數(shù)形結合思想在初中數(shù)學解題中的應用

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1、數(shù)形結合思想在初中數(shù)學解題中的應用　　摘要：數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學，數(shù)和形的關系式非常密切的，“數(shù)形結合”是初中數(shù)學中的一種重要方法和解題策略。數(shù)和形結合起來，能使抽象的數(shù)學知識形象化，把數(shù)學題目中的一些抽象的數(shù)量關系轉化為適當?shù)膸缀螆D形，在具體的幾何圖形中尋找數(shù)量之間的聯(lián)系，由此可以達到化難為簡、化繁為易的目的?！　￡P鍵詞：數(shù)形結合以形助數(shù)以數(shù)解形　　數(shù)學知識的教學有兩條線：一條是明線，即數(shù)學知識；一條是暗線，即數(shù)學思想方法?！熬拍曛屏x務教育”初中《數(shù)學教學大綱》把數(shù)學的精髓――數(shù)學思想方法納入了基礎知識范疇。初中數(shù)學新課程《標準》中，安排了“數(shù)與代數(shù)”“空間與圖形”“統(tǒng)計

2、與概率”“實踐與綜合”四個學習領域，在每一個學習領域，都離不開兩要素---數(shù)與形。近觀數(shù)學中考壓軸題，都是代數(shù)、幾何高度綜合，“數(shù)形結合”作用突顯。在數(shù)形結合問題中，主要有兩個方面：一是“以形助數(shù)”，二是“以數(shù)解形”。下面結合以下幾個問題闡述的“數(shù)形結合”在初中數(shù)學解題中的應用。　　一、以形助數(shù)，化繁為易　　構造幾何圖形解決代數(shù)與三角問題：　　1、證明恒等式：　　案例1已知x、y、z、r均為正數(shù)，且x2+y2=z2　　求證：rz=xy.　　分析：由x2+y2=z2，自然聯(lián)想到勾股定理。由可以聯(lián)想到射影定理。從而可以作出符合題設條件的圖形（如圖）。對照圖形，由直角三角形面積的兩種算法，結論

3、的正確性一目了然。　　證明：（略）　　小結：涉及到與平方有關的恒等式證明問題，可構造出與之對應的直角三角形或圓，然后利用圖形的幾何性質(zhì)去解決恒等式的證明問題?！　?、求最值問題：　　案例2已知、b均為正數(shù)，且求的最小值。　　解：如圖，作線段AB=2，在AB上截取AE=，　　EB=b，過A作AC⊥AB，且AC=2，過B作BD⊥AB，且BD=1。由勾股定理：CE=，BD=，原題即求CE+ED的最小值。　　又如圖，延長CA至G，使AG=AC，連接GE，由三角形兩邊之和大于第三邊，則G、E、D三點共線時，GE+ED=DG最短。作出圖形，延長DB至F，使BF//AG且BF=AG，連接GF.　　則在

4、Rt△DGF中，DF=1+2=3，GF=AB=2　　∴CE+DE的最小值是　　即的最小值是　　小結：此題由式子特點聯(lián)想勾股定理，構造圖形解決問題?！　《?、以數(shù)解形，精化解題　　1、“以數(shù)解形”，在“數(shù)與式”教學中的應用　　案例3：　　如圖，用火柴棒按以下方式搭小魚，搭1條小魚用8根火柴棒，搭2條小魚用14根，……，則搭n條小魚需要根火柴棒。（用含n的代數(shù)式表示）　　分析：第①個圖形，8根　　第②個圖形，8+6=1+6×1　　第③個圖形，8+6+6=1+6×2　　第n個圖形，8+6（n-1）=6n+2　　圖形規(guī)律探索題，重在考查學生的觀察、分析、歸納的能力，要使學生具備這些能力，需要教師在

5、平常教學中多引導。教學中引導學生觀察分析各個圖形之間變化情況是其一，另一點是此類問題還要懂得將圖形變化情況數(shù)字化，找到數(shù)字與序號間一種隱性關系，從而將一個在不斷變化中幾何圖形代數(shù)化，達到精化解題目的。　　2、“以數(shù)解形”，在函數(shù)教學中的應用　　案例4：　　小強每月的費用都是根據(jù)上月他的家務勞動時間所得獎勵加上基本生活費從父母那里獲取的.若設小強每月的家務勞動時間為x小時，該月可得（即下月他可獲得）的總費為y元，則y（元）和x（小時）之間的函數(shù)圖像如圖所示.　?。?）根據(jù)圖像，寫出小強每月的基本生活費為多少元；父母是如何獎勵小強勞動的？　?。?）寫出當0≤x≤20時，相對應的y與x之間的函

6、數(shù)關系式；　?。?）若小強5月份希望有250元費用，則小強4月份需做家務多少時間？　　分析：（1）這是最簡單的讀題，根據(jù)函數(shù)圖象的信息可知，小強每月的基本生活費為150元，父母的獎勵方法是：如果小強每月做家務的時間不超過20小時，每小時獲獎勵2.5元；如果小強每月做家務的時間超過20小時，那么20小時每小時按2.5元獎勵，超過部分按每小時獎勵4元獎勵；　?。?）根據(jù)函數(shù)圖象知，當0≤x≤20時，它是一個一次函數(shù)圖象，即設y與x之間的函數(shù)關系式為y=kx+b.因為點（0，150），（20，200）在函數(shù)y=kx+b上，所以函數(shù)關系式為y=2.5x+150；　?。?）根據(jù)函數(shù)圖象知，當x>2

7、0時，它也是一個一次函數(shù)圖象，即設y與x之間的函數(shù)關系式為y=k1x+b1。因為點（20，200），（30，240）在函數(shù)y=k1x+b1上，所以函數(shù)關系式為y=4x+120，當y=250時，4x+120=250，解得x=32.5.　　評注：解從“數(shù)”到“形”的問題時，應注意觀察函數(shù)圖象的形狀特征（包括分段函數(shù)），充分挖掘圖象中的已知條件，從而確定函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)的圖象性質(zhì)來解.　　數(shù)學家華羅庚說得好：“數(shù)形結合百般好，隔離