引例定積分的定義可積函數(shù)類定積分的幾何意義例題

《引例定積分的定義可積函數(shù)類定積分的幾何意義例題》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

1、◎引例◎定積分的定義◎可積函數(shù)類◎定積分的幾何意義◎例題第一節(jié)定積分的概念第六章定積分abxyo實例1（求曲邊梯形的面積）一、問題的提出abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積．（四個小矩形）（九個小矩形）曲邊梯形如圖所示，曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積為實例2（求變速直線運動的路程）思路：把整段時間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細(xì)分過程求得路程的精確值．（1）分割部分路程值某時刻的速度（3）求和（4）取極限路程的精確值（2）近似任

2、取定義二、定積分的定義被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量記為積分上限積分下限積分和注意：定理1定理2三、存在定理ab曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值四、定積分的幾何意義幾何意義：例1利用定義計算定積分解例2*利用定義計算定積分解例3求極限證明利用對數(shù)的性質(zhì)得極限運算與對數(shù)運算換序得故◎定積分的性質(zhì)（注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用）◎典型問題⊕估計積分值；⊕不計算定積分比較積分大?。诙?jié)定積分基本性質(zhì)對定積分的補充規(guī)定:說明:在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大小．一、基本內(nèi)容證（此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況）性質(zhì)1證性質(zhì)2補充：不論的

3、相對位置如何,上式總成立.例若（定積分對于積分區(qū)間具有可加性）則性質(zhì)3證性質(zhì)4性質(zhì)5解令于是性質(zhì)5的推論1：證（1）證說明：可積性是顯然的.性質(zhì)5的推論2：（2）證（此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍）性質(zhì)6解解證由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知性質(zhì)7（定積分中值定理）積分中值公式使即積分中值公式的幾何解釋：解由積分中值定理知有使◎問題的提出◎積分上限函數(shù)◎牛頓—萊布尼茨公式第三節(jié)微積分基本公式變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系變速直線運動中路程為另一方面這段路程可表示為一、問題的提出考察定積分記積分上限函數(shù)二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)積分上限函數(shù)的性質(zhì)證由積分中值

4、定理得補充證例1求解分析：這是型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則.證證令定理2（原函數(shù)存在定理）定理的重要意義：（1）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.（2）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系.定理3（微積分基本公式）證三、牛頓—萊布尼茨公式令令牛頓—萊布尼茨公式微積分基本公式表明：注意求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.例4求原式例5設(shè),求.解解例6求解由圖形可知例7求解解面積◎換元公式◎應(yīng)用實例◎幾個常用結(jié)論第四節(jié)定積分的換元積分法定理一、換元公式證應(yīng)用換元公式時應(yīng)注意:（1）（2）例1計算解令例2計算解例3計算解原式例4計算解令原式證奇函數(shù)例6計算解原式偶函數(shù)

5、單位圓的面積證（1）設(shè)（2）設(shè)幾個常用結(jié)論：◎分部積分公式◎應(yīng)用實例第五節(jié)定積分的分部積分法定積分的分部積分公式推導(dǎo)一、分部積分公式：例1計算解令則二、應(yīng)用實例：例2計算解例3計算解例4設(shè)求解例5證明定積分公式為正偶數(shù)為大于1的正奇數(shù)證設(shè)積分關(guān)于下標(biāo)的遞推公式直到下標(biāo)減到0或1為止于是回顧曲邊梯形求面積的問題abxyo一、定積分的元素法第六節(jié)定積分的應(yīng)用面積表示為定積分的步驟如下:（n.（3）求和，得A的近似值1）把區(qū)間],[ba分成個長度為的小區(qū)間，相應(yīng)的曲邊梯形被分為n個小窄曲邊梯形，第個小窄曲邊梯形的面積為y提示（4）求極限，得A的精確值abxodA面積元

6、素元素法的一般步驟：這個方法通常叫做元素法．應(yīng)用方向：平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長；功；水壓力；引力和平均值等．返回二、平面圖形的面積曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積1、直角坐標(biāo)系情形解兩曲線的交點選為積分變量面積元素兩曲線的交點解選為積分變量如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形的面積解橢圓的參數(shù)方程由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積．xx+dx面積元素曲邊扇形的面積2、極坐標(biāo)系情形解于是所求面積為解利用對稱性知返回2a旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．圓柱圓錐圓臺三、體積1、旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積為xy

7、o解直線OP的方程為解解補充利用這個公式，可知上例中2、平行截面面積為已知的立體的體積如果一個立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算.立體體積解取坐標(biāo)系如圖底圓方程為截面面積立體體積解取坐標(biāo)系如圖底圓方程為截面面積立體體積返回四、定積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用例11解