高中數(shù)學(xué) 關(guān)于界心與五心的距離知識(shí)分析

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1、關(guān)于界心與“心”的距離公式我們先約定：用、、、分別表示△ABC的邊長(zhǎng)和半周長(zhǎng)；F、K、E、G、O、I、H、I1、I2、I3分別表示△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)、界心、九點(diǎn)圓的圓心、重心、外心、內(nèi)心、垂心及∠A、∠B、∠C內(nèi)的旁心；m、n、r分別表示KA、KB、KC的長(zhǎng)度。于是，我們有定理[1]設(shè)D、E分別為△ABC的邊AC、AB（所在直線）上的點(diǎn)，BD與CE交于點(diǎn)Q，若，，則（1）特別地，當(dāng)點(diǎn)P重合于三角形的界心K時(shí)，有，則=，=，代入公式（1）得△ABC的頂點(diǎn)A與界心K的距離為同理這就是計(jì)算三角形的頂點(diǎn)與它的界心的距離公式。定

2、理[2]設(shè)D、E分別為△ABC的邊AC、AB（所在直線）上的點(diǎn)，BD與CE交于點(diǎn)Q，若，，點(diǎn)P為△ABC所在平面上任意一點(diǎn)，則：特別地，當(dāng)點(diǎn)P重合于界心K時(shí)，有（2）這就是計(jì)算三角形的界心與這個(gè)三角形所在平面上任意一點(diǎn)的距離公式。因此，公式（2）中含有兩個(gè)參數(shù)和，通過(guò)對(duì)參數(shù)的選取，分別計(jì)算出三角形的界心與“心”的距離。（1）如果點(diǎn)Q是△ABC的重心G，則==1，代入公式（2）得界心K與重心G的距離公式：（2）如果點(diǎn)Q為△ABC的內(nèi)心，則=，=，代入公式（2）得界心K與內(nèi)心I的距離為：。（3）如果點(diǎn)Q為△ABC的∠A內(nèi)

3、的旁心I1，則，，代入公式（2）即得△ABC的∠A內(nèi)的旁心I1與界心K的距離為：。同理：。（4）如果點(diǎn)Q為△ABC的垂心H，則對(duì)于非直角三角形有，，代入公式（2）即得△ABC的垂心H與界心K的距離為：。（5）如果點(diǎn)Q為△ABC的外心O，則對(duì)于非直角三角形有，，代入公式（2）即得△ABC的外心O與界心K的距離為：。（6）如果點(diǎn)Q為△ABC的九點(diǎn)圓的圓心E，則由文[3]知：點(diǎn)E為線段OH的中點(diǎn)，則在△KOH中由中線長(zhǎng)度計(jì)算公式可得的距離公式。（7）如果點(diǎn)Q為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)F，則文[4]中已給出了的計(jì)算公式。由以上討論知

4、：三角形的費(fèi)馬點(diǎn)到它的重心、內(nèi)心、旁心、垂心、外心、九點(diǎn)圓的圓心以及界心的距離都可以用這個(gè)三角形的邊長(zhǎng)表示，并且它們的計(jì)算都可以統(tǒng)一于公式（2）。參考文獻(xiàn)：[1]賀功保計(jì)算三角形頂點(diǎn)與“心”距離的統(tǒng)一公式湖南數(shù)學(xué)通訊1（1996）[2]布羅卡點(diǎn)[3]賀功保三角形的五心哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社（。3）[4]賀功保關(guān)于費(fèi)馬點(diǎn)與“心”的距離公式中學(xué)數(shù)學(xué)研究4（）