自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)

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1、9.2.3?自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)???上面介紹的均值、均方值和方差描述的是一維隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性，不能反映不同時(shí)刻各數(shù)值之間的相互關(guān)系。例如，隨機(jī)信號X(t)?分別在t1，t2時(shí)刻的隨機(jī)取值X(t1)，X(t2)?之間的關(guān)聯(lián)程度如何，這種關(guān)聯(lián)稱為自關(guān)聯(lián)。同樣，我們也要研究兩個(gè)隨機(jī)信號X(t)和Y(t)數(shù)值之間的關(guān)聯(lián)程度，這種關(guān)聯(lián)性稱為X與Y之間的互關(guān)聯(lián)（下一小節(jié)介紹）。1．自相關(guān)函數(shù)(Autocorrelationfunction)??自相關(guān)函數(shù)是描述隨機(jī)信號X(t)在任意兩個(gè)不同時(shí)刻t1，t2，的取值

2、之間的相關(guān)程度。??定義6??實(shí)隨機(jī)信號X(t)的自相關(guān)函數(shù)定義為?????????????????????????????????????????????????????????????（9.2.7）???由于平穩(wěn)隨機(jī)信號的統(tǒng)計(jì)特性與時(shí)間的起點(diǎn)無關(guān)，設(shè)??,?則有??。所以，平穩(wěn)隨機(jī)信號的自相關(guān)函數(shù)是時(shí)間間隔t的函數(shù)，記為Rxx(t).2．自協(xié)方差函數(shù)(Autocovariancefunction)???自協(xié)方差函數(shù)是描述隨機(jī)信號X(t)在任意兩個(gè)不同時(shí)刻t1，t2，的取值之間的二階混合中心矩，用來描述X

3、(t)在兩個(gè)時(shí)刻取值的起伏變化（相對與均值）的相關(guān)程度，也稱為中心化的自相關(guān)函數(shù)。定義7??實(shí)隨機(jī)信號X(t)的自協(xié)方差函數(shù)定義為????????????????????????????????????????（9.2.8）???當(dāng)??時(shí)，有??。??顯然，自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)描述的特性基本相同。對于平穩(wěn)隨機(jī)信號，自協(xié)方差函數(shù)是時(shí)間間隔t的函數(shù)，記為Cxx(t),且有:???????????????????????????????????????(9.2.9)???當(dāng)均值??時(shí)，有??。??當(dāng)隨機(jī)過程X

4、(t)的均值為常數(shù)，相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔??有關(guān)，且均方值為有限值時(shí)，則稱X(t)為寬平穩(wěn)隨機(jī)過程或廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。它是由一維、二維數(shù)字特征定義的。一般所說的平穩(wěn)過程都是指這種寬平穩(wěn)隨機(jī)過程。3．平穩(wěn)隨機(jī)信號自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)??設(shè)X(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程，其自相關(guān)函數(shù)為??，自協(xié)方差函數(shù)??，則有如下性質(zhì)：(1)?????????????????????????????????????????????????????????????????(9.2.10)??????????????????????????

5、?????????????????????????????????????????????????(9.2.11)即??時(shí)的自相關(guān)函數(shù)等于均方差，自協(xié)方差函數(shù)等于方差。(2)?????????????????????????????????????????????????????(9.2.12)即當(dāng)平穩(wěn)隨機(jī)信號是實(shí)函數(shù)時(shí)，其相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)。(3)??????????????????????????????????????????????????????(9.2.13)即??時(shí)的自相關(guān)函數(shù)、自協(xié)方差函數(shù)取最

6、大值。(4)若??，則其自相關(guān)函數(shù)也是周期為T的周期函數(shù)，即???????????????????????????????????????????????????(9.2.14)(5)若均值??，當(dāng)??時(shí)，??與??相互獨(dú)立，有?????????????????????????????????????????????????????????????????????????(9.2.15)即對于零均值的平穩(wěn)隨機(jī)信號，當(dāng)時(shí)間間隔??很大時(shí)，??與??相互獨(dú)立，互不相關(guān)。