數(shù)學(xué)建模題目及答案

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1、09級(jí)數(shù)模試題1.把四只腳的連線呈長(zhǎng)方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)，然后稍微挪動(dòng)幾次，就可以使四只腳同時(shí)著地，放穩(wěn)了。試作合理的假設(shè)并建立數(shù)學(xué)模型說明這個(gè)現(xiàn)象。（15分）解：對(duì)于此題，如果不用任何假設(shè)很難證明，結(jié)果很可能是否定的。因此對(duì)這個(gè)問題我們假設(shè)：（1）地面為連續(xù)曲面（2）長(zhǎng)方形桌的四條腿長(zhǎng)度相同（3）相對(duì)于地面的彎曲程度而言，方桌的腿是足夠長(zhǎng)的（4）方桌的腿只要有一點(diǎn)接觸地面就算著地。那么，總可以讓桌子的三條腿是同時(shí)接觸到地面?，F(xiàn)在，我們來證明：如果上述假設(shè)條件成立，那么答案是肯定的。以長(zhǎng)方

2、桌的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)作直角坐標(biāo)系如圖所示，方桌的四條腿分別在A、B、C、D處，A、B,C、D的初始位置在與x軸平行，再假設(shè)有一條在x軸上的線ab,則ab也與A、B，C、D平行。當(dāng)方桌繞中心0旋轉(zhuǎn)時(shí)，對(duì)角線ab與x軸的夾角記為。容易看出，當(dāng)四條腿尚未全部著地時(shí)，腿到地面的距離是不確定的。為消除這一不確定性，令為A、B離地距離之和，為C、D離地距離之和，它們的值由唯一確定。由假設(shè)（1），,均為的連續(xù)函數(shù)。又由假設(shè)（3），三條腿總能同時(shí)著地，故=0必成立（）。不妨設(shè),g（若也為0，則初始時(shí)刻已四條腿著地，不必再旋轉(zhuǎn)），于是問題歸結(jié)為

3、：已知,均為的連續(xù)函數(shù)，,且對(duì)任意有，求證存在某一，使。證明：當(dāng)θ=π時(shí)，AB與CD互換位置，故，。作，顯然，也是的連續(xù)函數(shù)，而，由連續(xù)函數(shù)的取零值定理，存在，，使得，即。又由于，故必有，證畢。2.學(xué)校共1000名學(xué)生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。學(xué)生們要組織一個(gè)10人的委員會(huì)，試用合理的方法分配各宿舍的委員數(shù)。（15分）解：按各宿舍人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比列分配各宿舍的委員數(shù)。設(shè)：A宿舍的委員數(shù)為x人，B宿舍的委員數(shù)為y人，C宿舍的委員數(shù)為z人。計(jì)算出人數(shù)小數(shù)點(diǎn)后面的小數(shù)部分最大的整數(shù)進(jìn)1，其余取整

4、數(shù)部分。則x+y+z=10；x/10=235/1000；y/10=333/1000；z/10=432/1000；，x,y,z為正整數(shù)；解得：x=3y=3z=43.一飼養(yǎng)場(chǎng)每天投入5元資金用于飼料、設(shè)備、人力，估計(jì)可使一頭80公斤重的生豬每天增加2公斤。目前生豬出售的市場(chǎng)價(jià)格為每公斤8元，但是預(yù)測(cè)每天會(huì)降低0.1元，問該場(chǎng)應(yīng)該什么時(shí)候出售這樣的生豬可以獲得最大利潤。（15分）解：設(shè)在第t天出售這樣的生豬（初始重80公斤的豬）可以獲得的利潤為z元。每頭豬投入：5t元產(chǎn)出：（8-0.1t）（80+2t）元利潤：Z=5t+（8-0.

5、1t）（80+2t）=-0.2t^2+13t+640=-0.2（t^2-65t+4225/4）+3405/4當(dāng)t=32或t=33時(shí)，Zmax=851.25(元)因此，應(yīng)該在第32天過后賣出這樣的生豬，可以獲得最大利潤。4.一奶制品加工廠用牛奶生產(chǎn)A1，A2兩種奶制品，1桶牛奶可以在設(shè)備甲上用12小時(shí)加工成3公斤A1，或者在設(shè)備乙上用8小時(shí)加工成4公斤A2。根據(jù)市場(chǎng)需求，生產(chǎn)的A1，A2全部能售出，且每公斤A1獲利24元，每公斤A2獲利16元?，F(xiàn)在加工廠每天能得到50桶牛奶的供應(yīng)，每天工人總的勞動(dòng)時(shí)間為480小時(shí)，并且設(shè)備甲每

6、天至多能加工100公斤A1，設(shè)備乙的加工能力沒有限制。（1）試為該廠制訂一個(gè)生產(chǎn)計(jì)劃，使每天獲利最大。（2）33元可買到1桶牛奶，買嗎？（3）若買，每天最多買多少?（4）可聘用臨時(shí)工人，付出的工資最多是每小時(shí)幾元?(5)A1的獲利增加到30元/公斤，應(yīng)否改變生產(chǎn)計(jì)劃？（15分）解：設(shè)：每天生產(chǎn)將x桶牛奶加工成A1，y桶牛奶加工成A2，所獲得的收益為Z元。加工每桶牛奶的信息表:產(chǎn)品A1A2所需時(shí)間12小時(shí)8小時(shí)產(chǎn)量3公斤4公斤獲利/公斤24元16元(1)x+y<=50Z=24*3x+16*4y=72x+64y解得，當(dāng)x=20，

7、y=30時(shí)，Zmax=3360元?jiǎng)t此時(shí)，生產(chǎn)生產(chǎn)計(jì)劃為20桶牛奶生產(chǎn)A1，30桶牛奶生產(chǎn)A2。（2）設(shè)：純利潤為W元。W=Z-33*(x+y)=39x+31y=3360-33*50=1710(元)>0則，牛奶33元/桶可以買。(3)若不限定牛奶的供應(yīng)量，則其優(yōu)化條件變?yōu)椋篧=39x+31y解得，當(dāng)x=0，y=60時(shí)，Wmax=1860元?jiǎng)t最多購買60桶牛奶。(4)若將全部的利潤用來支付工人工資，設(shè)工資最高為n元。n=Wmax/480=3.875（元）(5)若A1的獲利為30元，則其優(yōu)化條件不變。Z1=90x+64y解得，當(dāng)x

8、=0，y=60時(shí)，Z1max=3840（元）因此，不必改變生產(chǎn)計(jì)劃。5.在冷卻過程中，物體的溫度在任何時(shí)刻變化的速率大致正比于它的溫度與周圍介質(zhì)溫度之差，這一結(jié)論稱為牛頓冷卻定律，該定律同樣用于加熱過程。一個(gè)煮硬了的雞蛋有98℃，將它放在18℃的水池里，5分鐘后，雞蛋的溫度為38℃，假定沒