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《習(xí)題71定積分的概念和可積條》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫(kù)。
1、第七章定積分習(xí)題7.1定積分的概念和可積條件1.用定義計(jì)算下列定積分：⑴;⑵().解（1）取劃分：，及，則，于是，即。（2）取劃分：，及，則，于是。因?yàn)椋?，所以，即。⒉證明，若對(duì)的任意劃分和任意，極限都存在，則必是上的有界函數(shù)。證用反證法。設(shè)，則取，對(duì)任意的劃分與任意，只要，就有。取定了劃分后，與也就確定，如果在上無(wú)界，則必定存在小區(qū)間，在上無(wú)界。取定，必可取到，使不成立，從而產(chǎn)生矛盾，所以必是上的有界函數(shù)。208⒊證明Darboux定理的后半部分：對(duì)任意有界函數(shù)，恒有。證，因?yàn)槭堑纳洗_界，所以，使得
2、。設(shè)劃分，是的上、下確界，取，對(duì)任意一個(gè)滿足的劃分，記與其相應(yīng)的小和為，現(xiàn)將的分點(diǎn)合在一起組成新的劃分，則由引理7.1.1，。下面來(lái)估計(jì)：（1）若在中沒有的分點(diǎn)，則中的相應(yīng)項(xiàng)相同，它們的差為零；（2）若在中含有的分點(diǎn)，由于兩種劃分的端點(diǎn)重合，所以這樣的區(qū)間至多只有個(gè)。由的取法，可知，所以在中只有一個(gè)新插入的分點(diǎn)，這時(shí)中的相應(yīng)項(xiàng)的差為，從而。綜合上面的結(jié)論，就有，即。208⒋證明定理7.1.3。證必要性是顯然的，下面證充分性。設(shè)，存在一種劃分，使得相應(yīng)的振幅滿足，即。取，對(duì)任意一個(gè)滿足的劃分，現(xiàn)將的分點(diǎn)
3、合在一起組成新的劃分，則由Darboux定理的證明過程，可得，由定理7.1.1，可知在上可積。⒌討論下列函數(shù)在[0,1]的可積性：⑴⑵⑶⑷解：（1），且在[0,1]上的不連續(xù)點(diǎn)為與。，取定，在區(qū)間上只有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)，所以在上可積，即存在的一個(gè)劃分，使得，將的分點(diǎn)和0合在一起，作為[0,1]的劃分，則，由定理7.1.3，在[0,1]上可積。208（2）因?yàn)閷?duì)[0,1]的任意劃分，總有，所以，由定理7.1.2可知在[0,1]上不可積。（3）因?yàn)閷?duì)[0,1]的任意劃分，在上的振幅為，于是，所以在[0,1]
4、上不可積。（4），且在[0,1]上的不連續(xù)點(diǎn)為與。，取定，則在上只有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)，所以在上可積，即存在的劃分，使得。將的分點(diǎn)與0合在一起作為[0,1]的劃分，則，所以在[0,1]上可積。6.設(shè)在上可積，且在上滿足（為常數(shù)），證明在上也可積。證任取的一個(gè)劃分：，則，由于在上可積，，當(dāng)時(shí)，，從而，所以在上可積。7.有界函數(shù)在上的不連續(xù)點(diǎn)為，且存在，證明208在上可積。證不妨設(shè)，且，并設(shè)。，取，則，當(dāng)時(shí)，。由于在和上只有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)，所以在和上都可積，即存在的一個(gè)劃分和的一個(gè)劃分，使得。將、的分點(diǎn)合并在
5、一起組成的一個(gè)劃分，則，所以在上可積?；虻那闆r可類似證明。8．設(shè)是區(qū)間上的有界函數(shù)。證明在上可積的充分必要條件是對(duì)任意給定的與，存在劃分，使得振幅的那些小區(qū)間的長(zhǎng)度之和（即振幅不能任意小的那些小區(qū)間的長(zhǎng)度之和可以任意?。?。證充分性:設(shè)。,存在劃分,使得振幅的那些小區(qū)間的長(zhǎng)度之和,于是，即在上可積。必要性：用反證法，如果存在與，對(duì)任意劃分，振幅的小區(qū)間的長(zhǎng)度之和不小于,于是，208則當(dāng)時(shí)，不趨于零，與在上可積矛盾。9.設(shè)在上可積，,在上連續(xù)，證明復(fù)合函數(shù)在上可積。證由于在連續(xù),所以可設(shè)，且一致連續(xù),于是
6、,,,只要,就成立。由于在可積,由習(xí)題8,對(duì)上述與,存在劃分,使得振幅的小區(qū)間的長(zhǎng)度之和小于,于是，即復(fù)合函數(shù)在上可積。208
