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1、淺談導數在高中數學中的應用文章來源蓮山課件www.5YkJ.COm淺談導數在高中數學中的應用 【關鍵詞】高中數學中的導數；應用 導數是高中數學新教材中新增內容之一，它的引入給傳統(tǒng)的中學數學內容注入了新的生機和活力，也為中學數學解決問題注入了新的途徑和方法。導數是高等數學的內容，是對函數圖像和性質的總結和拓展，是研究函數單調性、極值、最值的重要工具。利用導數可以解決現(xiàn)實生活中的最優(yōu)化問題。由此可見，它在高中教學中起著非常重要的作用。本文從幾個方面出發(fā)，談一談導數的應用?！ ?.幾何方面的應用9在導數概念的基礎上，結合函數圖像來研究導數的幾何意義是
2、導數概念的延伸，是導數知識的重要內容。導數是微積分中的重要基礎概念，當自變量的增量趨于零時，因變量的增量與自變量的增量之商的極限。在一個函數存在導數時，稱這個函數可導或者可微分?？蓪У暮瘮狄欢ㄟB續(xù)，不連續(xù)的函數一定不可導。 在解析幾何中，我們求曲線的切線，只需要知道曲線的方程y=f（x）和曲線上的任意一點，利用對函數求導就可以得到這一點的切線方程?！ ∠旅娼o出求曲線的切線方程的方法步驟： （1）求導數，得到曲線在該點的切線的斜率；（2）在已知切點坐標和切線斜率的條件下，利用點斜式求出切線方程：y-f（x0）=f’（x0）（x-x0） 例1.試求曲線y
3、=xlnx上點（1，2）的切線方程 解：對函數f（x）=xlnx 求導得f’（x）=lnx+1 所以f’（1）=ln1+1=1，所以在點（1，2）的切線方程為 y-2=1（x-1） 即y=x+1 切線方程：y=x+1 先求出函數y=f（x）在x=x0處的導數，即曲線在該點處的切線斜率，再由直線方程的點斜式便可求出切線方程。9 例2.求垂直于直線2x-6y+1=0并且和曲線y=x3+3x2-5相切的直線方程?！ 〗庖驗樗蟮闹本€與已知直線2x-6y+1=0垂直 所以所求直線的斜率k1=-3 又因為所求直線與y=x3+3x2-5相切， 所
4、以它的斜率k2=y’=3x2+6x 因為k1=k2即3x2+6x=-3 所以（x+1）2=0即x=-1 代入曲線方程得y=（-1）3+3（-1）2-5=-3 所以切點為（-1，-3） 故所求直線方程為y+3=-3（x+1）即3x+y+6=0?！ ?.在函數方面的應用運用導數知識研究函數性質的試題，研究對象已經突破了單純的一次函數、二次函數、指數函數、對數函數等命題常以復合的函數形式出現(xiàn)?！ ?.1函數單調性的討論。（1）利用導數的符號判斷函數的單調性。函數的單調性是函數最基本的性質之一，是研究函數所要掌握的最基本的知識。通常用定義來判斷，但當函數
5、表達式較復雜時判斷f（x1）-f（x2）正負較困難。運用導數知識來討論函數單調性時，只需求出f’（x），再考慮f’（x）的正負即可。此方法簡單快捷而且適用面廣。9 利用導數的符號判斷函數的增減性，這是導數幾何意義在研究曲線變化規(guī)律時的一個應用，它充分體現(xiàn)了數形結合的思想?！ ∫话愕?，在某個區(qū)間（a，b）內，如果f’（x）>0，那么函數y=f（x）在這個區(qū)間內單調遞增；如果f’（x）<0，那么函數y=f（x）在這個區(qū)間內單調遞減?！ ∪绻谀硞€區(qū)間內恒有f’（x）=0，則f’（x）是常函數?！ ∽⒁猓涸谀硞€區(qū)間內，f’（x）>0是f’（x
6、）在此區(qū)間上為增函數的充分條件，而不是必要條件?！ 。?）求函數y=f（x）單調區(qū)間的步驟?！ 、俅_定y=f（x）的定義域； ②求導數解f’（x）=0此方程，求出它們在定義域區(qū)間內的一切實數根。 ?、郛攆’（x）>0時，y=f（x）在相應區(qū)間上是增函數；當f’（x）<0時，y=f（x）在相應區(qū)間上是減函數?！ ±?.判定函數y1=x3-x和y2=x3+x在（-∞，+∞）上的增減性?！ 〗猓簓’1=3x2-1=3（x+13）（x-13） 當y’1>0得x<-13或x>13 當y’1<0得-13 所以y1=x3-x在
7、（-∞，-13）和（13，+∞）內單調遞增，在（-13，13）內單調遞減?！ ∫驗閥’2=3x2+1>0，故y2=x3+x在（-∞，+∞）上單調遞增。9 2.2函數的極值的求法?！ ±?.求函數f（x）=13x3-4x+4的極值?！ 〗猓阂驗閒（x）=13x3-4x+4，所以f’（x）=x2-4=（x-2）（x+2）?！ ×頵’（x）=0，解得x=2或x=-2。 下面分兩種情況討論： ?。?）當f’（x）>0，即x>2或x<-2時； ?。?）當f’（x）<0，即-2 當x變化時，f’（x），f（x）的變化情況如下表：
8、因此，當x=-2時，f（x）有極大值，并且極大值為f（-2）=28
