數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

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1、數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用公主嶺市第三高級中學(xué)數(shù)學(xué)組黃鶴［摘要］數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，用數(shù)形結(jié)合方法可以使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化;能夠變抽象的數(shù)學(xué)語言為直觀的圖形、抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì).本文通過“以形助數(shù)”和“以數(shù)助形”這兩大題型的具體分析，揭示出“數(shù)”與“形”之間的緊密關(guān)系，從而把問題優(yōu)化，獲得解決.［關(guān)鍵詞］數(shù)形轉(zhuǎn)化；數(shù)形結(jié)合引言：數(shù)形結(jié)合思想，其本質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維有效的結(jié)合起來,進而通過數(shù)與形之間的對應(yīng)和轉(zhuǎn)化來解決數(shù)

2、學(xué)問題。運用數(shù)形結(jié)合的思想解題常?？梢詢?yōu)化解題思路，簡化解題過程，從而起到事半功倍的效果.一.數(shù)形結(jié)合思想.數(shù)形結(jié)合思想的重要性從數(shù)學(xué)的歷史背景上說，“數(shù)”與“形”是最古老，最基本的研究對象，在一定情況下，它們是可以相互轉(zhuǎn)化的,在這一轉(zhuǎn)化過程中，就產(chǎn)生了數(shù)形結(jié)合思想?數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中具有舉足輕重的地位，它是聯(lián)系代數(shù)和幾何的橋梁，是建立空間想象力的紐帶，是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法?我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”華老的這句話揭示了數(shù)形結(jié)合思想的重要性，也對我們的數(shù)學(xué)解題具有極深刻的啟示.數(shù)形結(jié)合思想的分類.作為

3、一種重要的思想方法，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用大致可分為兩種情形：第一種情形是“以數(shù)解形”，即將圖形問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，以獲得精確的結(jié)論?第二種情形是“以形助數(shù)”，即借助于圖形的性質(zhì)可以將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化，給人以直覺的啟示.通過這兩種方法可以將復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，進而實現(xiàn)優(yōu)化解題的目的.與數(shù)形結(jié)合思想相關(guān)的內(nèi)容.數(shù)形結(jié)合思想作為一種重要的解題思想應(yīng)用極其廣泛,常與以下內(nèi)容有關(guān)：實數(shù)與數(shù)軸上對應(yīng)點的關(guān)系；函數(shù)與圖像的對應(yīng)關(guān)系；曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系；以幾何元素或者是幾何背景建立起來的概念，如三角函數(shù)等；題中出現(xiàn)的等式或者是代數(shù)式具

4、有明顯的幾何意義.如斜率等.至于數(shù)形結(jié)合思想具體的應(yīng)用技巧將會在以下具體的例子中體現(xiàn).利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的注意事項.要想更好的運用數(shù)形結(jié)合的思想使問題得以簡化，需要注意以下幾點：要徹底的明白數(shù)學(xué)中的一些概念和運算的幾何意義，以及曲線的代數(shù)特征，既能夠分析出題目中的條件和結(jié)論的幾何意義，又能分析出其代數(shù)意義.（2）恰當(dāng)?shù)脑O(shè)參，合理的用參，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做到合理恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化?（3）正確確定參數(shù)的取值范圍，不要與題中的取值范圍混淆.二.數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用.數(shù)形結(jié)合思想作為一種解題方法，實際上包含兩方面的含義；一方面是對“形”的問題，我們

5、可以通過引入坐標(biāo)系或者尋找題中的數(shù)量關(guān)系式，用“數(shù)”的相關(guān)分析加以解決；另一方面，對于"數(shù)”的問題即數(shù)量間的關(guān)系問題，我們可以通過分析其幾何意義，借助圖形的直觀性來解決.具體的實施方案如以下例題.數(shù)形結(jié)合在函數(shù)中的應(yīng)用.利用數(shù)形結(jié)合解決與方程的根有關(guān)的問題.例1.已知方程有4個根，則實數(shù)m的取值范圍.分析過程：此題并不涉及方程根的具體值，只求根的個數(shù)，而求方程根的個數(shù)的問題，我們可以通過數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)而求兩條曲線的交點個數(shù)，從而解決此類問題?解：由于方程根的個數(shù)問題就是方程與函數(shù)圖象的交點的個數(shù).作出拋物線的圖象，考慮到當(dāng)時，不符合題意，因此，?所

6、以，我們需將拋物線軸下方的圖象翻折到軸上方，得到的圖象.再作出的圖象，如下圖所示：由圖象可以看出,當(dāng)時，兩函數(shù)圖象有四個交點，故的取值范圍為.