數(shù)值計算方法—拉格朗日插值

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1、數(shù)值計算方法作業(yè)專業(yè)：測控1002學(xué)號：10540226姓名：崔海雪拉格朗日插值的算法及應(yīng)用【摘要】本文簡介拉格朗日插值，它的算法及程序和拉格朗日在實際生活中的運用。運用了拉格朗日插值的公式，以及它在MATLAB中的算法程序，并用具體例子說明。拉格朗日插值在很多方面都可以運用，具有很高的應(yīng)用價值。【關(guān)鍵詞】拉格朗日；插值；公式；Matlab算法程序；一、緒論 約瑟夫·拉格朗日(JosephLouisLagrange)，法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。他在數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)三個學(xué)科領(lǐng)域中都有歷史性的貢獻(xiàn)，其中尤以數(shù)學(xué)方面的成就最為突出。拉格朗日對流體運動的

2、理論也有重要貢獻(xiàn)，提出了描述流體運動的拉格朗日方法。數(shù)據(jù)建模有兩大方法：一類是插值方法，另一類是擬合函數(shù)一般的說，插值法比較適合數(shù)據(jù)準(zhǔn)確或數(shù)據(jù)量小的情形。然而Lagrange插值有很多種，1階，2階,…n階。我們可以利用拉格朗日插值求方程，根據(jù)它的程序求原方程的圖像。下面我具體介紹分析一下拉格朗日插值的算法設(shè)計及應(yīng)用。二、正文1、基本概念已知函數(shù)y=f(x)在若干點的函數(shù)值=（i=0,1,,n）一個差值問題就是求一“簡單”的函數(shù)p(x)：p()=,i=0,1,,n,(1)則p(x)為f(x)的插值函數(shù)，而f(x)為被插值函數(shù)會插值原函數(shù)，，，，

3、...,為插值節(jié)點，式（1）為插值條件，如果對固定點求f()數(shù)值解，我們稱為一個插值節(jié)點，f()p()稱為點的插值，當(dāng)[min(，，，...,)，max(，，，...,)]時，稱為內(nèi)插，否則稱為外插式外推，特別地，當(dāng)p(x)為不超過n次多項式時稱為n階Lagrange插值。2、Lagrange插值公式（1）線性插值設(shè)已知，及=f(),=f(),為不超過一次多項式且滿足=,=,幾何上，為過（，），（，）的直線，從而得到=+（x-）.（2）為了推廣到高階問題，我們將式（2）變成對稱式=（x）+(x).其中，（x）=,(x)=。均為1次多項式且滿足（

4、x）=1且(x)=0?；颍▁）=0且(x)=1。兩關(guān)系式可統(tǒng)一寫成=。（3）（2）n階Lagrange插值設(shè)已知，，，...,及=f()(i=0,1,.....,n),為不超過n次多項式且滿足（i=0,1,...n）.易知=（x）+....+.其中，均為n次多項式且滿足式（3）（i,j=0,1,...,n）,再由（ji）為n次多項式的n個根知=c.最后，由c=,i=0,1,...,n.總之，=，=式為n階Lagrange插值公式，其中，（i=0,1,...n）稱為n階Lagrange插值的基函數(shù)。3，Lagrange插值余項設(shè)，，，...,[a

5、,b],f(x)在[a,b]上有連續(xù)的n+1階導(dǎo)數(shù)，為f(x)關(guān)于節(jié)點，，，...,的n階Lagrange插值多項式，則對任意x[a,b],其中，位于，，，...,及x之間（依賴于x），(x)=4.Matlab程序及計算結(jié)果clcclearx=[0.10.20.30.40.5];y=[1.10521.22141.34991.49181.6487];x0=0.285m=length(x);n=length(y);ifm~=nerror('xy矩陣不統(tǒng)一');endb=0;fork=1:5a=1;fori=1:5ifi~=k;a=a*(x0-x(i

6、))/(x(k)-x(i));endendb=y(k)*a+b;endL5=bb=0;fork=2:3a=1;fori=2:3ifi~=k;a=a*(x0-x(i))/(x(k)-x(i));endendb=y(k)*a+b;endL1=bb=0;fork=2:4a=1;fori=2:4ifi~=k;a=a*(x0-x(i))/(x(k)-x(i));endendb=y(k)*a+b;endL2=b運行結(jié)果：L5=1.3298L1=1.3306L2=1.32985．Lagrange插值應(yīng)用在物理化學(xué)，資產(chǎn)價值鑒定工作和計算某一時刻的衛(wèi)星坐標(biāo)和鐘

7、差等這些方面可以應(yīng)用Lagrange插值。采用拉格朗日插值法計算設(shè)備等功能重置成本，計算精度較高，方法快捷。但是這方法只能針對可比性較強的標(biāo)準(zhǔn)設(shè)備，方法本身也只考慮了單一功能參數(shù)，它的應(yīng)用范圍因此受到了一定的限制。作為一種探索，我們可以將此算法以及其它算法集成與計算機評估分析系統(tǒng)中，作為傳統(tǒng)評估分析方法的輔助參考工具，以提高資產(chǎn)價值鑒定工作的科學(xué)性和準(zhǔn)確性。三，結(jié)論拉格朗日插值模型簡單，結(jié)構(gòu)緊湊，是經(jīng)典的插值法。但是由于拉格朗日的插值多項式和每個節(jié)點都有關(guān)，當(dāng)改變節(jié)點個數(shù)時，需要重新計算。且當(dāng)增大插值階數(shù)時容易出現(xiàn)龍格現(xiàn)象。參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn)[1

8、]關(guān)治.陳敬良.數(shù)值計算方法.北京:清華大學(xué)出版社,1995．[2]李有法//李曉勤.數(shù)值計算方法(高等學(xué)校教材).高等教育出版社