(lián)系的，這意味著不僅映射的次數(shù)t是無(wú)限的，而且相點(diǎn)的值的精確度也可以是無(wú)限的。然而我們知道，現(xiàn)實(shí)世界是有限的，有限性及其結(jié)果蘊(yùn)含于一切事物之中，在相應(yīng)的方面規(guī)定著一切事物的性質(zhì)。[3]7在真實(shí)的物理世界中，不僅映射的次數(shù)t是有限的，而且相點(diǎn)的值的精確度也是有限的。那么，李—約克的數(shù)學(xué)混沌所具有的三個(gè)本質(zhì)特征，是否仍是有限性制約下的物理混沌的本質(zhì)特征呢?或者說(shuō)，有限的現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)的混沌是否仍具有這三個(gè)本

7、質(zhì)特征呢?下面我們就分別來(lái)討論。(一)有界從物理上說(shuō)，一般地我們所研究的和能研究的都是本質(zhì)上的回歸行為，其現(xiàn)實(shí)的測(cè)度空間總有確定的邊界，而無(wú)界的本質(zhì)上的非回歸行為則沒(méi)有一般意義，也就是說(shuō)，任何一個(gè)現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)變量的值不可能是絕對(duì)的無(wú)窮大，只能是局限于確定范圍內(nèi)的有限值，因而是有界的。再者，雖然混沌現(xiàn)象的主要特征是它的不穩(wěn)定性方面，但是它也有穩(wěn)定性的一方面，實(shí)際上混沌是局部不穩(wěn)定與整體穩(wěn)定這一對(duì)矛盾的統(tǒng)一體，