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《strongart數(shù)學筆記：半單環(huán)上的模特征與環(huán)的同調維數(shù)小結》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、半單環(huán)上的模特征小結記得剛開始學模的時候，總覺得其中有一種不協(xié)調感，后來知道是主角與配角之間的關系有點錯亂，作為系數(shù)的環(huán)似乎喧賓奪主的成了主角，但是這也使得環(huán)與模的關系非常密切。下面我就結合最近學到的東西，以半單環(huán)上的模特征為例作一個小結。先看這樣的一個命題：ArightringRisvon-NeumannregularringiffeveryrightR-moduleisdivisible.其實直觀上也容易理解，類比于semisimplering中anyrightideal均可作為直和加項，在von-Ne
2、umannregularring中的principalrightideal是直和加項，而divisiblemodule則等價于principallyinjective，后者是指BaerCriterion中的anyrightideal換成anyprincipalrightideal，可以視為我們熟知的結論injective→divisible的本質解釋。我們還可以從另一個角度看這個問題，初級教科書中一般只在domain上介紹divisiblemodule，其實可以推廣到一般環(huán)上如下：AR-moduleMisd
3、ivisibleifforanyu∈Manda∈R,(foranyx∈R,ax=0→ux=0)→u∈Ma.我們把它推廣到相應的族，就得到fullydivisible的概念，也就是說：AR-moduleMisfullydivisibleifforany{u_i}CMand{a_i}CR,(forany{x_i}CR,Σa_ix_i=0→Σu_ix_i=0)→u_i=va_i，v∈M.可以證明，fullydivisible與injective也是等價的。在初級環(huán)論中，我們知道semisimple→von-Neu
4、mannregular→Jacobsonsemisimple，一個自然的問題就是它們對應的模有什么性質？事實上，我們還有命題：A(right)ringRissemisimpleringiffeveryrightR-moduleisinjective，這與上文中的injective→divisible高度契合。如果我們知道相應環(huán)上模之間關系，就可以導出相應的環(huán)的關系，但反過來卻是不行的，理由是這樣的模未必一定是相應環(huán)上的模。事實上，我們還有A(right)ringRissemisimpleringiffeve
5、ryrightR-moduleisprojective，ArightringRisvon-NeumannregularringiffeveryrightR-moduleisflat，這些都是很漂亮的命題，但對于一般的模，顯然injective不意味著projective，divisible也不意味著flat.對于Jacobsonsemisimplering，我也想找一下相應模的特征，開始我猜想是rad(M)=0.后來發(fā)現(xiàn)ArightringRisV-ringiffforanyrightR-moduleM,r
6、ad(M)=0.這樣的rightV-ring在交換的情形下重合于von-Neumannregularring，考慮一般緊集上的連續(xù)函數(shù)環(huán)，就知道von-Neumannregularring并不是都是Jacobsonsemisimplering，因此我的猜想是錯誤的。但這樣的rightV-ring有個等價條件是anyrightidealI≠Risanintersectionofmaximalrightideals，因此anyquotientofRisJacobsonsemisimplering.特別地，它自身
7、也應該是Jacobsonsemisimplering，這多少還是值得欣慰的。我查了手頭的代數(shù)書，似乎都沒找到Jacobsonsemisimplering的模特征，甚至連交換的情形也沒有，看來問題并不是太簡單的。但是就von-Neumannregularring而言，有這樣一個有趣的命題：AcommutativeRisvon-NeumannringiffeverysimpleR-moduleisinjectiveiffeverysimpleR-moduleisdivisible.如果在模的上面再加上一些修飾，
8、結論自然要弱一些，但Jacobsonsemisimple正好就是比較弱的，也許最終只能得到這樣稍弱的命題，當然這還有待于進一步的探索。環(huán)的同調維數(shù)學習小結最近讀了Lam的LecturesonModulesandRing的第五段Homologicaldimension，主要就是講投射維數(shù)(pd.dim)、內射維數(shù)(id.dim)與平坦維數(shù)(fd.dim)這三個概念，這次算是基本上看清楚了。下面我就來簡單小結一下，重
