高中數(shù)學 關(guān)于界心與五心的距離知識分析

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1、關(guān)于界心與“心”的距離公式我們先約定：用、、、分別表示△ABC的邊長和半周長；F、K、E、G、O、I、H、I1、I2、I3分別表示△ABC的費馬點、界心、九點圓的圓心、重心、外心、內(nèi)心、垂心及∠A、∠B、∠C內(nèi)的旁心；m、n、r分別表示KA、KB、KC的長度。于是，我們有定理[1]設(shè)D、E分別為△ABC的邊AC、AB（所在直線）上的點，BD與CE交于點Q，若，，則（1）特別地，當點P重合于三角形的界心K時，有，則=，=，代入公式（1）得△ABC的頂點A與界心K的距離為同理這就是計算三角形的頂點與它的界心的距離公式。定

2、理[2]設(shè)D、E分別為△ABC的邊AC、AB（所在直線）上的點，BD與CE交于點Q，若，，點P為△ABC所在平面上任意一點，則：特別地，當點P重合于界心K時，有（2）這就是計算三角形的界心與這個三角形所在平面上任意一點的距離公式。因此，公式（2）中含有兩個參數(shù)和，通過對參數(shù)的選取，分別計算出三角形的界心與“心”的距離。（1）如果點Q是△ABC的重心G，則==1，代入公式（2）得界心K與重心G的距離公式：（2）如果點Q為△ABC的內(nèi)心，則=，=，代入公式（2）得界心K與內(nèi)心I的距離為：。（3）如果點Q為△ABC的∠A內(nèi)

3、的旁心I1，則，，代入公式（2）即得△ABC的∠A內(nèi)的旁心I1與界心K的距離為：。同理：。（4）如果點Q為△ABC的垂心H，則對于非直角三角形有，，代入公式（2）即得△ABC的垂心H與界心K的距離為：。（5）如果點Q為△ABC的外心O，則對于非直角三角形有，，代入公式（2）即得△ABC的外心O與界心K的距離為：。（6）如果點Q為△ABC的九點圓的圓心E，則由文[3]知：點E為線段OH的中點，則在△KOH中由中線長度計算公式可得的距離公式。（7）如果點Q為△ABC的費馬點F，則文[4]中已給出了的計算公式。由以上討論知

4、：三角形的費馬點到它的重心、內(nèi)心、旁心、垂心、外心、九點圓的圓心以及界心的距離都可以用這個三角形的邊長表示，并且它們的計算都可以統(tǒng)一于公式（2）。參考文獻：[1]賀功保計算三角形頂點與“心”距離的統(tǒng)一公式湖南數(shù)學通訊1（1996）[2]布羅卡點[3]賀功保三角形的五心哈爾濱工業(yè)大學出版社（。3）[4]賀功保關(guān)于費馬點與“心”的距離公式中學數(shù)學研究4（）