定積分的基本概念與可積函數類

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1、定積分的基本概念與可積函數類黎曼積分一，摘要：本文先是從微積分的發(fā)展史開始討論，從開普特第二定律到牛頓的變化量累積量再到萊布尼茨的特征三角，研究微積分思想的形成過程包括牛頓和萊布尼茨的積分思想與方法進而引出完整的以柯西，威爾斯特拉斯的極限ε-δ語言定義的定積分基本概念。再著重分析了在黎曼積分定義前提下的可積函數類。在討論可積函數類的過程中主要分析了原函數（不定積分）與可積的關系，兩類間斷點與可積函數的關系以及間斷點的個數與可積的關系。在討論的過程中我主要是通過舉例說明,比如前者是通過證明連續(xù)函數有原函數，再證明教材中的牛頓萊布尼茨公式，引出了原函數存在是個比連續(xù)還強的條件

2、。即原函數存在一定可積，但可積不一定有原函數，比如黎曼函數。再通過單調函數的（第一類間斷點）可積性與黎曼函數（第一類間斷點）的可積性與的函數f(x)=sin(1/x)（第二類間斷點）的比較得出可積性對間斷點的類別提出的要求。即第一類間斷點和第二類有窮間斷點可能可積，對于無限間斷點，無界肯定不可積。再通過狄利克函數說明間斷點的個數與可積性的關系，有限個間斷點可積無限個間斷點不可積。當然上面說的所有的前提是在有界這個必要條件下的最后再補述了勒貝克積分與黎曼積分的關系，擴充可積條件。在此處鍵入公式。二，關于牛頓和萊姆尼茨的積分思想講到定積分的基本概念就不得不說到微積分的發(fā)展歷程

3、，淡到微積分大家一定會想到兩位數學界的偉人--------他們是英國的牛頓和德國的萊姆尼茨。他們兩分別獨立從不同的角度思考終于發(fā)明了微積分，牛頓是從力學的運動的角度（物理學方面的求變化過程中的積累量。例如，變速運動在一段時間【α,b】內行進的路程,變力使物體運動一段路程【α,b】所作的功等等。），而萊姆尼茨則是從幾何圖形的角度著入研究的（主要是利用“特征三角形”從作曲線上任一點的切線進而求面積）。雖然他們的積分思想有所差別，但他們的最終問題的根源卻殊途同歸回到了同一個問題上來了即蘊含在定積分概念中的基本思想----------有限逼近無限，以致促進了以后的極限方法的發(fā)展。

4、所以極限方法就成為建立積分學嚴格理論的基本方法。下面我們來分別介紹他們的積分思想1牛頓與他的微積分（艾薩克·牛頓（IsaacNewton）是英國偉大的數學家、物理學家、天文學家和自然哲學家，其研究領域包括了物理學、數學、天文學、神學、自然哲學和煉金術。牛頓的主要貢獻有發(fā)明了微積分，發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律和經典力學，設計并實際制造了第一架反射式望遠鏡等等，被譽為人類歷史上最偉大，最有影響力的科學家。為了紀念牛頓在經典力學方面的杰出成就，“牛頓”后來成為衡量力的大小的物理單位。）說到牛頓人們可能會想到他的三大發(fā)明：微積分，萬有引力，和光的分析。他不僅是個偉大的數學家而且還是物理學

5、家，這就是為什么他的微積分思想的起源于力學的原因，牛頓對物理學的深刻思考而導致了他在數學方面的成就，他都嫌思考的是開普勒第二定律：對于每一個行星而言，太陽和行星的連線在相等的時間內掃過相等的面積。由于萬有引力的作用，在離太陽不同距離的地方受力不一樣，所以加速度也在在變化，也就是說速度V（t）是個變化的，求這個變化過程的積累量即面積。牛頓讓速度這個變化過程量為一個連續(xù)的函數，行駛的路程就是該函數下面的面積。他是怎么求的面積的呢？把區(qū)段[a,b]劃分成無窮個小區(qū)段，然后分別求每個小區(qū)段的面積累加起來求其極限值就是所求面積，.其中是上的任意一速度，把天體在該時間段看成是勻速運動

6、即上面的極限值就是所求面積?；蛘邔懗傻男问?。2萊布尼茨的積分思想戈特弗里德·威廉·萊布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz，1646年－1716年），德國哲學家、數學家。涉及的領域及法學、力學、光學、語言學等40多個范疇，被譽為十七世紀的亞里士多德。和牛頓先后獨立發(fā)明了微積分。）上面已經說到萊布尼茨是從幾何的角度著手，創(chuàng)立微積分的。首先他在一個坐標軸上（第一象限）畫一條連續(xù)的曲線，用函數f(x)表示，問題是怎么求該曲線與x=a;x=b和y=0所圍成的曲面梯形的面積。他接收了珀斯卡等先驅者的“特征三角形”，認為當dx,dy極小時，曲線上相鄰兩點之間的曲線同時

7、也是切線即直線的一部分，而dx,dy分別是相鄰亮點的橫坐標之差和縱坐標之差，他把這種用dx,dy求切線的方法稱為“縱坐標差分法”。從而把區(qū)間【α,b】分劃為n個子區(qū)間,在每個子區(qū)間【xi-1,xi】上任取一點ξi并作為新的小矩形的高，求這些小矩形面積的和式即得到了面積記：3牛頓與萊布尼茨積分思想的比較我們今天即不去討論他們積分思想的優(yōu)先權問題也不去解說他們的不同之處，我主要說的是他們的共同之處，他們那不約而同的從積分思想的啟蒙最終有都回到分析學的基本問題----極限連續(xù)上來。從而為后繼者發(fā)展完整的積分理念打下了堅實的思想基礎，